Calculateur d'équation quadratique

Le calculateur d'équation quadratique

Les équations quadratiques occupent une place importante dans les programmes scolaires et universitaires de mathématiques. Par exemple, la solution d’une équation quadratique permet de trouver diverses informations telles que les taux de changement, les hausses et les baisses de la fonction. Trouver la solution d'une équation quadratique nécessite d'effectuer un ensemble d'opérations algébriques et arithmétiques. Bien que la solution ait une forme standard, il faut un certain temps pour faire le calcul à la main.

Le calculateur de formule quadratique en ligne est un outil facile à utiliser qui fournit à l'utilisateur la solution d'une équation quadratique de manière instantanée. Cet outil gratuit fournit les réponses et présente également les étapes appliquées lors de la résolution de l'équation. Par conséquent, l'utilisateur pourra suivre la résolution du problème, les résultats numériques et être guidé étape par étape à travers la solution.

Équations du second degré

Une équation quadratique parfois appelée fonction quadratique ou polynôme du second degré, est une équation algébrique avec une forme générale de ax²+bx+c=0 où x est une variable inconnue à trouver. Les termes a et b sont respectivement les coefficients de x² et x, tandis que C est une constante. Le mot "quadratique" ou "deuxième degré" vient du fait que l'exposant le plus élevé de la variable x est 2, comme dans x². Nous allons montrer quelques exemples d'équations quadratiques ci-dessous.

$$2x²-4x+0,5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

L'équation 2x²=0 est aussi une équation quadratique, avec b=0 et c=0. Cependant, 2x+3=0 ne représente pas une équation quadratique puisque le terme quadratique ax² ne se trouve pas dans l'équation. Comme indiqué dans les exemples précédents, les valeurs de A, B et C peuvent être des entiers positifs/négatifs ou des décimales (fractions) telles que a≠0.

Résolution d'équations quadratiques

Le nombre de solutions possibles à une équation est égal à la valeur de l'exposant la plus élevée de l'équation. Une équation quadratique peut ainsi avoir un maximum de deux solutions. Une façon de résoudre une fonction quadratique consiste à utiliser la formule quadratique énoncée dans l'équation (1).

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

Vous pouvez écrire la forme compacte de la formule quadratique comme suit :

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Il s'agit d'une solution simple où l'utilisateur peut insérer les valeurs A, B et C pour obtenir la valeur des solutions x₁ et x₂. Selon la valeur du discriminant désigné par le terme sous la racine carrée b²-4ac, le nombre et la nature de la solution changent. On peut distinguer trois cas :

• Si le discriminant est positif : b²-4ac>0, alors deux solutions réelles existent (x₁≠x₂)
• Si le discriminant est nul : b²-4ac=0, alors une seule solution réelle existe (x₁=x₂)
• Si le discriminant est négatif : b²-4ac<0, alors deux solutions complexes existent (x₁≠x₂)

Nous donnerons un exemple de chaque cas dans la section Exemples ci-dessous.

Graphiquement, sur un plan de coordonnées x-y, où y est une fonction de x, l’utilisateur peut trouver visuellement la ou les solutions d'une fonction quadratique comme les coordonnées x-coordinate(s) des points où la fonction y coupe l'axe x-axis.

Utilisation du calculateur de formule quadratique

Le calculateur de formule quadratique peut résoudre toutes les équations quadratiques, quelle que soit la nature de la solution (réelle ou complexe). Le calculateur prend trois entrées : les valeurs de A, B et C. Dans certains cas, l'utilisateur peut avoir à effectuer certaines manipulations sur l'équation avant de pouvoir utiliser le calculateur.

Dans 2x² = x + 3, l'utilisateur doit simplement déplacer les termes du côté droit vers le côté gauche. En conséquence, nous obtenons 2x²-x-3=0, où a = 2, b = -1 et c = - 3.

Ou encore, si l’on considère 4(x²-0.2x)=1, l'utilisateur doit développer la parenthèse en écrivant 4x²-0,8x=1, puis déplacer les termes du côté droit vers la gauche pour mettre l'équation sous la forme générale comme ceci : 4x²-0,8x-1=0 où a = 4, b=-0,8 et c=-1.

Exemples

Dans cette section, trois exemples permettent d'expliquer les trois cas possibles de résolution d'équations quadratiques à l'aide du calculateur d'équation quadratique.

Exemple 1 : deux solutions réelles

Il est nécessaire de trouver la ou les solutions de la fonction quadratique y₁ donnée sous la forme y₁=x²-8x+12 et illustrée dans la figure 1.

Intuitivement, le but est de trouver la ou les abscisses du ou des points où la fonction y₁ croise l’axe x-axis – si de tels points existent.

Figure 1 : Tracé de y₁=x²-8x+12

Tout d'abord, on donne la aeleur zéro à la fonction ( y₁ est remplacé par 0), ce qui donne x²-8x+12=0. On constate que cette équation est sous la forme d'une équation quadratique standard où a=1, b=-8 et c=12. Nous pouvons donc directement utiliser le calculateur de formule d'équation quadratique.

En vérifiant la valeur du discriminant b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0, la fonction quadratique devrait avoir deux solutions réelles. Après avoir cliqué sur le bouton « Calculer », le calculateur fournit la solution numérique et les étapes de la solution en utilisant la formule quadratique de l'équation (1).

Il est essentiel de souligner qu'après avoir entré les valeurs de A, B et C, le calculateur affiche l'équation. L'utilisateur peut souhaiter vérifier que l'équation affichée est la même que l'équation en main pour éviter les erreurs de saisie.

• Équation : x²-8x+12=0

• Solution : x₁=2 et x₂=6

• Étapes :

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ ou \ 2$$

La solution est donc x₁=2 et x₂=6. Nous pouvons valider graphiquement les résultats en inspectant l'intersection de la fonction avec l'axe x-axis. La figure 2 montre que la fonction croise bien l'axe x-axis aux points mentionnés ci-dessus.

Figure 2 : Tracé de y₁=x²-8x+12

Exemple 2 : Une solution réelle

Considérons maintenant une autre fonction, y₂-3x²+25=-4x²+10x. Avant d'utiliser le calculateur, une première étape consiste à isoler y₂ d'un côté et à rassembler tous les autres termes de l'autre côté sous la forme y₂=-4x²+10x+3x²-25. En assimilant y₂ à zéro et en effectuant les opérations arithmétiques, la forme générale suivante est obtenue : -x²+10x-25=0 avec a=-1, b=10 et $c=-25 $.

Le discriminant est égal à zéro b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0, donc l'utilisateur peut s’attendre à une solution unique. Ensuite, nous pouvons utiliser le calculateur de formule quadratique pour trouver x₁=x₂=5.

• Équation : -x²+10x–25=0

• Solution : x = 5

• Étapes :

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

La figure 3 montre le tracé de y₂ où l'on constate bien que la fonction croise l'axe x-axis en ce seul point.

Figure 3 : y₂=-x²+10x-25

Exemple 3 : Deux solutions complexes

Enfin étudions y₃=x²-4x+8 pour montrer comment une fonction quadratique peut avoir deux solutions complexes. La figure 4 montre que y₃ ne croise pas l'axe x-axis.

Figure 4 : y₃=x²-4x+8

La formule b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0 indique l'existence de deux solutions complexes, mais que sont les nombres complexes ?

Un nombre complexe est un nombre qui s'exprime sous la forme d'une combinaison de nombres réels et imaginaires et prend la forme a+ib.

Dans ce cas, "i" dans les nombres complexes représente l'unité imaginaire, soit la racine carrée de -1.

Le terme A désigne la partie réelle du nombre complexe (Re). D'autre part, ib est le nombre imaginaire (Im) où i=√-1.

La racine carrée contiendra un nombre négatif lorsque le terme b²-4ac est inférieur à zéro. Ainsi, prendre la racine carrée d'un nombre négatif nécessite d'utiliser des nombres complexes.

Revenons à la recherche de la solution de x²-4x+8=0. Le calculateur résout l'équation et trouve x₁=2+2i et x₂=2-2i.

• Équation : x²–4x+8=0

• Il y a deux solutions possibles : x=2±2i

• Étapes :

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

Champ d'utilisation et conseils

Le calculateur de formule quadratique est conçu pour les étudiants en écoles et en universités ou pour tous ceux qui recherchent une solution rapide à une fonction quadratique. Les fonctions quadratiques peuvent être trouvées dans l'ingénierie, l'économie, l'agriculture, etc.

Bien que l'utilisation de l'outil soit simple, l'utilisateur doit être capable d'effectuer des opérations arithmétiques de base pour mettre l'équation sous la forme quadratique standard ax²+bx+c=0 afin d’utiliser l'outil. De plus, il est préférable (même si ce n’est pas une condition préalable) d'être familier avec les nombres complexes puisque la solution d'une équation quadratique pourrait être une paire de nombres complexes.

L'utilisateur peut également être intéressé par l'utilisation d'outils de traçage pour visualiser la fonction et ses solutions.