Calculateur de distance en 2D

Ce calculateur permet de trouver la distance entre deux points sur un plan si les coordonnées des points sont connues. Le calculateur fonctionne dans un espace à 2 dimensions.

Étant donné qu'une ligne droite représente la distance la plus courte entre deux points, ce calculateur peut être utilisé comme calculateur de longueur de ligne.

Mode d'emploi

Ce calculateur trouve la distance entre le point 1 dont les coordonnées sont (X₁, Y₁) et le point 2 dont les coordonnées sont (X₂, Y₂).

Pour trouver la distance entre deux points, entrez leurs coordonnées dans les champs correspondants. Les coordonnées doivent être saisies comme suit :

• Une virgule doit séparer les deux coordonnées de chaque point ; par exemple, entrez "4,5" dans le champ (X₁, Y₁) pour que le point 1 ait une coordonnée x de 4 et une coordonnée y de 5. Si l'une des coordonnées est représentée par une décimale, utilisez la virgule pour séparer la partie entière de la partie décimale ; par exemple, entrez "4,5,7" pour obtenir un point dont la coordonnée x est 4,5 et la coordonnée y 7.
• Vous ne pouvez utiliser que des nombres entiers et décimaux comme coordonnées de points. Les fractions ne sont pas acceptées.
• Les espaces entre les coordonnées ne sont pas nécessaires, mais vous pouvez les utiliser pour plus de commodité

Après avoir saisi les coordonnées, appuyez sur "Calculer". Le calculateur renvoie la réponse finale et l'algorithme détaillé de la solution.

Formule de distance

Sur un plan à deux dimensions, la distance d entre le point 1 de coordonnées (X₁, Y₁) et le point 2 de coordonnées (X₂, Y₂) peut être trouvée à l'aide de la formule suivante :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

En d'autres termes, la distance entre deux points dans un espace à deux dimensions est égale à la racine carrée de la somme des différences quadratiques des coordonnées correspondantes. Cette formule est connue sous le nom de formule de la distance euclidienne. Par conséquent, cette calculatrice peut également être appelée calculatrice de distance euclidienne.

Dérivation de la formule de la distance euclidienne

Pour calculer la formule, considérons deux points donnés sur le plan de coordonnées (X, Y) :

Pour trouver la distance entre le point 1 et le point 2, traçons une ligne verticale vers le bas à partir du point 2, et une ligne horizontale vers la droite à partir du point 1. Les deux lignes tracées et la distance nécessaire formeront un triangle droit. La branche verticale de ce triangle sera formée par la distance verticale entre le point 1 et le point 2 : Y₂ - Y₁. La branche horizontale du triangle sera formée par la distance horizontale entre les deux points : X₂ - X₁. L'hypoténuse de ce triangle représente la distance nécessaire entre les points. Lorsque les longueurs des branches du triangle rectangle sont connues, la longueur de l'hypoténuse peut être trouvée à l'aide du théorème de Pythagore :

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Exemples de calcul

Exemple 1

Trouvons la distance entre le point 1 avec (X₁, Y₁) = (3, 1) et le point 2 avec (X₂, Y₂) = (5, 7). En substituant les valeurs de X₁, Y₁, X₂, Y₂ dans la formule de la distance euclidienne, on obtient :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Notez que changer l'ordre des points ne change pas le résultat final puisque les différences entre les coordonnées sont élevées au carré. Répétons le calcul ci-dessus, en supposant que (X₁, Y₁) = (5, 7), et (X₂, Y₂) = (3, 1) :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Exemple 2

Prenons un exemple avec des coordonnées négatives et trouvons la distance entre le point 1 avec (X₁, Y₁) = (-4, 2) et le point 2 avec (X₂, Y₂) = (6, -6). En substituant les valeurs de X₁, Y₁, X₂, Y₂ dans la formule de la distance euclidienne, on obtient :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Exemples concrets

Comme indiqué ci-dessus, la formule de la distance euclidienne est basée sur le théorème de Pythagore. Cependant, elle adapte le théorème à des situations où seules les coordonnées des points sont connues (plutôt que les longueurs des côtés du triangle utilisées par le théorème de Pythagore). La formule s'avère utile lorsqu'il s'agit de calculer des distances à partir des coordonnées figurant sur une carte ou un graphique. Elle est également utilisée pour calculer les grandeurs des nombres complexes et des vecteurs.

Exemple 3

Imaginez une échelle appuyée contre le mur. Dans cette situation, le sol représente l'axe x du plan 2D et le mur représente l'axe y, comme le montre l'image ci-dessous. Si l'échelle touche le mur au point (0, 2), et touche le sol au point (3, 0), trouvez la longueur de l'échelle.

Solution

Pour trouver la longueur de l'échelle dans un plan à 2 dimensions formé par le mur et le sol, identifions d'abord les coordonnées des extrémités de l'échelle : X₁, Y₁, X₂, Y₂. Appelons le point où l'échelle touche le mur - point 1 (X₁, Y₁), et le point où l'échelle touche le sol - point 2 (X₂, Y₂). Nous savons que l'échelle touche le mur au point de coordonnées (0, 2). Par conséquent, (X₁, Y₁) = (0, 2) :

X₁ = 0, Y₁ = 2

Remarquez que X₁ = 0, ce qui est clairement illustré par l'image ci-dessus, où le point (0, 0) correspond au point physique où le mur rencontre le sol, ce qui rend les valeurs négatives de X et Y impossibles.

De plus, nous savons que l'échelle touche le sol au point de coordonnées (3, 0). Par conséquent, (X₂, Y₂) = (3, 0) :

X₂ = 3, Y₂ = 0

De même, Y₂ = 0 puisque ces coordonnées correspondent au point situé directement sur le sol. Utilisons maintenant la formule de la distance pour calculer la longueur de l'échelle :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Réponse

La longueur de l'échelle est de 3,6.

Distance en 3D

La distance euclidienne est ce que la plupart des gens appellent "distance". Lorsque nous disons qu'un objet se trouve à 5 mètres de nous, c'est la distance euclidienne que nous avons à l'esprit. La formule de distance décrite ci-dessus peut facilement être extrapolée en 3 dimensions (ou même plus !).

Dans un espace à 3 dimensions, la distance entre le point 1 dont les coordonnées sont (X₁, Y₁, Z₁) et le point 2 dont les coordonnées sont (X₂, Y₂, Z₂) peut être calculée comme la racine carrée de la somme des carrés des différences entre les coordonnées correspondantes :

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$