Calculateur de factorisation des nombres premiers

Ce calculateur de factorisation en ligne permet de trouver tous les facteurs premiers d'un nombre donné. Le calculateur démontre les facteurs premiers sous la forme générale, ainsi que sous la forme exponentielle et le format CSV. En outre, ce calculateur de factorisation peut créer un arbre de facteurs premiers et trouver tous les facteurs (et pas seulement les facteurs premiers) du nombre donné.

Mode d'emploi

Pour utiliser ce calculateur et trouver les facteurs premiers d'un nombre, entrez le nombre donné et appuyez sur "Calculer". Le calculateur renvoie les facteurs premiers du nombre sous la forme générale, sous la forme exponentielle et sous forme de liste au format CSV.

Vous avez également la possibilité de créer un arbre de factorisation et de trouver tous les facteurs du nombre donné. Ces deux options peuvent être choisies en cochant la case correspondante.

Limitations sur les valeurs d'entrée

• Les valeurs d'entrée doivent être des nombres entiers ; les décimales et les fractions ne sont pas acceptées.
• Seuls les nombres entiers positifs supérieurs à 1 peuvent être utilisés comme valeurs d'entrée.
• La longueur du nombre ne peut excéder 13 chiffres (sans virgule pour séparer les milliers), c'est-à-dire que la valeur du nombre saisi doit être inférieure à 10 000 000 000 000 ou 10000000000000. La valeur d'entrée maximale est donc 9 999 999 999 999 ou 9999999999999.

Nombres premiers et nombres composés

Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1, qui ne peut être divisé en d'autres nombres entiers. En d'autres termes, un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui ne peut pas être obtenu en multipliant d'autres nombres entiers. Les plus petits nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... (Notez qu'un seul nombre premier est pair - 2, tous les autres nombres premiers sont impairs).

Le nième nombre premier de la liste ci-dessus peut être désigné par Prime[n]. Dans ce cas, Prime[1] = 2, Prime[2] = 3, Prime[3] = 5, et ainsi de suite. Ce calculateur en ligne indiquera l'indice n de chaque nombre premier identifié jusqu'à n = 5000.

Un nombre composé est un nombre entier supérieur à 1 qui peut être obtenu en multipliant d'autres nombres entiers. Par exemple, 6 est un nombre composé puisque 6 = 3 × 2. 12 est un nombre composé puisque 12 = 6 × 2 = 3 × 2 × 2.

Factorisation des nombres

Les nombres que vous multipliez pour obtenir un autre nombre entier sont appelés facteurs. Comme démontré ci-dessus, 3 et 2 sont les facteurs de 6. Puisque 6 peut également être trouvé en multipliant 1 et 6 : 6 = 1 × 6, 1 et 6 sont également les facteurs de 6. Enfin, tous les facteurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6.

Les seuls facteurs d'un nombre premier sont 1 et le nombre lui-même. Par exemple, les facteurs de 17 sont 1 et 17.

La factorisation des nombres premiers consiste à trouver tous les nombres premiers qui peuvent être multipliés pour obtenir le nombre donné. Notez que la factorisation première d'un nombre est différente de la recherche de tous les facteurs de ce nombre.

Par exemple, les facteurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ces facteurs sont écrits sous forme de liste.

La factorisation première de 12 sera donc la suivante : 12 = 2 × 2 × 3 : 12 = 2 × 2 × 3. Dans la factorisation des nombres premiers, nous n'obtenons que des résultats sous la forme de nombres premiers.

Algorithme de factorisation première

Division d'essai

Examinons la méthode de factorisation des nombres premiers la plus intuitive, parfois appelée méthode de division par essais, sur un exemple et identifions les facteurs premiers de 36. Puisque nous connaissons tous les nombres premiers, nous pouvons vérifier si le nombre donné est divisible par l'un d'entre eux. Le plus simple est de commencer par le plus petit nombre premier, qui est 2 :

36 ÷ 2 = 18

Le résultat de cette division est un nombre entier. Par conséquent, 2 est l'un des facteurs premiers de 36. Mais 18 n'est pas encore premier, alors nous continuons et vérifions si 18 est divisible par 2 :

18 ÷ 2 = 9

9 est également un nombre entier. Par conséquent, 18 est divisible par 2.

Essayons à nouveau : 9 ÷ 2 = 4,5. Ceci n'est pas un nombre entier. Par conséquent, 9 n'est pas divisible par 2.

Essayons le nombre premier suivant, 3. 9 ÷ 3 = 3. Il s'agit d'un nombre entier, donc ça marche ! De plus, 3 est déjà un nombre premier, ce qui signifie que nous avons atteint la dernière étape du processus ! Il ne nous reste plus qu'à écrire la réponse finale :

36 = 2 × 2 × 3 × 3

Il s'agit de la façon générale d'écrire la factorisation première d'un nombre. On peut aussi l'écrire en utilisant des exposants tels que ceux-ci :

36 = 2² × 3²

Arbre des facteurs premiers

Le processus de factorisation des nombres premiers peut également être illustré sous la forme d'un "arbre". L'arbre des facteurs premiers pour 36 se présente comme suit :

Division d'essai (tous les facteurs)

Parfois, la factorisation première devient plus facile en exprimant d'abord le nombre comme une multiplication de deux autres nombres (non premiers), puis en identifiant leurs facteurs premiers. Par exemple, trouvons les facteurs premiers de 48. Il est plus facile de commencer par 48 = 6 × 8 puisque vous le connaissez probablement par cœur. Il faut ensuite trouver les facteurs premiers de 6 : 6 = 2 × 3, et de 8 : 8 = 2 × 2 × 2. Enfin, 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹.

Théorème fondamental de l'arithmétique

Tout nombre entier positif supérieur à 1 peut être obtenu à partir d'un ensemble unique de facteurs premiers. Ce théorème est parfois appelé théorème de factorisation des facteurs premiers.

Applications réelles

Les nombres premiers sont utilisés en cryptographie et en cybersécurité pour crypter et décrypter les messages. Nous savons déjà que tout nombre peut être représenté comme le produit d'un ensemble de nombres premiers et que cet ensemble est unique. C'est cette qualité des nombres premiers qui les rend si pratiques pour le cryptage.

Ce qui est encore plus pratique, c'est que la recherche des facteurs premiers de très grands nombres reste une tâche qui prend beaucoup de temps, même pour les ordinateurs modernes. C'est également la raison pour laquelle le calculateur de cette page ne peut pas fonctionner avec des nombres infiniment grands.

Le principe fondamental de l'utilisation des nombres premiers pour le cryptage est qu'il est relativement facile de prendre deux grands nombres premiers et de les multiplier pour créer un nombre composite beaucoup plus grand. Cependant, il est incroyablement difficile de décomposer ce nombre final en ses nombres premiers d'origine.

Imaginez que vous preniez deux nombres premiers à 10 chiffres et que vous les multipliiez pour obtenir un nombre comportant encore plus de chiffres. Imaginez maintenant le processus de factorisation des nombres premiers de ce nombre par division d'essai...

Ce processus est si long qu'aucun ordinateur ne peut actuellement trouver deux nombres premiers initiaux dans un problème donné en un temps raisonnable. Mais cette situation pourrait changer à l'avenir avec la création d'ordinateurs quantiques.