Calculateur de pente

Calculatrice de pente

La calculatrice de pente est un outil en ligne simple qui vous permet de trouver la pente d'une ligne droite. En mathématiques, la pente d'une ligne est définie comme la variation de la coordonnée verticale (coordonnée y) par rapport à la variation de la coordonnée horizontale (coordonnée x).

Notation utilisée

La pente est désignée par la lettre m. Le tracé ci-dessus illustre graphiquement toutes les autres notations utilisées dans la calculatrice. La calculatrice de pente peut effectuer des calculs dans deux scénarios différents :

1. Lorsque les coordonnées des deux points de la ligne sont connues. Sur le graphique, les deux points ont les coordonnées (x₁,y₁) et (x₂,y₂). Dans ce cas, la calculatrice trouvera la pente de la droite, m.

2. Si l'on connaît les coordonnées d'un point (x₁,y₁), la distance d et la pente d'une droite, la calculatrice trouvera les coordonnées du second point de la droite, (x₂,y₂).

Dans les deux scénarios, la calculatrice renverra également d'autres caractéristiques manquantes de la ligne : la variation horizontale ∆x, la variation verticale ∆y, l'angle d'inclinaison θ, la longueur de la ligne, ou distance, d.

Mode d'emploi

Tout d'abord, identifiez les valeurs connues et choisissez la calculatrice appropriée. Si les coordonnées des deux points sont connues, sélectionnez "Si les 2 points sont connus".

Si vous n'avez que les coordonnées d'un seul des points, pour effectuer les calculs, vous devrez connaître la distance, d, et la pente de la droite, m. Dans ce cas, choisissez "Si 1 point et la pente sont connus".

Si les 2 points sont connus

Insérez les coordonnées connues des points dans les champs correspondants, puis appuyez sur "Calculer". La calculatrice renvoie les informations suivantes :

• la pente m,
• l'angle d'inclinaison θ,
• la longueur de la ligne d,
• la variation horizontale ∆x,
• la variation verticale ∆y.

La calculatrice démontrera également les formules utilisées pour trouver la pente et toutes les autres valeurs caractéristiques de la ligne. La calculatrice affichera l'équation correspondante de la droite, et elle tracera schématiquement la droite pour une représentation visuelle.

Pour effacer tous les champs, appuyez sur "Effacer".

Si 1 point et la pente sont connus

Insérez les coordonnées connues du point, la distance et la pente dans les champs correspondants. Notez qu'au lieu de la pente, vous pouvez insérer la valeur de "l'angle d'inclinaison (θ)". La valeur de θ doit être insérée en degrés. Une seule de ces valeurs doit être insérée (soit m, soit θ). Si les deux valeurs m et θ sont insérées, la calculatrice ignorera la valeur de θ et utilisera uniquement la pente m pour les calculs.

Appuyez sur "Calculer". La calculatrice renvoie les informations suivantes : les coordonnées du deuxième point (x₂,y₂), la variation horizontale ∆x, la variation verticale ∆y, et la longueur de la droite d. Si la pente m était utilisée pour les calculs, la calculatrice renverrait également la valeur de θ. Si l'angle d'inclinaison θ a été utilisé pour les calculs, la valeur de m sera retournée dans la réponse. De plus, la calculatrice affichera l'équation correspondante de la ligne, et elle tracera schématiquement la ligne pour une représentation visuelle.

Pour effacer tous les champs, appuyez sur "Effacer".

Formule de la pente

Comme nous l'avons vu précédemment, la pente d'une droite est définie comme la variation de la coordonnée verticale (y-coordinate) d'une droite par rapport à la variation de la coordonnée horizontale (x-coordinate) :

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

L'équation ci-dessus est appelée formule de la pente. Nous pouvons l'utiliser pour trouver la pente de n'importe quelle droite donnée si les coordonnées de deux points sur la droite sont connues. La pente est communément désignée par m, et sert à décrire la direction de la ligne, ainsi que sa raideur :

• Si la droite va vers le haut de gauche à droite, alors y₂>y₁ quand x₂>x₁. La pente sera toujours positive, m>0. Dans ce cas, on dit que la droite est croissante.

• Si la droite va vers le bas de gauche à droite, alors y₂ < y₁ quand x₂>x₁. La pente sera négative, m<0. Dans ce cas, on dit que la droite est décroissante.

• Si la droite est horizontale, alors y₂=y₁ et y₂-y₁=0. Alors la pente sera également égale à zéro : m=0.

• Si la ligne est verticale, alors x₂=x₁ et x₂-x₁=0. La formule de la pente aura un zéro au dénominateur, et la pente est indéfinie.

Équation linéaire

Nous pouvons écrire toute équation linéaire sous la forme suivante :

$$y=mx+b$$

Cette forme d'équation linéaire est appelée forme de l'axe de la pente. Le tracé de cette équation sera une ligne droite, où m est la pente de la ligne. Et B est la coordonnée à laquelle le graphique intercepte l'axe des ordonnées. B est parfois aussi appelé l'ordonnée à l'origine de la droite, puisque y=b lorsque x=0.

Lorsque les coordonnées d'un point de la droite et la pente sont connues, on peut écrire l'équation de la droite sous la forme dite "point-pente" :

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Cette forme de l'équation linéaire est utile pour trouver l'ordonnée à l'origine d'une droite.

Exemple de calcul

Supposons que nous connaissions les coordonnées des deux points de la droite.

Ces coordonnées sont données :

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Trouvons d'abord la pente de cette droite :

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Maintenant, trouvons les autres valeurs caractéristiques de la droite. Nous savons que m=tanθ. Par conséquent, nous pouvons trouver l'angle d'inclinaison θ comme suit :

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= arctan\frac{∆x}{∆y} = 71,565051177078°$$

De plus,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Nous pouvons trouver la distance d en utilisant un théorème de Pythagore. Il stipule que le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés de la longueur des branches du triangle rectangle.

En appliquant ce théorème à notre triangle, on obtient :

$$d^2=∆x2+∆y2$$

Par conséquent,

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Pour trouver l'ordonnée à l'origine de la droite, écrivons l'équation de la droite sous la forme point-pente, en substituant nos valeurs données de m, x₁ et y₁ :

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Par conséquent, y=-2 est l'ordonnée à l'origine de la droite, ou, en d'autres termes, lorsque x=0, y=-2.

Si y=0 :

$$x=\frac{2}{3}=0,66666666666667$$

Le croquis montre la ligne correspondante. Dans notre cas, la pente est positive, m>0, et nous pouvons voir que la ligne est croissante - elle monte de gauche à droite. Nous pouvons également voir que la ligne est assez raide puisque l'angle d'inclinaison θ ≈ 72°.