Calculateur de racine cubique

Ce calculateur permet de trouver toutes les racines cubiques d'un nombre donné. Il trouve à la fois les racines réelles et imaginaires.

Mode d'emploi

Pour trouver la racine cubique d'un nombre, entrez ce nombre dans le champ de saisie et appuyez sur "Calculer". Le calculateur affichera la réponse en deux parties : la "racine principale (réelle)" et "toutes les racines", où "toutes les racines" comprennent la racine principale et les racines imaginaires.

Le calculateur prend en charge les nombres entiers positifs et négatifs en tant qu'entrées. Les fractions et les nombres imaginaires ne sont pas acceptés. Notez que si vous utilisez une fraction ou un nombre imaginaire comme entrée, ce calculateur de racines cubiques ignorera automatiquement tout ce qui suit le premier symbole non numérique. Par exemple, si vous entrez 8/15, le calculateur calculera la racine cubique de 8 ; si vous entrez 5 + 3i, la racine cubique de 5 sera calculée.

Définition de racine cubique

La racine cubique d'un nombre est définie comme le nombre qui doit être multiplié trois fois pour obtenir le nombre original. La racine cubique de x est communément désignée par ∛x. Selon la définition, y est la racine cubique de x :

$$y=\sqrt[3]{x}$$

si

$$y \times y \times y = x$$

Prendre la racine cubique d'un nombre, ∛x, équivaut à élever ce nombre à la puissance 1/3 :

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

L'opération sur la racine cubique est l'inverse de l'opération sur le cube. Pour trouver le cube d'un nombre, ce nombre doit être multiplié trois fois :

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

Et inversement,

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Cubes parfaits

Un cube parfait est un nombre dont la racine cubique est un nombre entier. Par exemple, 8 est un cube parfait car :

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Puisque les nombres entiers sont des nombres entiers qui peuvent être positifs et négatifs, les cubes parfaits peuvent être à la fois positifs et négatifs. Par exemple, -8 est un cube parfait car :

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 est aussi un nombre entier et

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

Par conséquent, 0 est aussi un cube parfait.

En revanche, 4 n'est pas un cube parfait puisque la racine cubique réelle de 4 :

∛4 ≈ 1,58740105

qui n'est pas un entier.

Propriétés des racines cubiques

La racine cubique d'un nombre négatif est définie comme le négatif de la racine cubique d'un nombre positif, c'est-à-dire ,

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Par exemple,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Propriété de multiplication des racines cubiques :

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Calcul des racines cubiques

Calcul de la racine cubique réelle d'un cube parfait

Pour trouver la racine cubique d'un nombre, utilisez la méthode de factorisation des nombres premiers :

1. Trouvez les facteurs premiers du nombre.
2. Divisez les facteurs premiers en groupes contenant trois facteurs identiques.
3. Prenez un facteur de chaque groupe et multipliez-les pour obtenir la réponse finale.

Par exemple, trouvons toutes les racines cubiques réelles de 3375, ∛3375 :

1. En trouvant les facteurs premiers de 3375, on obtient 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. En les divisant en groupes de trois facteurs identiques, on obtient 3375 = (3 × 3 × 3) × ( 5 × 5 × 5).
3. Enfin, en prenant un facteur de chaque groupe et en les multipliant, on obtient 3 × 5 = 15.

Par conséquent, ∛3375 = 15.

Si les facteurs premiers d'un nombre ne forment pas des groupes de trois, le nombre n'est pas un cube parfait et nous ne pouvons pas utiliser cette méthode pour trouver la racine cubique.

Calcul de la racine cubique réelle d'un nombre supérieur à -1 et inférieur à 1 (0 exclu)

Si le nombre donné est supérieur à -1 et inférieur à 1, il ne peut pas être un cube parfait puisque, par définition, un cube parfait est un nombre dont la racine cubique est un entier. Tout nombre y de l'intervalle -1 < y < 1 qui n'est pas 0 ne peut pas être un cube parfait. Cependant, il est parfois relativement facile de trouver la racine cubique réelle d'un tel nombre.

Par exemple, trouvons toutes les racines cubiques réelles de -0,000125. Ce nombre n'est pas un entier. Par conséquent, nous ne pouvons pas utiliser la méthode de factorisation des nombres premiers décrite ci-dessus.

Mais nous pouvons facilement remarquer que -0,000125 = -125 × 10-⁶. Par conséquent,

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

En utilisant la multiplication de la racine cubique, nous obtenons :

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

En réécrivant la racine cubique du nombre négatif comme la négative de la racine cubique du nombre positif, nous obtenons :

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Il est facile de remarquer que 125 = 5 × 5 × 5, et 10-⁶ = 10-² × 10-² × 10-². Par conséquent,

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

et

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

Au final, on obtient :

$$\sqrt[3]{(-0,000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0,05$$

Exemples pratiques

Dans la vie courante, les racines de cubes permettent de trouver la longueur du côté de n'importe quel objet cubique. En effet, si vous connaissez le volume d'une boîte et que vous voulez en connaître la hauteur, vérifiez si elle peut tenir quelque part. Ou encore, si vous devez estimer la quantité de peinture nécessaire pour peindre les murs d'une pièce cubique. Ou encore, si vous devez compter le nombre de carreaux, vous devez recouvrir le sol d'une pièce cubique d'un volume connu.

Le volume cubique de bois

Imaginez que vous construisiez une maison et que vous trouviez une annonce pour 64 mètres cubes de bois à vendre. Quelles seraient les dimensions de ce volume de bois en longueur, largeur et hauteur ?

Pour résoudre ce problème, vous devez trouver la racine cubique de 64. La longueur du côté du cube imaginaire qui vous aiderait à décrire ce volume serait ∛64 = 4. Ainsi, à partir des données originales sur le volume cubique du bois, nous avons une idée différente de la taille d'un tel volume.