Calculateur de triangle rectangle

Calculateur de triangle rectangle

Le calculateur de triangle rectangle est un résolveur de triangle en ligne qui se spécialise uniquement dans les triangles rectangles. Le calculateur prend en entrée deux valeurs quelconques d’un triangle rectangle et calcule les mesures manquantes de ce triangle. Les valeurs incluses sont : les longueurs des côtés du triangle (a, b et c), les valeurs d'angle (α et β) à l'exception de l'angle droit, le périmètre (P), l'aire (A) et la hauteur à hypoténuse (h).

Pour utiliser le calculateur, saisissez deux des valeurs énumérées ci-dessus et appuyez sur "Calculer". Pour effacer toutes les valeurs d'entrée, appuyez sur "Effacer".

Les valeurs d'angle peuvent être saisies en degrés et en radians. Pour saisir la valeur en radians à l'aide de π, utilisez la notation suivante : "pi". Par exemple, si la valeur d'angle donnée est π/3, saisissez "pi/3".

Le calculateur affichera toutes les valeurs manquantes recherchées ainsi que les étapes de calcul. Le calculateur affichera également une vue à l'échelle du triangle pertinent, et les valeurs du rayon du cercle inscrit et du rayon du cercle circonscrit.

Limitations sur les valeurs d'entrée du calculateur de triangle

1. Vous ne pouvez saisir que deux valeurs.
2. Les valeurs d'angle de α et β doivent être inférieures à 90° ou (π/2)rad.
3. La longueur de la hauteur à l'hypoténuse (h) ne doit pas dépasser la longueur de n'importe quel côté adjacent à l’angle droit (a ou b).
4. La longueur de chaque côté du triangle (a, b ou c) doit être inférieure à la somme des deux autres côtés.
5. Pour toute longueur d'hypoténuse donnée, le triangle a un périmètre maximum. Le calculateur n'acceptera aucun périmètre dépassant cette valeur. Le périmètre maximum d’un triangle rectangle de longueur d'hypoténuse donnée correspond au cas d'un triangle isocèle (a=b). Dans ce cas : \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$, et le périmètre maximum est : \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Triangle rectangle : définition et informations utiles

Un triangle rectangle est un triangle dont un angle est égal à 90° ou \$\frac{π}{2}\ rad\$. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. Les deux autres côtés sont appelés cathètes du triangle, ou côtés adjacents à l'angle droit du triangle.

La cathète b est parfois appelée la base du triangle rectangle et la cathète a est la hauteur du triangle rectangle.

Les cathètes du triangle sont toujours plus courtes que l'hypoténuse. Puisqu'un des anglse du triangle est égal à 90° et que la somme des angles de tout triangle est de 180°, la somme des deux autres angles du triangle rectangle est également de 90° : α+β=90°. Les longueurs des côtés du triangle sont liées les unes aux autres suivant le théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore relie ensemble les longueurs de tous les côtés d'un triangle rectangle. Il stipule que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux cathètes :

$$c^2=a^2+b²$$

Par conséquent, si seules les longueurs des cathètes sont connues, la longueur de l'hypoténuse peut être calculée comme suit :

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

Supposons que nous connaissions la longueur d'une cathète et la longueur de l'hypoténuse. Dans ce cas, nous pouvons calculer la longueur de l'autre cathète comme suit :

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Le théorème de Pythagore est le théorème le plus important pour les triangles rectangles et l'un des théorèmes les plus importants de la géométrie euclidienne.

Autres formules essentielles

Outre le théorème de Pythagore, les relations suivantes sont utilisées pour calculer les valeurs manquantes d'un triangle rectangle :

Le périmètre d'un triangle est la somme des longueurs de tous ses côtés et s’écrit sous la forme :

$$P = a + b + c$$

L'aire d'un triangle rectangle se calcule comme suit :

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

Pour trouver les angles du triangle rectangle, nous devons calculer le sinus, le cosinus et la tangente des angles. Pour trouver le sinus, le cosinus ou la tangente d'un angle, nous devons identifier les côtés adjacents et opposés de l'angle. Une hypoténuse et une cathète forment les deux angles aigus d’un triangle rectangle. Cet autre côté est le côté adjacent de l'angle correspondant. Le côté qui reste est donc le côté opposé de cet angle. Par exemple, dans la figure ci-dessous, a est le côté opposé de l'angle α et b est le côté adjacent.

Le sinus de tout angle aigu dans le triangle rectangle correspond à la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l'hypoténuse :

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Le cosinus de tout angle aigu dans le triangle rectangle correspond à la longueur du côté adjacent divisée par la longueur de l'hypoténuse :

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

La tangente de tout angle aigu dans le triangle rectangle correspond au rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent :

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

La longueur de la hauteur à l'hypoténuse est calculée ainsi :

$$h=\frac{ab}{c}$$

Le calculateur détermine également le rayon et le périmètre d'un triangle donné à l'aide des formules suivantes :

$$Inradius=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Circumradius=\frac{c}{2}$$

Exemple de calcul

Supposons que nous ayons un triangle où les longueurs des deux cathètes sont connues : a = 3 et b = 4. Trouvons toutes les valeurs manquantes du triangle.

Trouvons d'abord la longueur de l'hypoténuse c en utilisant le théorème de Pythagore :

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Maintenant, trouvons les angles du triangle. Comme mentionné ci-dessus :

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

Donc :

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0,6)=0,6435\ rad\ =\ 36,87° = 36°52'12"$$

De la même manière :

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Donc :

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0,8)=0,9273\ rad\ =\ 53,13° = 53°7'48"$$

Trouvons la hauteur à l'hypoténuse, h :

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Pour l'aire du triangle, on a :

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Pour le périmètre du triangle donné, on a :

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

Le rayon du cercle inscrit peut être calculé comme suit :

$$Inradius=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

Et enfin, le rayon du cercle circonscrit :

$$Circumradius=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2,5$$

Triangles rectangles spéciaux

Il existe deux types particuliers de triangles rectangles : le triangle 45-45-90 et le triangle 30-60-90. Les longueurs des côtés de ces triangles respectent un rapport spécial.

Le triangle rectangle isocèle

Le triangle rectangle dont les mesures des angles aigus sont 45° et 45° a deux angles égaux. Par conséquent, les longueurs de ses cathètes sont également égales, ce qui rend ce triangle isocèle et droit. Les longueurs de ses côtés sont liées comme suit :

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

Le triangle 30-60-90

Les angles aigus de ce triangle sont 30° et 60°. Les longueurs de ses côtés sont liées comme suit :

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

où "a" est le côté opposé à l'angle de 30°, "b" est le côté opposé à l'angle de 60° et "c" est l'hypoténuse.