Calculateur Modulo

L'opération modulo est une méthode pour trouver le reste d’une opération de division. Les spécificités du modulo sont qu'il renvoie le reste sous la forme d'un nombre entier.

Imaginez que vous ayez trois enfants. Vous achetez une boîte de bonbons contenant 20 bonbons. Vous aimeriez répartir l’ensemble des bonbons de manière égale et équitable entre vos enfants. Vous comptez manger les bonbons restants vous-même, et sans avoir besoin de les couper ou de les casser. Vos enfants se trouvent encore à l'école. Ainsi, vous pouvez commencer par déterminer le reste après la division et manger le nombre de bonbons correspondant.

C'est justement ce que permet l’utilisation de l'opération modulo. Il peut également être représenté par le signe % ou mod. Pour les opérations sur de petits nombres, vous pouvez effectuer facilement les calculs dans votre tête. Mais si vous travaillez avec de grands nombres, il sera plus aisé d’utiliser un calculateur modulo.

L'équation peut être représentée comme suit :

Dividende = (Quotient × Diviseur) + Reste

Dans notre cas :

• le dividende est de 20 (le montant total des bonbons) ;
• le diviseur est 3 (le nombre d'enfants) ;
• le quotient est de 6 (le nombre de bonbons pour chaque enfant) ;
• le reste est de 2 (le nombre de bonbons que vous pouvez prendre pour vous).

Si vous utilisez l'opération modulo, vous pouvez l'écrire sous la forme suivante :

x % y = r

ou

x mod y = r

Où x est le dividende (numérateur), y est le diviseur (dénominateur) et r est le reste.

Dans notre cas :

20 % 3 = 2

Calculs sans calculateur modulo

Prenons un cas précis comme exemple.

Exemple

Wayan vit à Bali et construit une petite maison d'hôtes avec six unités résidentielles. Il souhaite carreler les salles de bains. Son voisin, Gede, qui a déjà terminé la construction de son hôtel, offre à Wayan une remise considérable pour acheter les carreaux restants.

Le voisin a compté 15 boîtes dans son entrepôt, contenant chacune 4 carreaux (60 × 60 cm) et deux carreaux stockés individuellement. Cela fait donc 62 carreaux au total. Et Gede veut vendre tous les carreaux d'un coup.

Wayan doit maintenant déterminer combien de salles de bains il pourra carreler avec ces carreaux et combien de carreaux seront inutilisés à la fin.

Comment trouver le modulo manuellement sans aucun calculateur d'opérateur de modulo ?

Wayan a mesuré la taille d'une salle de bain standard dans sa maison d'hôtes et s'est rendu compte qu'il avait besoin d'environ 14 carreaux par pièce.

Faisons les calculs à la main !

1. Décidez d'un nombre de départ ou d'un dividende. Dans notre cas, c'est 62, c’est-à-dire le nombre de carreaux que le voisin propose.
2. Déterminez le diviseur. Il s'agit de 14, soit le nombre moyen de carreaux pour une salle de bains standard.
3. Divisez le dividende par le diviseur et arrondissez le résultat à un nombre entier. 62 / 14 = 4,428571428571429, arrondi à 4. Wayan peut donc utiliser les carreaux pour quatre salles de bain.
4. Multipliez le résultat arrondi de la division par le diviseur. Et cela donne 4 × 14 = 56. Ce sera le nombre de carreaux pour quatre pièces.
5. Soustrayez ce résultat de multiplication du dividende original. 62 - 56 = 6. Cela laisse Wayan avec six carreaux supplémentaires.

De manière simplifiée et abrégée, nous pouvons écrire cette opération comme suit :

62 % 14 = 6

ou

62 mod 14 = 6

Wayan a décidé que c'était une bonne option car il souhaitait s’assurer une réserve d'environ 10% pour les travaux de carrelage en cas de découpe ou de bavure. Et il achètera les carreaux des deux autres salles de bains dans un magasin de construction local.

Un calculateur de mod permet de trouver ce résultat en quelques secondes seulement.

Démonstration du principe modulo avec une horloge

Un type de mathématiques appelé "arithmétique modulaire" traite des structures cycliques. La façon la plus simple de représenter cela est un cadran avec un cycle de 12. Pour un mathématicien, le cadran a le mod 12.

Si vous voulez voir si 251 heures correspond à un nombre exact de jours, vous pouvez appliquer l'opération :

251 mod 24

Le résultat est 11, donc la réponse est non ! On ne peut répondre "oui" que si le résultat est 0.

Exemple

Daniel veut prendre un bus d'Atlanta à Miami. Il part à 13 heures et la route prend 15 heures. Quelle heure sera-t-il quand il arrivera ? Ce serait

1 + 15 mod 12

Ce qui donne 4. Il arrivera donc à 4 heures du matin.

Utiliser le modulo

Déterminer les nombres pairs et impairs

L'une des utilisations les plus élémentaires de l'opérateur de modulo est de déterminer si un nombre est pair ou impair. Ceci est possible car x % 2 renvoie toujours 0 ou 1. Les nombres pairs renvoient toujours 0 car ils sont divisibles par 2, tandis que les nombres impairs renvoient toujours un reste de 1.

Le cas le plus courant d'utilisation de modulo dans la programmation est lorsque vous imprimez un tableau dans votre application et que vous souhaitez alterner les couleurs pour chaque rangée. Vous souhaitez par exemple les colorer alternativement en bleu clair et en gris clair, de sorte que vous vérifiez le modulo de chaque rangée pour voir si vous êtes sur une rangée paire ou impaire.

Conversion d'unité

La conversion d'unités est un exemple typique de l'utilisation pratique de l'opération modulo. Le modulo est généralement utilisé lorsque l’on souhaite convertir une unité plus petite, comme les minutes, les pouces ou les centimètres, en une unité plus grande, comme les heures, les miles ou les kilomètres. Les nombres décimaux ou fractionnaires ne sont pas toujours utiles dans de telles situations.

Par exemple, si nous souhaitons connaître le nombre d'heures dans 373 minutes, un résultat exprimé en 6 heures et 13 minutes pourrait être plus précieux que 6,2166666666666666667 heures.

La division standard (avec arrondi au nombre entier le plus proche) détermine le nombre d'heures, et l'opération modulo est utilisée pour comptabiliser les minutes restantes. Qu'il s'agisse de temps, de distance, de pression, d'énergie ou de stockage de données, vous pouvez utiliser cette approche générale pour convertir des unités.

Déterminer une année bissextile

Un autre exemple d'utilisation de l'opérateur modulo est pour déterminer si une année est bissextile.

Une année bissextile est une année civile contenant un jour supplémentaire dans le calendrier solaire. Le jour supplémentaire dans une année bissextile est le 29 février.

Le 1er janvier 45 av. J.-C., le dictateur romain Gaius Julius Caesar introduisit le calendrier élaboré à Rome par les astronomes d'Alexandrie. Le calendrier était basé sur le calcul qu'une année astronomique est d'environ 365,25 jours (365 jours et 6 heures). Ce calendrier s'appelait le calendrier julien.

Pour compenser le décalage annuel de six heures, César a introduit une année bissextile. Pendant trois années consécutives, il y avait 365 jours dans une année. Et chaque année, multiple de quatre, un jour supplémentaire est ajouté en février.

Cependant, au fil du temps, il s'est avéré que cette règle seule ne suffisait pas.

L'année tropicale moyenne (le temps entre les deux équinoxes vernaux) est plus précisément d'environ 365 jours, 5 heures et 49 minutes. La différence entre l'année moyenne et l'année civile julienne (365 jours et 6 heures) était d'environ 11 minutes. Ainsi, dans environ 128 ans, ces 11 minutes pourraient représenter une journée supplémentaire.

Pour compenser les erreurs accumulées et éviter un changement similaire à l'avenir, le pape Grégoire XIII a réformé le calendrier en 1582. Il a ajouté des règles supplémentaires pour les années bissextiles. Les années bissextiles étaient toujours un multiple de quatre, mais des exceptions étaient faites pour les années qui étaient un multiple de 100. Ces années n'étaient bissextiles que si elles étaient également divisibles par 400.

Les règles de détermination de l'année bissextile sont devenues les suivantes :

• Une année dont le nombre est un multiple de 400 est une année bissextile.
• Le reste des années dont le total est un multiple de 100 ne sont pas des années bissextiles (par exemple, les années 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300) ;
• Le reste des années, dont le nombre est un multiple de 4, sont bissextiles.
• Toutes les autres années ne sont pas bissextiles.

Ainsi, les années 1700, 1800 et 1900 ne sont pas des années bissextiles, car elles sont un multiple de 100 et non un multiple de 400. Les années 1600 et 2000 sont des années bissextiles, car elles sont un multiple de 400.

Revenons à notre problème.

Nous savons que :

• Si un numéro d'année mod 4 = 0, et un numéro d'année mod 100 ≠ 0 alors il s’agit d’une année bissextile.
• Si un numéro d'année mod 400 = 0, alors il s’agit d’une année bissextile
• Dans tous les autres cas, ce n'est pas une année bissextile.

Avec un simple script Python, vous pouvez déterminer si une année est bissextile ou non. Cela ressemblerait à ceci :

année = int(input('Saisissez l'année : '))

si (année%4 == 0 et année%100 != 0) ou (année%400 == 0) :

	afficher(année, "est une année bissextile.")

sinon:

	afficher(année, "n'est pas une année bissextile.") 

Les applications populaires de l'opérateur modulo en programmation incluent :

• Déterminer si quelque chose est pair ou impair ;
• Effectuer une opération spécifique sur chaque Nième élément d'une liste ;
• Limiter un nombre à une plage de donnée ;
• Rotation parmi des options limitées (tableau circulaire) ;
• Inverser un nombre ;
• Convertir des données linéaires en une matrice ;
• Déterminer si des ensembles sont des versions rotationnelles les uns des autres ;
• Mise en page.

Générateurs de nombres aléatoires

La « correspondance modulo » est souvent utilisée pour le matériel informatique et les équipements de télécommunications pour afin de créer des nombres de contrôle et obtenir des nombres aléatoires dans une plage limitée, comme un générateur de nombres aléatoires congruents. Derrick Henry Lemer a proposé la méthode congruente linéaire en 1949.

La méthode congruente linéaire fonctionne selon la formule suivante :

$$X_{n+1} = (a × X_n + c)\mod m$$

Où :

• m est le modulo,
• a est le multiplicateur,
• c est l'incrément, et
• X₀ est la valeur initiale.

Par exemple, pour m = 11, X₀ = 9, a = 9, c = 9, on obtient la suite de nombres aléatoires suivante :

9, 2, 5, 10, 0, 9, 2, 5, 10, 0, 9

Cryptographie

Les cryptographes apprécient le modulo. Le modulo, lorsqu'il est utilisé avec de très grands nombres, permet de créer quelque chose appelé "fonctions à sens unique". Ces fonctions spéciales permettent de calculer facilement quelque chose dans une direction mais pas dans la direction opposée.

Si 9 est le résultat de la mise au carré, vous pouvez rapidement déterminer que l'entrée était 3. Dans cet exemple, il est facile de le faire de tête du début à la fin. Si je vous dis que 9 est le résultat du mod 29, il est plus difficile d’induire qu’elle était l’entrée.

Les cryptographes aiment cette application car elle leur permet d’uiliser la division avec le reste pour générer des nombres premiers géants afin de créer des clés cryptographiques.

Conclusion

Que vous essayiez de répartir uniformément des objets dans une boîte de rangement, de savoir si un nombre est divisible par un autre nombre ou simplement d'essayer de calculer le temps, le modulo sait se rendre utile. Dans tous ces cas, le reste est aussi crucial que le quotient dans l'opération de division.

Parfois, le problème à résoudre est simple et intuitif. Cependant, il est toujours préférable d'utiliser le calculateur de modulo en ligne pour trouver la solution lorsque les choses sont compliquées.