Calculatrice de formule quadratique

Utilisation d'une calculatrice de formules quadratiques

Cette calculatrice est un outil facile à utiliser qui résout les équations quadratiques. En algèbre, une équation quadratique est toute équation qui peut être écrite sous la forme suivante :

ax²+bx+c=0

où

a≠0

Pour utiliser la calculatrice de formule quadratique, saisissez les valeurs de A, B et C dans les champs correspondants et appuyez sur "Calculer". La valeur de A ne peut pas être égale à zéro, tandis que pour B et C, zéro est une entrée acceptable. Pour les racines réelles et complexes, la calculatrice utilisera la formule quadratique pour déterminer toutes les solutions d'une équation donnée. Après avoir utilisé la formule quadratique, la calculatrice simplifiera également le radical résultant pour trouver les solutions sous leur forme la plus simple.

Résolution d'équations quadratiques à l'aide de la formule quadratique

Vous pouvez résoudre toute équation quadratique à l'aide de la formule quadratique. Pour utiliser la formule quadratique, vous devez d'abord ramener l'équation donnée à la forme suivante : ax²+bx+c=0. Ensuite, les solutions peuvent être trouvées comme suit :

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

La partie de l'équation sous la racine carrée, b²-4ac, est appelée le discriminant. Si le discriminant est positif, b²-4ac>0, l'équation aura deux racines réelles. Si le discriminant est négatif, b²-4ac<0, l'équation aura deux racines complexes puisque la racine carrée d'un nombre négatif est un nombre complexe. Si le discriminant est égal à zéro, b²-4ac=0, l'équation n'aura qu'une seule racine.

La calculatrice d'équations quadratiques affichera les solutions des équations saisies, ainsi que le déroulement des opérations pour trouver ces solutions. La calculatrice calcule également le discriminant et indique s'il est positif, négatif ou égal à zéro.

Exemples pratiques

Exemple 1 (avec racines réelles)

Résolvons l'équation quadratique :

2x²+3x-2=0.

Dans cet exemple, a=2,b=3,c=-2.

En utilisant la formule quadratique pour ces valeurs, nous obtenons :

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Le discriminant de cette équation est positif, b²-4ac=25>0, par conséquent, l'équation aura deux racines réelles.

Simplifions maintenant le radical résultant :

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ et\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ et\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ et\ \ \ x=-2$$

Enfin,

x=0,5

x=-2

Exemple 2 (avec racines complexes)

Résolvons l'équation quadratique suivante :

x²+2x+5=0

Dans cet exemple, a=1,b=2,c=5.

En utilisant la formule quadratique pour ces valeurs, nous obtenons :

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Le discriminant de cette équation est négatif, b²-4ac=-16<0. Par conséquent, l'équation aura deux racines complexes.

Simplifions maintenant le radical résultant :

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Enfin,

x=-1+2i

x=-1-2i

Exemple 3 (avec une racine)

Résolvons l'équation quadratique suivante :

3x²+6x+3=0

Dans cet exemple, a=3,b=6,c=3.

En utilisant la formule quadratique pour ces valeurs, nous obtenons :

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Le discriminant de cette équation est égal à zéro, b²-4ac=0. Par conséquent, l'équation aura une racine.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Enfin,

x=-1

Dérivation de la formule quadratique

Comme nous l'avons démontré ci-dessus, vous pouvez utiliser la formule quadratique pour résoudre absolument toutes les équations quadratiques, que le discriminant soit positif, négatif ou égal à zéro. Voyons maintenant comment on peut la dériver. Connaître les principes de base de la dérivation d'une formule peut s'avérer très utile au cas où vous oublieriez la formule elle-même.

L'algorithme de dérivation d'une formule quadratique est assez simple et repose sur la procédure de complétion du carré. Pour dériver les solutions de l'équation quadratique standard ax²+bx+c=0, vous devez suivre les étapes ci-dessous:

1. Nous avons donc une équation:

ax²+bx+c=0

Déplacez la constante c vers le côté droit de l'équation:

ax²+bx=-c

2. Débarrassez-vous du coefficient A à côté du terme au carré x². Pour ce faire, divisez l'équation par A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Ajoutez

$$(\frac{b}{2a})^2$$

aux deux côtés de l'équation:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Le côté gauche a maintenant la forme x²+2dx+d². Cette expression peut être réécrite sous la forme (x+d)².

Dans notre équation, d est exprimé par $\frac{b}{2a}$.

Donc:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Substituez ceci dans le côté gauche de notre formule, et laissez le côté droit intact pour le moment :

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Maintenant la racine x n'apparaît qu'une seule fois dans l'équation.

5. Extrayez la racine carrée des deux parties de l'équation:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Transférer

$$\frac{b}{2a}$$

au côté droit de l'équation:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Multipliez le côté droit de l'équation par

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Simplifiez l'équation:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Par conséquent, nous obtenons une formule quadratique:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Faits intéressants sur l'équation quadratique

• La somme des deux racines de l'équation quadratique est

$$\frac{-b}{a}$$

Par conséquent, si le discriminant de l'équation quadratique b²-4ac est égal à zéro, l'unique racine de l'équation peut être trouvée sous la forme

$$\frac{-b}{2a}$$

• Le produit des deux racines de l'équation quadratique est

$$\frac{c}{a}$$

• Le terme "quadratique" vient du mot latin "quadratus", qui signifie "carré". L'équation a été appelée quadratique car la plus grande puissance de la variable est 2, c'est-à-dire que la variable est " au carré ".

• La formule quadratique dans sa forme actuelle a été décrite dès 628 après J.-C. par le mathématicien indien Brahmagupta, qui n'utilisait pas de symboles mais discutait de la solution avec des mots. Brahmagupta n'a toutefois décrit qu'une seule des deux solutions possibles, en omettant l'important signe "pm" devant la racine carrée.

• Le graphique d'une fonction quadratique y=ax²+bx+c est une parabole. Les solutions, ou racines, de l'équation quadratique sont en fait les coordonnées des interceptions du graphique avec l'axe des x. Si l'équation a deux racines réelles, le graphique coupe l'axe des x deux fois. Si l'équation n'a qu'une seule racine, le graphique de la parabole correspondante ne touche l'axe des x qu'à son maximum ou à son minimum. Si l'équation n'a aucune racine réelle, le graphique de la parabole correspondante ne coupe pas du tout l'axe des x.

• Lorsque la valeur du coefficient du terme au carré, A, s'approche de zéro, le graphique de la parabole correspondante devient plus plat, tendant finalement à devenir une ligne droite. Lorsque a=0, l'équation devient linéaire et la représentation graphique de celle-ci est évidemment une ligne droite!

• De même, lorsque a>0, la parabole sera orientée vers le haut, si a<0, la parabole correspondante s'ouvrira vers le bas et si a=0, la "parabole" est plate, c'est-à-dire qu'elle est une ligne droite.

Les équations quadratiques sont largement utilisées dans tous les domaines scientifiques. Par exemple, en physique, les équations quadratiques sont utilisées pour décrire le mouvement des projectiles.