Calculatrice de l'écart-type et de la marge d'erreur

La calculatrice de l'écart-type calcule l'écart type d'une série de nombres. En outre, elle fournit des informations supplémentaires sur les nombres, y compris la moyenne et la variance. La calculatrice calcule également l'intervalle de confiance de la série de données pour différents niveaux de confiance et elle fournit le tableau de la distribution des fréquences.

Pour utiliser cette calculatrice, entrez les nombres dans la calculatrice séparés par des virgules. Sélectionnez si les nombres représentent une population ou un échantillon, puis cliquez sur « Calculate ».

L'écart-type

L'écart-type est une mesure statistique qui définit le degré d'écartement ou de variabilité d'une série de données. Il fournit la distance moyenne agrégée des points de données par rapport à la moyenne de l'ensemble des données. Plus l'écart-type est faible, plus les points des données sont proches de la moyenne. Inversement, plus l'écart-type est élevé, plus les points des données sont éloignés de la moyenne. L'écart-type est la racine carrée d'une autre mesure de l'écartement qui s'appelle la variance.

L'écart-type est calculé sur la base des informations relatives à la série de données. Si la série de données représente tous les points d'intérêt (population), l'écart-type s'appellera l'écart-type de la population. Cependant, si la série de données représente un échantillon d'une population, l'écart-type s'appellera l'écart-type de l'échantillon.

L'écart-type d'une population

On calcule l'écart-type d'une population lorsque la série de données représente la population d'intérêt. Autrement dit, la série de données représente toutes les observations prises en considération. L'écart-type d'une population se note σ.

σ est la lettre grecque minuscule nommée sigma. On calcule l'écart-type d'une population à l'aide de la formule :

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Où :

• Σ est la lettre grecque majuscule sigma, qui est utilisée pour indiquer une somme en mathématiques ;
• xᵢ représente chacun des points correspondant aux données (chacune des observations de l'ensemble des données), à partir du premier point jusqu'au Nième (le dernier) point ;
• μ représente la moyenne de la population ;
• n est la taille de la population.

Exemple : calcul de l'écart-type de la population générale

L'exemple suivant montre comment trouver l'écart-type à partir des données d'une population.

Les investisseurs considèrent les actions comme un actif risqué en raison de leur forte volatilité par rapport à d'autres catégories d'actifs. Un gestionnaire de fonds d'investissement souhaite analyser la volatilité de certaines actions lors du mois précédent et il ne recommandera à ses clients aucune action dont l'écart-type est supérieur ou égal à sa moyenne car il considère qu'une telle action est « trop risquée ».

Vous trouverez ci-dessous tous les cours de clôture quotidiens (en dollars) des actions pour le mois précédent. Calculez l'écart-type et déterminez si le gestionnaire considère que l'action est « trop risquée » :

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Notez que le gestionnaire ne s'intéresse qu'aux cours des actions du mois précédent et que la liste ci-dessus correspond à tous les cours du mois précédent. Par conséquent, nous disposons de la population. Nous allons donc calculer l'écart-type en utilisant la formule de l'écart-type de la population.

Pour trouver l'écart-type, vous devez d'abord calculer la moyenne. Rappelez-vous que la moyenne μ est obtenue en divisant la somme des nombres par leur nombre.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Ensuite, soustrayez la moyenne de chaque nombre et mettez la différence au carré. Additionnez ensuite les résultats et divisez le résultat par l'effectif total. Le résultat s'appelle la variance σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Enfin, prenez la racine carrée de la variance pour obtenir l'écart-type.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Comme vous pouvez le voir, l'écart-type des cours de cette action pour le mois précédent est inférieur à la moyenne. Par conséquent, le gestionnaire ne considérera pas cette action comme « trop risquée ».

L'écart-type d'un échantillon

On calcule l'écart-type d'un échantillon lorsque la série de données prise en considération représente un échantillon de la population d'intérêt. La série de données représente un ensemble d'observations plus petit que toutes les observations prises en considération. L'écart-type de l'échantillon se note s. On calcule l'écart-type de l'échantillon à l'aide de la formule :

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Où :

• Σ indique une somme ;
• xᵢ représente chacun des points des données ;
• x̄ représente la moyenne de l'échantillon ;
• n est la taille de l'échantillon.

Nous allons illustrer comment trouver l'écart-type des données de l'échantillon en utilisant le même exemple que pour l'écart-type de la population. Mais dans ce cas, le gestionnaire de fonds d'investissement n'a pas accès aux cours de clôture de tous les jours de négociation du mois précédent. Cependant, il possède les cours de clôture de 5 jours pris au hasard au cours du mois précédent. Par conséquent, il va estimer l'écart-type des cours de clôture des actions en utilisant les données de l'échantillon disponible.

Supposons qu'il ait les prix de clôture pour 5 jours :

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Notez que le gestionnaire s'intéresse aux cours des actions du mois précédent. Cependant, il ne possède pas tous les cours du mois précédent, mais un petit sous-ensemble des cours de clôture de seulement 5 jours. Donc, dans ce cas, nous avons affaire à un échantillon. Nous allons calculer l'écart-type à l'aide de la formule de l'écart-type pour un échantillon.

Calculez d'abord la moyenne de l'échantillon.

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Calculez ensuite la variance s².

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Enfin, prenez la racine carrée de la variance pour obtenir l'écart-type.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx 0,28$$

Marge d’erreur

L'écart-type sert également à calculer la plage « acceptable » de valeurs. Celle-ci joue un rôle important dans l'assurance qualité des statistiques et l'analyse prévisionnelle pour l'industrie. Supposons que les données sous-jacentes examinées suivent une distribution normale. Dans ce cas, cette plage s'appelle l'intervalle de confiance (voir la section suivante). Ces intervalles de confiance sont donnés à différents niveaux de confiance (ou pourcentages).

La marge d'erreur est une composante de l'intervalle de confiance qui donne la largeur de l'intervalle de confiance. Autrement dit, la marge d'erreur donne les valeurs maximales et minimales acceptées de la quantité examinée.

On calcule la marge d'erreur à l'aide de la formule :

$$Marge\ d'erreur = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

On applique cette formule si l'écart-type de la population, σ, est connu. En même temps, l'échantillon doit être suffisamment grand (généralement n>30).

Lorsqu'on ne connait pas l'écart-type de la population et que l'échantillon est petit (généralement n≤30), on utilise la formule suivante :

$$Marge\ d'erreur = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Dans cette formule, on utilise l'écart-type de l'échantillon s car on ne connait pas l'écart-type de la population σ.

Respectivement, \$z_{\alpha/2}\$ et \$t_{n-1, \alpha/2}\$ sont déterminés à l'aide de la statistique z et de la statistique t et on les appelle la valeur critique. Ce sont des constantes associées aux niveaux de confiance.

Les intervalles de confiance les plus couramment utilisés en statistique sont 90 %, 95 % et 99 %. Et leurs valeurs \$z_{\alpha/2}\$ sont de 1,645 (pour 90 %), 1,96 (pour 95 %) et 2,575 (pour 99 %)

On appelle \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ ou \$\frac{s}{\sqrt n}\$ l'erreur type.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ est utilisé lorsqu’on connait l'écart-type de la population σ et qu’on a un grand échantillon (généralement n>30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ est utilisé pour les cas où on ne connait pas l'écart-type de la population et lorsqu’on a un petit échantillon (généralement n≤30). Autrement dit, au lieu de l'écart-type de la population générale σ, on doit utiliser l'écart-type de l'échantillon dont on dispose s.

L'intervalle de confiance

Comme nous l'avons introduit ci-dessus, l'intervalle de confiance est un intervalle (plage de valeurs) dans lequel on s'attend à trouver une quantité donnée à un certain niveau de confiance.

Par exemple, nous pouvons dire qu'une certaine quantité, disons la taille des filles de 13 ans, se situe entre 59 et 66 pouces à un niveau de confiance de 90 %. Autrement dit, si nous choisissons un groupe de filles de 13 ans, leurs tailles se situent entre les valeurs données environ 90 % du temps.

On calcule l'intervalle de confiance à l'aide de la formule :

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ est la moyenne de l'échantillon,
• \$z_{\alpha/2}\$ est la valeur critique,
• σ est l'écart-type de la population,
• n est le nombre d'observations.

On utilise une autre formule lorsqu'on ne connait pas l'écart-type de la population σ et qu'on doit utiliser l'écart-type d'un échantillon s à la place :

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ est la moyenne de l'échantillon,
• $t_{n-1,\alpha/2}$ est la valeur critique,
• s est l'écart-type de l'échantillon,
• n est le nombre d'observations.

Si nous nous rappelons de ce que nous avons vu dans le chapitre précédent, \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ et \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ sont les marges d'erreur.

Exemple : calcul de l'intervalle de confiance

Nous savons que les cours quotidiens des actions envisagés ont une distribution normale. Nous disposons d'un échantillon du cours des actions :

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Nous devons calculer dans quelle fourchette le cours des actions fluctue avec une confiance de 95 %.

Il s'agit d'un petit échantillon et nous ne connaissons pas l'écart-type de la population ; nous allons donc utiliser l'écart-type de l'échantillon et la formule pour faire le calcul :

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ est la moyenne de l'échantillon, 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ est la valeur critique, \$t_{9, 0,025}\$ = 2,26 (pour une taille d'échantillon et un niveau de confiance donnés, la valeur critique est généralement calculée à partir d'une table z ou d'une table t)
• s est l'écart-type de l'échantillon, 0,23
• n est le nombre d'observations, 10
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ est l'erreur type \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$

On insère donc les nombres dans la formule

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Et on obtient :

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Cela signifie que nous sommes sûrs à 95 % que le cours moyen de l'action se situe dans l'intervalle de confiance (0,94, 1,26).