Calculatrice de l'écart-type

L'écart-type comme mesure statistique

L'écart-type est l'une des mesures les plus couramment utilisées pour caractériser les statistiques d'une série de données. En termes simples, l'écart-type est une mesure de la dispersion de l'ensemble des données. En calculant l'écart-type, vous pouvez déterminer si les nombres sont proches ou éloignés de la moyenne. Si les points des données se situent loin de la moyenne, alors il y a un écart élevé dans la série de données. Ainsi, plus la dispersion dans les données est importante, plus l'écart-type est important.

Cette calculatrice définit l'écart-type d'une série de données fournie et affiche les étapes mathématiques que le calcul implique.

Les règles d'utilisation de cette calculatrice

La calculatrice accepte qu'on saisisse une liste de nombres séparés par un délimiteur. Quelques exemples de saisies possibles sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Les nombres peuvent être séparés par des virgule/espace/saut de ligne ou par un mélange de ceux-ci et ils peuvent être insérés au format ligne ou colonne. Pour tous les formats indiqués dans le tableau ci-dessus, la calculatrice traite la saisie comme étant 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 et 89.

Une fois les données saisies, sélectionnez s'il s'agit d'un échantillon ou d'une population et appuyez sur Enter. La calculatrice affiche cinq paramètres statistiques de la série de données : l'effectif total (nombre d'observations), la moyenne, la somme des carrés des écarts, la variance et l'écart-type.

Les problèmes pour lesquels cette calculatrice est conçue

La calculatrice est conçue pour calculer l'écart-type d'une série de données discrètes et elle fournit un aperçu de la théorie qui est à l'origine du calcul.

Les données peuvent constituer une population comprenant toutes les observations possibles dans une expérience (de toute nature) pour les conditions définies. Dans de nombreux cas, il est impossible de tester chaque membre de la population.

Dans la pratique statistique, il est courant de travailler avec un sous-ensemble d'une "population" plus large, que nous appelons "échantillon". En effet, il est souvent peu pratique ou impossible de collecter des données auprès de chaque individu de la population. Nous faisons des estimations ou des déductions sur la population en nous basant sur les informations recueillies auprès de l'échantillon.

Lors du calcul de l'écart-type, la formule utilisée est ajustée selon qu'il s'agit d'un échantillon ou de la population entière. Cet ajustement est effectué au moyen d'un facteur connu sous le nom de "degrés de liberté". Pour un échantillon, on divise par n - 1 (où n est la taille de l'échantillon) au lieu de n lors du calcul de la variance, qui est ensuite élevée au carré pour obtenir l'écart-type. Cette correction compense le fait que nous utilisons des données d'échantillon pour estimer l'écart-type de la population et garantit que notre estimation n'est pas biaisée.

L'écart-type mesure l'écart moyen, la dispersion et la variabilité moyenne d'une série de données par rapport à la moyenne. Il est souvent désigné par la lettre grecque σ pour une population ou s pour un échantillon. Un σ ou s d'une valeur plus élevée implique un écart plus élevé des points de données autour de la moyenne de l'échantillon et vice versa.

Prenons les exemples suivants de séries de données.

(Série I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Série II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20 En remplaçant ces séries de données dans la calculatrice, nous obtenons pour la série I

• x̄=16 - la valeur de la moyenne
• s=8,3904708 - l'écart-type

Pour la série II

• x̄=16 - la valeur de la moyenne
• s=2,3664319 - l'écart-type

Dans la série I, les nombres s'écartent significativement de la moyenne de l'échantillon (s=8,39) tandis que dans la série II, la variabilité est faible (s=2,36) par rapport à la série I.

Formules pour calculer l'écart-type

On applique cette formule lorsque toutes les valeurs de la population sont analysées.

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ est l'écart-type de la population,
• xᵢ est la valeur d'une valeur individuelle de la population,
• μ est la moyenne arithmétique de la population,
• n est la taille de la population.

On utilise la formule ci-dessous lorsque la taille de la population est très grande et qu'on prend seulement un échantillon de celle-ci pour l'analyse.

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s est l'écart-type de l'échantillon,
• xᵢ est la valeur d'un échantillon individuel,
• x̄ est la moyenne de l'échantillon,
• n est la taille de l'échantillon.

Calcul de l'écart-type

Les étapes suivantes sont impliquées dans le calcul de l'écart-type.

Étape 1 : calculez la moyenne de l'échantillon/population. Il s'agit de la somme de tous les points des données divisée par leur nombre N ou n, c'est-à-dire

Moyenne de l’échantillon :

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_n}{n}$$

Moyenne de la population :

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_N}{N}$$

Étape 2 : calculez les écarts en soustrayant la moyenne de l'échantillon/population de chaque point de données, c'est-à-dire

Écarts de l'échantillon :

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x_3-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

Écarts de la population :

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x_3-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

Étape 3 : calculez les carrés des écarts pour chaque point de données.

Carrés des écarts de l'échantillon :

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

Carrés des écarts de la population :

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x_3-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

Étape 4 : calculez la somme des carrés des écarts en additionnant tous les écarts au carré individuels

Somme des carrés des écarts de l'échantillon :

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

Somme des carrés des écarts de la population :

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x_3-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

Étape 5: Divisez la somme des écarts quadratiques par le nombre de degrés de liberté pour obtenir la variance. Pour une population, divisez par N, et pour un échantillon, divisez par n-1.

Variance de l'échantillon

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

Variance de la population

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N} $$

Pour le calcul de la variance dans le cas d’un échantillon, on pourrait supposer qu’on utilise l'expression :

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

où

x̄ est la moyenne de l'échantillon et n est la taille de l'échantillon. Mais une telle formule n'est pas utilisée.

Une telle expression ne donnerait pas une bonne estimation de la variance de la population. Lorsque la population générale est très importante et que l'échantillon est très petit, la variance calculée selon cette formule sous-estimerait la variance de la population. Cela montrerait une variance trop faible en raison du manque de données. Ainsi, en utilisant l'expression n-1, nous augmentons la valeur possible de la variance.

Au lieu de diviser par n, on trouve la variance de l'échantillon en divisant par n-1. Cette opération donne une valeur légèrement plus grande de la variance, plus proche de la valeur réelle.

Étape 6 : extraire la racine carrée du nombre résultant. L’écart-type est la racine carrée de la variance.

L'écart-type d'un échantillon

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

L'écart-type d'une population

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

Exemple : calcul de l'écart-type d'un échantillon

Examinons les notes suivantes de n=8 étudiants au contrôle de physique :

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82 et 84

Le calculateur calcule l'écart-type de l'échantillon en utilisant les étapes suivantes :

Étape 1 : calculez la moyenne.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

Étape 2 : calculez les écarts.

Étape 3 : calculez les carrés des écarts.

Étape 4 : faites la somme des carrés des écarts.

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

Étape 5 : calculez la variance en divisant la somme des carrés des écarts par les degrés de liberté (n-1). Pour une population, la variance sera divisée à cette étape par N plutôt que N-1. Dans ce cas, nous avons un échantillon, c'est-à-dire des données sur une partie de la population d'étudiants et non sur l'ensemble de la population.

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

Étape 6 : prenez la racine carrée de la variance pour obtenir l'écart-type.

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12,80$$

Applications de l'écart-type

La dispersion et l'écart-type peuvent être utilisés pour déterminer la façon dont les données sont dispersées. Si la variance ou l'écart-type est important, les données sont plus dispersées. Ces informations sont utiles lorsqu’on compare deux (ou plusieurs) séries de données pour déterminer laquelle est davantage (la plus) variable.

Dans l'industrie, l'écart-type est largement utilisé pour le contrôle de la qualité. Dans une production à grande échelle, certaines caractéristiques du produit doivent se situer dans une plage définie à laquelle on peut accéder en calculant l'écart-type. Par exemple, dans la production d'écrous et de boulons, la variation de leurs diamètres doit être faible sinon les pièces ne s'emboîteront pas.

L'écart-type est utilisé en finance et dans de nombreux autres domaines pour évaluer les risques. En analyse technique, l'écart-type est utilisé pour construire des bandes de Bollinger et calculer la volatilité.

En outre, l'écart-type est utilisé en finance comme mesure de la volatilité et en sociologie, il est utilisé dans les sondages de l'opinion publique pour aider à calculer l'incertitude.

La variance et l'écart-type sont utilisés pour déterminer le nombre de valeurs de données qui se situent dans un intervalle de distribution donné. Par exemple, le théorème de Tchebychev montre que pour n'importe quelle distribution, au moins 75 % des valeurs de données se situent à 2 écarts-types ou moins de la moyenne.

Prenons un exemple simple avec le climat. Supposons que nous étudions la température quotidienne de deux villes dans la même région. Une ville se trouve sur la côte et l'autre ville se trouve à l'intérieur des terres. La température maximale quotidienne moyenne dans ces deux villes peut être la même. Mais l'écart-type, c'est-à-dire l'écartement des températures maximales quotidiennes, est plus important pour la ville située sur le continent que pour la ville côtière, dont l’écart-type des températures maximales quotidiennes est plus petit.

Cela signifie que la variation de la température maximale de l'air d'une ville continentale est plus importante que celle d'une ville côtière tous les jours de l'année. Autrement dit, la ville côtière a un climat plus doux.