Calculatrice de la taille d'un échantillon

La calculatrice de la taille d'un échantillon comporte deux composantes. La première composante calcule la taille de l'échantillon et la seconde détermine la marge d'erreur.

Sélectionner le niveau de confiance dans la liste déroulante est la première étape lorsqu'on détermine la taille d'un échantillon. Ensuite, insérez la marge d'erreur relative. Vous pouvez convertir la marge d'erreur de termes absolus en marge d'erreur de termes relatifs en divisant la valeur absolue par l'estimation ponctuelle.

Ensuite, si vous connaissez la proportion de la population, saisissez-la dans la calculatrice. Sinon, gardez-la à 50 %. Entrez la taille de la population dans la dernière case si vous la connaissez ; sinon, laissez-la vide. Enfin, cliquez sur « Calculate ».

Utilisez la seconde composante de la calculatrice pour obtenir la marge d'erreur. Dans un premier temps, choisissez un niveau de confiance dans le menu déroulant. Saisissez la taille de l'échantillon de l'étude dans la deuxième case. Ensuite, insérez la proportion de la population. Saisissez la taille de la population dans la dernière case. Si vous ne connaissez pas la taille de la population, laissez cette case vide. Enfin, cliquez sur « Calculate ».

Échantillon

On appelle échantillon une partie ou une portion de la population. La population désigne tous les éléments qui nous intéressent dans une étude spécifique. Le meilleur moyen d'étudier la population est d'examiner chaque élément de la population pour l'étude que nous avons choisie. Cependant, en raison de nombreux facteurs, il est souvent difficile d'examiner chaque élément de la population. Par exemple, si vos recherches portent sur des insectes dans la jungle, la population est illimitée. Par conséquent, vous ne pouvez pas étudier toute votre population. Parfois, les éléments de votre étude peuvent être détruits lors des analyses.

Par exemple, lorsque vous décapsulez une bouteille pour vérifier le volume de boisson gazeuse, vous ne pouvez pas remettre cette bouteille sur le marché.

Vous avez besoin de beaucoup de temps, de beaucoup d'argent et de plein d'autres ressources pour étudier toute la population. En général, vous avez un délai pour terminer votre recherche avec une somme d'argent et des ressources limitées. Dans la plupart des cas, il n'est pas pratique de faire des recherches sur l'ensemble de la population. La solution est de choisir un échantillon pour faire les recherches.

Marge d’erreur

La plupart du temps, nous ne pouvons pas étudier toutes les composantes de la population. Par conséquent, on utilise souvent les statistiques d'un échantillon (mesures calculées à partir de l'échantillon) pour estimer les paramètres de la population (mesures calculées à partir de la population). Les statistiques de l'échantillon sont dérivées des données réelles observées ou mesurées sur l'échantillon. Lorsque vous estimez un seul nombre comme paramètre de la population, nous appelons cela une estimation ponctuelle.

Par exemple, si vous souhaitez estimer le volume moyen d'une bouteille de boisson gazeuse dans une chaîne de production, vous pouvez choisir un lot au hasard et trouver le volume moyen de ce lot. Imaginons que le lot ait un volume moyen x̄ de 250 ml. Par conséquent, vous estimez que chaque bouteille dans la chaîne de production contient un volume moyen \$(\hat{μ})\$ de 250 ml.

En pratique, le paramètre réel et le paramètre estimé ne sont pas égaux. La différence provient de l'estimation du paramètre à l'aide d'un échantillon plutôt que de la population complète.

La marge d'erreur est définie comme la différence maximale probable entre l'estimation ponctuelle d'un paramètre et sa valeur réelle. C'est ce qu'on appelle souvent l'erreur maximale de l'estimation.

Intervalle de confiance

L'intervalle de confiance représente la plage des estimations. La plage des estimations ou les intervalles de confiance indiquent que le paramètre a été estimé avec une marge d'erreur précise. Pour déterminer la limite inférieure de l'intervalle de confiance, on soustrait la marge d'erreur à l'estimation ponctuelle. Pour déterminer la limite supérieure de l'intervalle de confiance, on additionne la marge d'erreur et l'estimation ponctuelle.

Relation entre l'échantillon en statistique, la marge d'erreur et l'intervalle de confiance

Au lieu de faire des recherches sur la population entière, on étudie un échantillon pour estimer les paramètres de la population. Il peut donc y avoir une différence entre le paramètre estimé de la population et le paramètre réel de la population. La marge d'erreur est la différence maximale probable entre l'estimation ponctuelle d'un paramètre et sa valeur réelle. En outre, il existe une relation inverse entre la taille de l'échantillon et la marge d'erreur. Plus la taille de l'échantillon est grande, plus la représentation de la population est précise, ce qui va réduire la marge d'erreur. De même, une diminution de la taille de l'échantillon augmente la marge d'erreur.

Vous obtiendrez l'intervalle de confiance lorsque vous appliquerez cette marge d'erreur à l'estimation ponctuelle.

Formule pour calculer la taille de l'échantillon

Il y a différentes formules pour calculer la taille de l'échantillon en fonction de vos informations.

Le niveau de confiance souhaité détermine le degré d'exactitude, tandis que la plage maximale sur la marge d'erreur détermine le degré de précision que nous voulons atteindre avec notre plage d'estimations.

Nous pouvons calculer la taille minimale de l'échantillon requise pour obtenir l'intervalle de confiance souhaité si nous connaissons également l'écart-type de la population en utilisant la formule ci-dessous.

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Le résultat final n doit être arrondi au nombre entier le plus proche.

Le théorème de Cochran vous permet de déterminer la taille minimale de l'échantillon en fonction du niveau de marge d'erreur souhaité, du niveau de confiance souhaité et de la proportion de la caractéristique à laquelle on s'attend dans la population. Le théorème de Cochran est,

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = valeur de z dans la table z en fonction du niveau de confiance souhaité
• p = la proportion de la caractéristique présente dans la population à laquelle on s'attend
• E = marge d’erreur

Exemple 1

Imaginez que nous effectuons des recherches sur les étudiants internationaux inscrits à des cours de premier cycle au Canada. Au départ, nous n'avons pas beaucoup d'informations. Nous supposons donc que les étudiants internationaux représentent 60 % de tous les étudiants de premier cycle au Canada. Par conséquent, la proportion estimée de la caractéristique dans la population est de 60 %. Nous voulons un niveau de confiance de 95 % et une marge d'erreur de 4 %. Combien d'étudiants doivent être inclus dans la taille minimale de l'échantillon dans notre étude ?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1,96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Ainsi, un minimum de 577 étudiants doivent être inclus dans l'étude pour obtenir le niveau de confiance souhaité de 95 % et une marge d'erreur de 4 %.

On utilise la formule ci-dessus lorsque la taille de la population est élevée ou infinie. Si la taille de la population est petite ou finie, nous devons alors ajuster la taille de l'échantillon. La taille de l'échantillon est ajustée à l'aide de la formule ci-dessous.

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = la taille de l'échantillon calculée grâce au théorème de Cochran
• N = taille de la population
• n = taille ajustée de l'échantillon pour une population finie

Exemple 2

Imaginez que nous effectuons des recherches sur les étudiants internationaux inscrits à des cours de premier cycle dans la faculté où vous étudiez au Canada. Au départ, nous n'avons pas beaucoup d'informations. Nous supposons donc que les étudiants internationaux représentent 60 % de tous les étudiants de premier cycle de votre fac. Par conséquent, la proportion estimée de la caractéristique dans la population est de 60 %. Le nombre total d'étudiants dans votre fac est de 12.000. Nous voulons un niveau de confiance de 95 % et une marge d'erreur de 4 %. Combien d'étudiants doivent être inclus dans la taille minimale de l'échantillon dans notre étude ?

Dans ce cas, vous devez d'abord calculer n₀ à l'aide du théorème de Cochran et ensuite ajuster la taille de l'échantillon puisque la population est finie.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12.000}\right)}=549,88\approx550$$

Avec une calculatrice de la taille minimale de l'échantillon, vous pouvez résoudre les calculs complexes mentionnés ci-dessus en moins d'une seconde.

Formule pour calculer la marge d'erreur

Vous pouvez réorganiser la formule de la taille d'un échantillon pour trouver la formule de la marge d'erreur.

Vous savez que la formule de la taille minimale d'un échantillon est,

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Faisons de E ou de la marge d'erreur l'inconnue de la formule ci-dessus.

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Exemple 3

Imaginez que nous effectuons des recherches sur les étudiants internationaux inscrits à des cours de premier cycle au Canada. Au départ, nous n'avons pas beaucoup d'informations. Nous supposons donc que les étudiants internationaux représentent 60 % de tous les étudiants de premier cycle au Canada. Par conséquent, la proportion estimée de la caractéristique dans la population est de 60 %. Disons que nous désirons un niveau de confiance de 95 % et que vous sélectionnez 577 étudiants pour votre recherche. Quelle est la marge d'erreur de votre étude ?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Si la population est finie, vous devez d'abord trouver n₀ en utilisant la formule ci-dessous.

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Ensuite, appliquez la réponse dans la formule suivante pour trouver la marge d'erreur :

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

La calculatrice de la taille minimale de l'échantillon a une seconde composante qui vous aide à sauter toutes ces étapes et à calculer la marge d'erreur en moins d'une seconde.

Formule pour calculer l'intervalle de confiance

L'intervalle de confiance est simple à déterminer si vous connaissez la marge d'erreur. On utilise la formule ci-dessous pour calculer l'intervalle de confiance.

Intervalle de confiance = estimation ponctuelle ± marge d'erreur

La limite supérieure de l'intervalle de confiance = estimation ponctuelle + marge d'erreur

La limite inférieure de l'intervalle de confiance = estimation ponctuelle - marge d'erreur

L'intervalle de confiance pour la moyenne μ est,

x̄ - E < μ < x̄ + E

La limite inférieure est x̄ - E et x̄ + E est la limite supérieure.

L'intervalle de confiance pour P est,

p - E < P < p + E

Exemple 4

Vous effectuez des recherches sur le coût moyen du programme pour les étudiants internationaux qui étudient au Canada. Vous avez sélectionné 1.000 étudiants pour votre échantillon et, d'après votre échantillon, vous estimez que le coût moyen du programme pour les étudiants internationaux qui étudient au Canada est de 20.000 dollars canadiens (CAD). La marge d'erreur est de 5.000 CAD. Trouvez l'intervalle de confiance pour le coût moyen du programme des étudiants internationaux qui étudient au Canada.

Limite supérieure = x̄ + E = CAD 20.000 + CAD 5.000 = CAD 25.000

Limite\ inférieure = x̄ - E = CAD 20.000 - CAD 5.000 = CAD 15.000

Par conséquent, l'intervalle de confiance est,

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15.000 < μ < CAD 25.000