Calculatrice de permutations

La calculatrice de permutations calcule le nombre de façons de disposer n objets distincts en prenant un échantillon de r éléments à la fois. Elle nous dit combien il y a de façons de disposer des objets par groupes selon des arrangements dans lesquels l'ordre des objets a une importance. On note n le nombre total d'objets devant être disposés, tandis que le nombre d'éléments de chaque groupe se note r.

Par exemple, si nous voulons disposer les lettres XYZ par groupes de deux lettres, alors nous aurons XY, XZ, YZ, YX, ZX et ZY : 6 façons.

Pour utiliser cette calculatrice, entrez n, le nombre total d'objets qu'on doit disposer dans un certain ordre, et entrez r, le nombre d'éléments dans chaque groupe, puis cliquez sur « Calculer ».

Permutations

Une permutation d'un ensemble est un arrangement des éléments de cet ensemble suivant un enchaînement ou un ordre précis. Si un ensemble est déjà ordonné, c'est une permutation de ses éléments. Pour une permutation, l'ordre des éléments est important. Par exemple, les permutations AB et BA sont deux permutations différentes. Le nombre de permutations de n objets dans des échantillons de r objets est noté nPr.

Le calcul du nombre de permutations dépend des objets qui sont disposés. Cela dépend également de si les répétitions sont permises ou non. Sauf indication contraire, on suppose que les répétitions ne sont pas permises lorsqu'on calcule des permutations.

Dans cet article, on examinera des exemples de permutations sans répétitions.

Les permutations obéissent au principe fondamental du dénombrement. Elle affirme que si une expérience comprend k événements pour lesquels le premier événement se produit n₁ fois, le deuxième événement se produit n₂ fois. Et ainsi de suite jusqu'à ce que l'événement se produise nₖ fois. Le nombre de façons dont l'expérience peut se produire séquentiellement correspond au produit du nombre de fois que les événements individuels se produisent, n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Supposons que nous voulions connaître le nombre d'arrangements possibles des lettres ABC sans qu'il n'y ait de répétitions dans les permutations. N'importe laquelle des lettres peut se trouver en premier et il y a donc 3 façons de définir la première lettre.

Après la première lettre, il reste deux lettres et on peut définir l'une de ces deux lettres comme étant la deuxième lettre ; il y a donc deux façons de définir la deuxième lettre. Une fois la deuxième lettre définie, il ne reste plus qu'une seule lettre. Ainsi, il n'y a qu'une seule façon de définir la troisième lettre.

Par conséquent, d'après le principe fondamental du dénombrement, il y a 3 × 2 × 1 = 6 façons de disposer les lettres ABC. Ce sont ABC, ACB, BCA, BAC, CAB et CBA.

La factorielle

Ci-dessus, nous avons établi que le nombre de permutations de 3 objets distincts correspond à 3 × 2 × 1 = 6. Généralement, le nombre de permutations de n objets (au total) correspond à n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

C'est-à-dire aux multiplications de tous les entiers de n à 1. La multiplication de tous les entiers à partir d'un entier, disons de n, jusqu'à 1 s'appelle une factorielle et on la désigne par ! (le point d'exclamation).

Ainsi, n!= n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 s'appelle la factorielle de n.

Notez que 0!=1 et 1!=1.

Exemple de permutations

Aux Jeux Olympiques, la piste standard pour les courses possède généralement 9 couloirs. Cependant, pour la course du 100 mètres, le couloir 1 n'est généralement pas utilisé. 8 coureurs sont placés en rang dans les couloirs 2 à 9. De combien de façons peut-on disposer les 8 coureurs dans les couloirs 2 à 9 ?

D'après le principe fondamental du dénombrement :

• n'importe lequel des 8 coureurs peut être placé dans le couloir 2,
• n'importe lequel des 7 coureurs restants peut être placé dans le couloir 3,
• n'importe lequel des 6 coureurs restants peut être placé dans le couloir 4,
• n'importe lequel des 5 coureurs restants peut être placé dans le couloir 5,
• n'importe lequel des 4 coureurs restants peut être placé dans le couloir 6,
• n'importe lequel des 3 coureurs restants peut être placé dans le couloir 7,
• n'importe lequel des 2 coureurs restants peut être placé dans le couloir 8,
• le coureur restant est placé dans le couloir 9.

Par conséquent, le nombre total de façons dont on peut disposer 8 coureurs dans les 8 couloirs est de 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 permutations.

Dans la calculatrice des permutations, entrez 8 dans les cases n (objets) et r (échantillon) et cliquez sur Calculer pour obtenir 40.320.

Permutation de sous-ensembles

Dans les exemples précédents, nous avons examiné les permutations d'objets lorsqu'on prend en compte tous les objets dans les arrangements. Cependant, il y a des cas où les objets sont disposés dans des groupes plus petits.

Dans ces cas, le nombre total d'objets correspond à n, le nombre d'objets dans les groupes (échantillon) se note r et la formule nous donne le nombre de permutations :

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

On se sert de cette formule pour calculer des permutations sans répétitions. Et si on a besoin de disposer dans un certain ordre un échantillon r prélevé dans l'ensemble n.

Si on calcule le nombre de façons dont nous pouvons choisir de disposer tous les éléments de l'ensemble dans un certain ordre et sans répétition, on peut utiliser la formule suivante :

$$ₙPᵣ=n!$$

Exemple

Dans l'exemple ci-dessus, nous avons examiné le nombre de façons qu'il y a de disposer les huit coureurs d'une course de 100 mètres. Maintenant, dans la même course, trois médailles sont en jeu. Le coureur à la première place de la course remporte la médaille d'or et les coureurs à la deuxième et troisième place remportent respectivement les médailles d'argent et de bronze. Pour 8 coureurs dans la course, combien y a-t-il de façons de retrouver les médaillés d'or, d'argent et de bronze ?

Selon le principe fondamental du dénombrement, n'importe lequel des 8 coureurs peut prendre la première place. Une fois la première place attribuée, il reste sept coureurs qui se disputent la deuxième place. Et après la deuxième place, six coureurs se disputent la troisième place. Par conséquent, le nombre total de permutations possibles des 8 coureurs de la première à la troisième place est : 8 × 7 × 6 = 336

On utilise la formule :

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Et on obtient :

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Et dans la calculatrice de permutations, entrez 8 dans la case n (objets) et 3 dans la case r (échantillon), puis cliquez sur « Calculer » pour obtenir 336.

Permutations et combinaisons : la différence

Les combinaisons sont une autre technique incontournable de dénombrement. Les combinaisons sont les différentes façons dont un plus petit nombre d'objets (échantillon), r, peut être sélectionné à partir d'un plus grand nombre d'objets, n. Le nombre de combinaisons de r objets à partir de n objets se note simplement ₙCᵣ.

Dans la définition des permutations, nous avons mentionné que l'ordre ou la disposition est importante. Eh bien, c'est cela la différence entre les permutations et les combinaisons parce que dans les combinaisons, l'ordre n'a pas importance.

Ainsi, par exemple, nous avons indiqué que les permutations des lettres XYZ par groupes de deux lettres vont être les suivantes XY, XZ, YZ, YX, ZX et ZY. On obtient donc six permutations.

Par contre, les combinaisons des lettres XYZ par groupes de deux lettres sont XY, XZ et YZ ; trois combinaisons. En effet, dans les combinaisons, on considère que XY et YX sont les mêmes combinaisons ; c'est pareil pour XZ et ZX et pour YZ et ZY. Par conséquent, l'ordre de la disposition n'a pas d'importance lorsqu'on calcule des combinaisons.

La formule donne le nombre de combinaisons de r objets à partir de n objets :

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Exemple : calcul de combinaisons

Dans l'exemple ci-dessus sur les coureurs, nous avons déterminé le nombre de façons dont on peut sélectionner les première, deuxième et troisième places d'un groupe de 8 coureurs. Supposons que nous voulions connaître le nombre de façons dont 3 médaillés peuvent être sélectionnés dans le groupe de 8 coureurs sans tenir compte de leurs places. Peu importe si la personne se trouve en premier, deuxième ou troisième, tant que le coureur gagne une médaille.

Dans ce cas, on utilise les combinaisons parce que l'ordre des médailles est sans importance. Nous résolvons donc ceci en utilisant la formule des combinaisons.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Le nombre de façons dont 3 médaillés peuvent être sélectionnés parmi 8 coureurs correspond à :

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Exemples : calculs de permutations

1. Le producteur du journal télévisé peut choisir 3 des 5 conférenciers invités pour son émission. L'ordre des invités est important. De combien de façons différentes le producteur peut-il programmer les conférences des invités ? L'ordre est important et il n'y aura pas de répétition car le même invité ne peut pas apparaître deux fois dans la même émission. Par conséquent, nous pouvons utiliser la formule des permutations.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Nous pouvons donc voir que le producteur peut programmer les conférenciers de 60 façons.

2. Un critique de restaurant a sélectionné en ville 10 bons établissements qui servent des sushis afin de classer les 3 meilleurs restaurants de sushis. Les établissements doivent être présentés suivant un ordre qui montre leur place dans le classement. En outre, le même établissement ne peut pas apparaître plusieurs fois dans le classement. Ainsi, les conditions de la formule des permutations sont respectées, c'est à dire que l'ordre est important et qu'il ne doit pas y avoir de répétitions. Nous utilisons la formule pour les permutations :

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Lorsque nous disons que pour les permutations, l'ordre est important, cela ne signifie pas que l'ordre doit être numérique de 1 à, disons, 10 ou à n'importe quel autre nombre. L'ordre peut être formé par certains objets auxquels nous attribuons les éléments de notre ensemble.

Par exemple, prenez le directeur d'une entreprise qui répare des maisons. Aujourd'hui, il a quatre commandes de peinture. Ces commandes sont le bureau d'une agence de visa, un entrepôt dans une usine, un magasin de vêtements et une chambre dans une maison privée. L'entreprise compte six peintres. Au cours d'une journée, chacun d'entre eux peut se rendre dans 1 établissement. Les deux autres peintres auront un jour de repos.

Les objets sont le bureau d'une agence de visa, l'entrepôt dans une usine, le magasin de vêtements et la chambre dans une maison privée, qui sont équivalents aux positions 1, 2, 3 et 4.

Le directeur a :

• 6 candidats qui peuvent être affectés au bureau,
• 5 candidats restants qui peuvent être affectés à l'entrepôt,
• 4 candidats restants qui peuvent être envoyés au magasin,
• 3 candidats restants qui peuvent être affectés à la chambre dans une maison privée.

Ainsi, intuitivement, nous pouvons dire que le nombre de façon de choisir est 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

La condition qu'on nous donne est que l'ordre suivant lequel les peintres sont affectés aux objets est important. Aucune répétition n'est permise, c'est-à-dire qu'un peintre ne peut pas travailler sur plus d'un objet le même jour. Nous pouvons donc appliquer la formule des permutations que nous avons déjà utilisée.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Il s'avère que dans les conditions qui nous sont fournies, le directeur de l'entreprise a 360 façons différentes d'attribuer les commandes aux peintres disponibles.