आयतन गणक

प्रत्येक ठोस त्रि-आयामी वस्तु कुछ स्थान घेरती है। मेज पर रखे जाने पर हमारे सेल फोन के स्थान के बारे में सोच सकते हैं, पड़ोस में रखा एक पानी भंडारण बर्तन, या बस एक कोर्ट पर एक फुटबॉल।

हम आयतन को किसी वस्तु के कब्जे वाले स्थान के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। आयतन वस्तु की क्षमता को भी संदर्भित कर सकता है। हमारे गैरेज में पानी के बर्तन के स्थान के बारे में सोचने के बजाय, हम बर्तन की क्षमता या पानी की मात्रा के बारे में सोच सकते हैं।

आयतन गणना का उपयोग विज्ञान और गणित के विभिन्न विषयों में किया जाता है।

आयतन गणक आयतन की गणना करते समय कई मापों का समर्थन करता है। इसके अलावा, गणक सूत्र और चरण-दर-चरण गणना प्रक्रिया दिखाता है। यह लेख वास्तविक उदाहरणों के साथ आयतन और आयतन सूत्र गणक का एक सरल लेकिन पर्याप्त विवरण प्रदान करेगा।

इकाइयाँ और माप

हमारे निर्णय की विश्वसनीयता और सटीकता में सुधार करने के लिए, हमें माप की एक मानक इकाई की आवश्यकता है। एकरूपता के लिए, हमें मापन इकाइयों के एक मानकीकृत समूह की आवश्यकता होती है, जिसे मानक इकाइयों के रूप में जाना जाता है।

SI (इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स) आयतन इकाई घन मीटर m³ है। हालाँकि, कुछ छोटी वस्तुओं के आयतन को छोटी इकाइयों में लिखा जा सकता है, जैसे कि घन सेंटीमीटर cm³ या घन मिलीमीटर mm³ यदि वस्तु बहुत छोटी है।

दूसरी ओर, उपयोगकर्ता उस इकाई को निर्दिष्ट करने के लिए स्वतंत्र है जो उनके उपयोग के लिए सबसे उपयुक्त है। आयतन गणक दो माप प्रणालियों का समर्थन करता है: मीट्रिक सिस्टम, इंपीरियल और यूएस प्रथागत इकाइयां। उपयोगकर्ता को निम्नलिखित इकाइयों के बीच चयन करने की स्वतंत्रता है:

• किलोमीटर,
• मीटर,
• सेंटीमीटर,
• मिलीमीटर,
• माइक्रोमीटर,
• नैनोमीटर,
• एंगस्ट्रॉम्स,
• मील,
• गज,
• फ़ीट,
• इंच।

यदि हम आयतन की गणना के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं, तो हमें माप की सजातीय इकाइयों के साथ काम करना चाहिए। इसलिए, गणना को आसान बनाने के लिए हम आमतौर पर सभी मापों को एक ही इकाई में बदल देते हैं।

उदाहरण के लिए, 75 सेमी की ऊंचाई और 0.5 मीटर की त्रिज्या वाले सिलेंडर की मात्रा की गणना करने पर विचार करें। हम या तो ऊँचाई को मीटर में बदलते हैं और आयतन को घन मीटर में गणना करते हैं या त्रिज्या को सेंटीमीटर में बदलते हैं और आयतन को घन सेंटीमीटर में पाते हैं।

आप ऊंचाई को इंच में और त्रिज्या को नैनोमीटर में कैसे परिभाषित कर सकते हैं? गणक इस इकाई रूपांतरण को भी करेगा और चरणों को दिखाएगा।

इस गणक के साथ, उपयोगकर्ता प्रत्येक माप डालने के लिए एक अलग इकाई चुन सकता है, और आयतन सूत्र गणक आयतन वापस कर देगा।

उदाहरण पर विचार करें जहां सिलेंडर की ऊंचाई 5 इंच है और त्रिज्या 10506070 नैनोमीटर है। हम सिलेंडर आयतन गणक भाग में जायेंगे और ड्रॉपडाउन सूची से सही इकाइयों के साथ त्रिज्या और ऊंचाई मान डालेंगे।

गणक पहले आयतन 2.6874044006564 इंच³ (घन इंच में) और 4.4038667907438E+22 नैनोमीटर³ (घन नैनोमीटर) देता है। ऐसा क्यों? क्योंकि ये माप इकाइयाँ हैं जिनका हमने अपने आगत में उपयोग किया है, गणक मानता है कि हमें इनमें से किसी एक इकाई के साथ आयतन की गणना करने की आवश्यकता है। सिलेंडर की आयतन इकाई रूपांतरण के साथ गणना करने के दो तरीके दिखाती है!

आयतन गणक: दायरा, विशेषताएं और उदाहरण

आयतन की गणना करने के तरीके एक आंकड़े से दूसरे में भिन्न हो सकते हैं। कुछ ज्यामितीय आकार मानक अंकगणितीय सूत्रों का उपयोग उनके गुणों के आधार पर उनकी मात्रा की गणना करने के लिए करते हैं, जैसे कि किनारे की लंबाई या त्रिज्या।

अन्य ज्यामितीय आकार अधिक जटिल होते हैं, और आप सीधे उनके आयतन की गणना नहीं कर सकते। इस मामले में, उन्नत संगणकीय विधियों जैसे कि ज्यामितीय एकीकरण और परिमित तत्व विधियों का उपयोग किया जाता है। आयतन गणक उनके आयतन की गणना करने के लिए वस्तुओं की एक विस्तृत श्रृंखला का समर्थन करता है।

गोला

एक गोला एक वृत्त का त्रि-आयामी समतुल्य है; गोले का एक उदाहरण कोई गोल गेंद (बेसबॉल, बास्केटबॉल, आदि) है। एक गोले का आयतन सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

$$V_{sphere}=\frac{4}{3}π r^3$$

हम देख सकते हैं कि एक गोले का आयतन केवल गोले की त्रिज्या (r) पर निर्भर करता है। त्रिज्या को गोले के केंद्र और सतह पर किसी भी बिंदु के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है। यह देखते हुए कि एक बेसबॉल की त्रिज्या r = 3.65 सेमी है, हम आयतन ज्ञात करने के लिए एक गोलाकार गणक के आयतन का उपयोग कर सकते हैं:

$$आयतन = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3.65^3 = 203.68882488692 \ सेंटीमीटर^3$$

शंकु

एक शंकु एक ज्यामितीय आकार होता है जिसमें एक गोलाकार आधार और एक शीर्ष बिंदु होता है, जिसे शीर्ष के रूप में दर्शाया जाता है, जहां सभी आधार परिधि बिंदु रेखा खंडों के साथ शीर्ष से जुड़े होते हैं। हम शंकु के गुणों को दो मापों के साथ परिभाषित कर सकते हैं: गोलाकार आधार की त्रिज्या (r) और आधार केंद्र के केंद्र और शीर्ष (h) के बीच की ऊंचाई।

एक शंकु के आयतन को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$V_{cone}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

r त्रिज्या है, और h शंकु की ऊंचाई है

मान लें कि आपके पास जन्मदिन की पार्टी है और आप DIY शंकु के आकार की पार्टी टोपी बनाना चाहते हैं जिसे बाद में रात के दौरान पॉपकॉर्न शंकु के रूप में उपयोग किया जाएगा।

यदि आप 7.5 सेमी की त्रिज्या और 0.45 मीटर की ऊंचाई के साथ शंकु टोपी बनाने का निर्णय लेते हैं, तो आप प्रत्येक शंकु टोपी की मात्रा की गणना करने के लिए शंकु मात्रा गणक का उपयोग कर सकते हैं।

0.45 मीटर = 45 सेंटीमीटर

$$Volume = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7.52^2 × 45 = 2650.7188014664 \ centimeters^3$$

इसका मतलब है कि आप पार्टी के अंत में अपने कोन में इतना पॉपकॉर्न डाल सकते हैं।

घनक्षेत्र

रूबिक क्यूब के साथ खेलने का मौका किसे नहीं मिला?

यह एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें 8 शीर्ष बिंदु और 6 समान भुजाएं होती हैं। एक घन का आयतन केवल घन की भुजा (a) की लंबाई पर निर्भर करता है।

$$V_{cube}=a^3$$

हमने अपने विकास केंद्र के लिए 30 रूबिक क्यूब खरीदने का फैसला किया ताकि बच्चे अपनी संज्ञानात्मक क्षमताओं में सुधार कर सकें। हम दुकान पर गए और बनावट और कीमत के लिए सही घन पाए। घन की भुजा की लंबाई 5.7 सेंटीमीटर है। दुर्भाग्य से, दुकान पर विक्रेता के पास आसान परिवहन के लिए सभी घणो को ढेर करने के लिए केवल एक बक्सा है। बक्सा 20 सेंटीमीटर की लंबाई के साथ एक घन है। क्या हमारे सारे घन उस बॉक्स में फिट हो जाएंगे?

घणो की मात्रा:

$$Volume = 5.7³ = 185.19\ centimeters³$$

30 घनों का कुल आयतन होगा

$$185.19 × 30 = 5,555.7\ centimeters³$$

बक्से का आयतन:

$$Volume = 20³ = 8,000\ centimeters³$$

हमने 30 घणो के आयतन की तुलना बक्से के आयतन से की।

$$5,555.7 < 8,000$$

और यह पता चला कि घन पूरी तरह से बॉक्स में फिट होंगे।

बेलन

एक बेलन एक ज्यामितीय प्रिज्म है जिसमें एक समान गोलाकार आधार होता है जैसे कि इस ज्यामितीय आकार को बनाने के लिए कई वृत्त एक दूसरे के ऊपर रखे जाते हैं। शंकु की तरह, बेलन के गुण वृत्त की त्रिज्या (r) और नीचे की सतह से बेलन की ऊपरी सतह तक की ऊँचाई (h) से परिभाषित होते हैं। एक बेलन के आयतन को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

$$V_{cylinder}=π r^2h$$

आइए एक सजावटी बेलनाकार मोमबत्ती की मात्रा की गणना करें ताकि शिल्पकार यह समझ सके कि इसे बनाने के लिए कितने पैराफिन की आवश्यकता होगी। तो, हमारी मोमबत्ती की ऊंचाई 15 सेंटीमीटर और व्यास 8 सेंटीमीटर होगी। व्यास से, हम त्रिज्या की गणना कर सकते हैं, जो 4 सेंटीमीटर होगी। तो हम इसके साथ समाप्त होते हैं:

$$Volume = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753.98223686155\ centimeters^3$$

आयताकार टंकी

एक आयताकार टंकी एक घन भिन्नता है जहां सभी किनारे लंबवत होते हैं लेकिन जरूरी नहीं कि समान हों। यह ज्यामितीय वस्तु एक लंबाई (l) और चौड़ाई (w) द्वारा परिभाषित की जाती है, जो एक दो-आयामी आयत का प्रतिनिधित्व करती है, साथ ही एक ऊंचाई (h) के साथ जो आयत के इस त्रि-आयामी विस्तार को बनाती है। इस प्रकार, आयताकार टंकी का आयतन इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$V_{rectangular\ tank}=l × w × h$$

एक आयताकार टंकी का एक सार्वभौमिक उदाहरण शिपिंग कंटेनर है। मानक शिपिंग कंटेनर ISO माप हैं:

• चौड़ाई = 2.43 m
• ऊंचाई = 2.59 m
• लंबाई = 6.06 m or 12.2 m

चूंकि माप ISO के अनुसार मानक हैं, इसलिए आयतन भी मानक हैं। आगे बढ़ो और आयतन को खोजने के लिए माप को आयत टंकी गणक के आयतन में जुड़े। लंबाई मान, 6.06 मीटर और 12.2 मीटर दोनों के लिए परिकलन करें ।

$$Volume = 6.06 × 2.43 × 2.59 = 38.139822\ meters³$$

और

$$Volume = 12.2 × 2.43 × 2.59 = 76.78314\ meters³$$

अधिक जटिल त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार

हम अन्य ज्यामितीय आकृतियों को बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों के साथ जोड़ सकते हैं। इस आकृति का आयतन क्या है?

हम देख सकते हैं कि वस्तु एक बेलन और ऊपर एक शंकु से बनी है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि वस्तु का आयतन बेलन के आयतन और शंकु के आयतन का योग होता है:

$$V_{object}=V_{cylinder}+V_{cone}$$

बेलन और शंकु दोनों का व्यास 4 सेमी है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि

$$r_{cylinder}=r_{cone}=\frac{4}{2}=2\ cm$$

इसके अतिरिक्त,

$$h_{object}=h_{cylinder}+h_{cone}$$

मान लें कि

$$h_{object}=10\ cm$$

और

$$h_{cone}=3\ cm$$

हम इसकी व्याख्या कर सकते हैं

$$h_{cylinder}=7\ cm$$

अब हम आयतन गणक में मानों को निम्नानुसार जुड़ सकते हैं:

$$V_{object}=V_{cylinder}+V_{cone}=87.96\ cm^3+12.56\ cm^3$$

$$V_{object}=100.52\ cm^3$$

यह उदाहरण आने वाली ज्यामितीय आकृतियों को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा जो आयतन गणक का समर्थन करता है।

कैप्सूल

कैप्सूल चिकित्सा गोलियों के सबसे सामान्य रूपों में से एक है। उपयोगकर्ता पिछले उदाहरण का उपयोग यह समझने के लिए कर सकता है कि एक कैप्सूल में दो विपरीत सतहों पर दो गोलार्द्धों वाला एक बेलन होता है।

दो गोलार्द्ध एक ही गोले में जुड़ सकते हैं, और हम कह सकते हैं कि एक कैप्सूल का आयतन एक बेलन के आयतन और एक गोले के आयतन का योग होता है।

$$V_{capsule} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

जहाँ r त्रिज्या है और h बेलनाकार भाग की ऊँचाई है।

कैप्सूल आयतन गणक के लिए धन्यवाद, आपको बेलन की मात्रा की गणना करने और कैप्सूल की मात्रा की गणना करने के लिए इसे गोले में जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। उपयोगकर्ता सीधे ऊंचाई और त्रिज्या डाल सकता है, और गणक कैप्सूल की मात्रा को नतीजे में देगा।

औषधि वैज्ञानिक जो दवा का विश्लेषण, विकास और निर्माण करते हैं, वे हमेशा अच्छी मात्रा में कैप्सूल खोजने की कोशिश करते हैं। कैप्सूल को प्रति कैप्सूल आवश्यक दवा की मात्रा को जमा करना चाहिए, इसलिए वैज्ञानिक मात्रा को समायोजित करने के लिए कैप्सूल के आयाम (ऊंचाई और त्रिज्या) को बदलते हैं।

गोलाकार टोपी

पिछले उदाहरण में गोलार्द्ध को आधा गोला कहा गया था। इस बीच, एक गोलाकार टोपी गोले का एक हिस्सा होता है जब गोले को एक समतल द्वारा काटा जाता है। गोलार्द्ध एक गोलाकार टोपी का एक विशेष मामला है जहां गोले को दो बराबर भागों में बांटा गया है। इस प्रकार, एक अर्धगोले का आयतन एक गोले के आयतन का आधा होता है।

नीचे दिया गया चित्र एक गोलाकार टोपी का उदाहरण दिखाता है जहाँ (r) आधार की त्रिज्या है, (R) गोले की त्रिज्या है और (h) गोलाकार टोपी की ऊँचाई है। इन चरों के बीच एक संबंध है। इस प्रकार, तीसरे की गणना करने के लिए इनमें से दो मानों को जानना पर्याप्त है।

• दिया गया r और R; $h=R±\sqrt{R^2 r^2}$
• r और h दिया गया; $R=\frac{h^2 r^2}{2h}$
• दिया गया R और h; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

जहाँ:

• r आधार की त्रिज्या है,
• R गोले की त्रिज्या है,
• h गोलाकार टोपी की ऊंचाई है।

गोलाकार टोपी का आयतन इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$V_{spherical\ cap}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

गोलाकार टोपी के तीन में से दो चर दर्ज करना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, मान लें कि R = 1m और r = 0.25m, गणक दो संभावित आयतन ढूंढता है; 0.00313 वर्ग मीटर और 4.1856 वर्ग मीटर। ऐसा क्यों?

निम्नलिखित को याद करना

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

हम देख सकते हैं कि जब r और r के मान दिए जाते हैं, तो h के दो मान हो सकते हैं

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

और

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

यह $h_1$ और $h_2$ का उपयोग करते समय एक अलग आयतन मान होने को समझाता है।

इसके अलावा, असमानता R ≥ r को हमेशा धारण करना चाहिए, या गणक यह कहते हुए एक त्रुटि संदेश लौटाएगा, "आधार त्रिज्या गेंद के त्रिज्या से बड़ा नहीं हो सकता।" यदि उपयोगकर्ता R और r मानों को मिलाता है तो यह त्रुटि सहायक होती है।

शंक्वाकार छिन्नक

हम एक शंकु को उसकी वृत्ताकार सतह के समानांतर एक क्षैतिज काट के साथ काटकर यह आकार प्राप्त कर सकते हैं। इसका परिणाम दो गोलाकार और दो समानांतर सतहों में होता है।

एक शंक्वाकार छिन्नक मात्रा को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

$$V_{conical\ frustum}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

जहाँ h नीचे और ऊपर की सतहों के केंद्र के बीच की ऊँचाई है, r ऊपरी सतह की त्रिज्या है, और R नीचे की सतह की त्रिज्या है जैसे कि R ≥ r।

कल्पना कीजिए कि आप एक पेस्ट्री की दुकान पर गए और देखा एक लावा केक जिसमे कहा गया है की इसमें 35% पिघली हुई चॉकलेट है।

यदि आप एक वास्तविक गणित उत्साही थे और इसे गणितीय समस्या में बदलना चाहते हैं, तो आपको अपने केक के अंदर चॉकलेट की मात्रा में रुचि हो सकती है। खैर, पूरे केक की मात्रा की गणना करने के लिए ऊंचाई के साथ ऊपर और नीचे त्रिज्या को मापें।

मान लीजिए कि माप r = 16 सेमी, R = 20 सेमी, और h = 10 सेमी हैं।

फिर हम केवल शंक्वाकार छिन्नक आयतन गणक में मानों को प्लग करके केक का आयतन ज्ञात कर सकते हैं।

$$Volume=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220.648099679 \ centimeters^3$$

इसके अलावा, 10,220.65 सेमी³ का 35% लगभग 3,577.23 वर्ग मीटर चॉकलेट है।

दीर्घवृत्ताभ

जब एक गोले को दिशात्मक बढ़ने के द्वारा विकृत किया जाता है, तो यह एक दीर्घवृत्त के रूप में जानी जाने वाली सतह का निर्माण करता है। एक दीर्घवृत्त को एक फैला हुआ गोला माना जा सकता है जहाँ दीर्घवृत्त के केंद्र और सतह पर विभिन्न बिंदुओं के बीच की दूरी समान नहीं होती है।

इस प्रकार, दीर्घवृत्त में तीन अक्ष होते हैं, और दीर्घवृत्त का आयतन केंद्र से त्रिज्या के सापेक्ष इनमें से प्रत्येक अक्ष के लिए परिभाषित किया जाता है। तीन त्रिज्या मान a, b और c द्वारा निरूपित किए जाते हैं।

जब भी हम गेंदों के बारे में बात करते हैं तो हम हमेशा गोल गोले के बारे में सोचते हैं, लेकिन दीर्घवृत्तीय गेंदें भी मौजूद होती हैं! रग्बी बॉल को देखें। मान लें कि आयाम a = 9.3 सेमी, b = 9.3 सेमी, और c = 14.3 सेमी हैं।

एक दीर्घवृत्त का आयतन इस प्रकार दिया गया है:

$$V_{ellipsoid}=\frac{4}{3}π abc$$

a, b, और c का क्रम महत्वहीन है; उन्हें मिलाना ठीक है।

दीर्घवृत्तीय आयतन गणक का उपयोग करके, हम अपनी रग्बी गेंद का आयतन प्राप्त कर सकते हैं।

$$Volume=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9.3 × 9.3 × 14.3 = 5180.7250468112 \ centimeters^3$$

वर्ग पिरामिड

पिरामिडों का उल्लेख करने से आप मिस्र के प्राचीन पिरामिडों के बारे में सोच सकते हैं। एक वर्ग पिरामिड में एक शीर्ष के साथ एक वर्गाकार आधार होता है जहां आधार वर्ग की परिधि के बिंदु उस शीर्ष से जुड़े होते हैं। आयतन की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$$V_{squared\ pyramid}=\frac{1}{3}a^2h$$

वर्गाकार आधार का किनारा और h वर्गाकार आधार केंद्र से शीर्ष तक की ऊँचाई होने के साथ।

हम खुफू पिरामिड के आयामों को लेते हैं क्योंकि यह मूल रूप से बनाया गया था; h = 146.6 मीटर और a = 230.33 मीटर। खुफू पिरामिड की मात्रा की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

$$Volume=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230.33^2 × 146.6 = 2,592,469.9482467\ meters^3$$

नली

एक बेलन के विपरीत, एक नली में एक बाहरी और आंतरिक व्यास होता है। इस प्रकार, व्यास में अंतर के लिए नली की आयतन का हिसाब होना चाहिए।

$$V_{tube}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

जैसा कि आप पहले ही अनुमान लगा चुके हैं, d₁ और d₂ क्रमशः नली के बाहरी और भीतरी व्यास हैं। l नली की लंबाई है।

आइए हम अपनी कुटीर संपत्ति पर खुदाई करने वाले कुएं के लिए कंक्रीट रिंग की आयतन की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करें। हमारे रिंग की ऊंचाई 0.89 मीटर, बाहरी व्यास 1.16 मीटर और भीतरी व्यास 1 मीटर है।

तो हमारे पास निम्नलिखित गणना है:

$$Volume=π\frac{1.16^2-1^2}{4} × 0.89 = 0.076896 π = 0.24\ meters^3$$