घनमूल गणक

इस गणक का उपयोग दी गई संख्या के सभी घनमूलों को खोजने के लिए किया जा सकता है। यह वास्तविक और काल्पनिक दोनों मूलो को खोजता है।

इस्तेमाल केलिए निर्देश

किसी संख्या का घनमूल ज्ञात करने के लिए, उस संख्या को आगत क्षेत्र में दर्ज करें और "कैलकुलेट" दबाएँ। गणक उत्तर को दो भागों में प्रदर्शित करेगा: "प्रिंसिपल (रियल) रूट", और "ऑल रूट्स", जहां "ऑल रूट्स" में प्रिंसिपल मूल और काल्पनिक मूल शामिल हैं।

गणक सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांकों को आगत के रूप में स्वीकार करता है। भिन्नो और काल्पनिक संख्याएं स्वीकार नहीं की जाती हैं। ध्यान दें कि यदि आप एक आगत के रूप में एक भिन्न या एक काल्पनिक संख्या का उपयोग करते हैं, तो यह घनमूल गणक पहले गैर-संख्या प्रतीक के बाद स्वचालित रूप से सब कुछ छोड़ देगा। उदाहरण के लिए, यदि आप 8/15 दर्ज करते हैं, तो गणक 8 के घनमूल की गणना करेगा; यदि आप 5 + 3i दर्ज करते हैं, तो 5 का घनमूल निकाला जाएगा।

घनमूल की परिभाषा

किसी संख्या के घनमूल को उस संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे मूल संख्या प्राप्त करने के लिए तीन बार गुणा करना पड़ता है। x के घनमूल को सामान्यतः ∛x के रूप में निरूपित किया जाता है। परिभाषा के अनुसार, y x का घनमूल है:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

अगर

$$y \times y \times y = x$$

किसी संख्या का घनमूल, ∛x लेना, उस संख्या को 1/3 की शक्ति तक बढ़ाने के बराबर है:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

घनमूल संचालन घन संचालन खोजने के विपरीत है। किसी संख्या का घन ज्ञात करने के लिए उस संख्या को 3 बार गुणा करना होता है:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

और उलटा,

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

पूर्ण घन

एक पूर्ण घन एक संख्या है, जिसका घनमूल एक पूर्णांक है। उदाहरण के लिए, 8 एक पूर्ण घन है क्योंकि:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

चूँकि पूर्णांक पूर्ण संख्याएँ हैं जो धनात्मक और ऋणात्मक हो सकती हैं, पूर्ण घन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, -8 एक पूर्ण घन है क्योंकि:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 भी एक पूर्णांक है और

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

अतः 0 भी एक पूर्ण घन है।

दूसरी ओर, 4 एक पूर्ण घन नहीं है क्योंकि 4 का वास्तविक घनमूल है:

∛4 ≈ 1.58740105

जो पूर्णांक नहीं है।

घनमूल गुण

किसी ऋणात्मक संख्या के घनमूल को धनात्मक संख्या के घनमूल के ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात,

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

उदाहरण के लिए,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

घनमूल का गुणन गुण:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

घनमूल की गणना कैसे करें

एक पूर्ण घन के वास्तविक घनमूल की गणना करना

किसी संख्या का घनमूल ज्ञात करने के लिए, अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करें:

1. संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
2. प्रमुख कारकों को तीन समान कारकों वाले समूहों में विभाजित करें।
3. प्रत्येक समूह का एक गुणक लें और अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए उन्हें गुणा करें।

उदाहरण के लिए, आइए 3375, ∛3375 के सभी वास्तविक घनमूल ज्ञात करें:

1. 3375 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने पर, हमें 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 प्राप्त होता है।
2. उन्हें तीन समान कारकों के समूहों में विभाजित करने पर, हमें 3375 = (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5) प्राप्त होता है।
3. अंत में, प्रत्येक समूह का एक गुणक लेकर उन्हें गुणा करने पर, हमें 3 × 5 = 15 प्राप्त होता है।

इसलिए, ∛3375 = 15।

यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड तीन का समूह नहीं बनाते हैं, तो वह संख्या पूर्ण घन नहीं है, और हम घनमूल ज्ञात करने के लिए इस विधि का उपयोग नहीं कर सकते हैं।

-1 से बड़ी और 1 से कम संख्या (0 को छोड़कर) के वास्तविक घनमूल की गणना करना

यदि दी गई संख्या -1 से अधिक और 1 से कम है, तो यह एक पूर्ण घन नहीं हो सकता क्योंकि परिभाषा के अनुसार, एक पूर्ण घन एक संख्या है, जिसका घनमूल एक पूर्णांक है। अंतराल -1 < y < 1 से कोई भी संख्या y जो कि 0 नहीं है, एक पूर्ण घन नहीं हो सकता। हालांकि, कभी-कभी ऐसी संख्या का वास्तविक घनमूल निकालना अपेक्षाकृत आसान हो सकता है।

उदाहरण के लिए, आइए -0.000125 के सभी वास्तविक घनमूल ज्ञात करें। यह संख्या पूर्णांक नहीं है। इसलिए, हम ऊपर वर्णित अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग नहीं कर सकते हैं।

लेकिन हम आसानी से देख सकते हैं कि -0.000125 = -125 × 10⁶। इसलिए,

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

घनमूल के गुणन गुण को लागू करने पर, हम पाते हैं:

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶} $$

ऋणात्मक संख्या के घनमूल को धनात्मक संख्या के घनमूल के ऋणात्मक के रूप में पुनः लिखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

यह ध्यान देना आसान है कि 125 = 5 × 5 × 5, और 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻²। इसलिए,

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

और

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

अंत में, हमें मिलता है:

$$\sqrt[3]{(-0.000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0.05$$

वास्तविक जीवन के उदाहरण

वास्तविक जीवन में किसी भी घन वस्तु की भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए घनमूल का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी बक्से का आयतन जानते हैं और यह जानना चाहते हैं कि यह कितना अधिक है, तो जांचें कि क्या यह कहीं फिट होगा। या, यदि आपको पेंट की मात्रा का अनुमान लगाने की आवश्यकता है, तो आपको घनाकार कमरे की दीवारों को पेंट करने की आवश्यकता होगी। या, यदि आपको टाइलों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, तो आपको ज्ञात मात्रा के साथ घन कक्ष के फर्श को कवर करने की आवश्यकता है।

लकड़ी का घन आयतन

एक घर बनाने और बिक्री के लिए 64 घन मीटर लकड़ी का विज्ञापन खोजने की कल्पना करें। लकड़ी के उस आयतन का आयाम लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई में क्या होगा?

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको 64 का घनमूल ज्ञात करना होगा। काल्पनिक घन की भुजा की लंबाई जो आपको इस आयतन का वर्णन करने में मदद करेगी, ∛64 = 4 होगी। इस प्रकार, लकड़ी के घनीय आयतन पर मूल डेटा से, हमारे पास ऐसी मात्रा के आकार का एक अलग विचार है।