द्विघात समीकरण गणक

द्विघात समीकरण गणक

द्विघात समीकरण स्कूल और विश्वविद्यालय के गणित पाठ्यक्रम का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण हल विभिन्न जानकारी प्रदान करता है जैसे कि परिवर्तन की दर, और फ़ंक्शन की चढ़ाव, गिरावट। द्विघात समीकरण का हल खोजने के लिए बीजीय और अंकगणितीय संक्रियाओं का एक समूह करने की आवश्यकता होती है। हालांकि हल का एक मानक रूप है, गणित को हस्तचालित रूप से करने में कुछ समय लगता है।

ऑनलाइन द्विघात सूत्र गणक एक उपयोग में आसान उपकरण है जो उपयोगकर्ता को द्विघात समीकरण का समाधान तुरंत प्रदान करता है। यह मुफ़्त उपकरण उत्तर प्रदान करता है और समीकरण को हल करते समय लागू किए गए चरणों को प्रस्तुत करता है। नतीजतन, उपयोगकर्ता समस्या समाधान, संख्यात्मक परिणामों और समाधान के माध्यम से चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका की अवधारणा करेगा।

द्विघातीय समीकरण

एक द्विघात समीकरण जिसे कभी-कभी द्विघात फलन या द्वितीय-डिग्री बहुपद के रूप में संदर्भित किया जाता है, एक बीजीय समीकरण होता है जिसका सामान्य रूप $ax² bx c=0$ होता है जहां x एक अज्ञात चर पाया जाता है। पद a और b क्रमशः x² और x के गुणांक हैं, जबकि C एक स्थिरांक है। शब्द "क्वाड" या "सेकंड-डिग्री" इस तथ्य से आता है कि चर x का उच्चतम घातांक 2 है, जैसा कि x² में है। हम नीचे द्विघात समीकरणों के कुछ उदाहरण दिखा सकते हैं।

$$2x²-4x+0.5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

समीकरण 2x²=0 भी b=0 और c=0 के साथ एक द्विघात समीकरण है। हालाँकि, $2x 3=0$ द्विघात समीकरण का प्रतिनिधित्व नहीं करता है क्योंकि द्विघात पद ax² समीकरण में नहीं पाया जाता है। जैसा कि पिछले उदाहरणों में दिखाया गया है, A, B, और C के मान धनात्मक/ऋणात्मक पूर्णांक या दशमलव (अंश) हो सकते हैं जैसे कि a≠0।

द्विघात समीकरणों को हल करना

किसी समीकरण के संभावित हलों की संख्या समीकरण में उच्चतम घातांक मान के बराबर होती है। इस संदर्भ में एक द्विघात समीकरण के अधिकतम दो हल हो सकते हैं। द्विघात फलन को हल करने का एक तरीका समीकरण (1) में वर्णित द्विघात सूत्र का उपयोग करना है।

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

आप द्विघात सूत्र के लिए संक्षिप्त रूप इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

यह एक सीधा हल है जहां उपयोगकर्ता x₁ और x₂ का मान प्राप्त करने के लिए A, B, और C मानों को लगा सकता है। वर्गमूल b²-4ac के अंतर्गत पद द्वारा निरूपित विवेचक के मान के अनुसार, समाधान की संख्या और प्रकृति बदल जाती है। हम तीन मामलों पर चर्चा कर सकते हैं:

• यदि विवेचक धनात्मक है; b²-4ac>0, तो दो वास्तविक हल मौजूद हैं (x₁≠x₂)
• यदि विवेचक शून्य है; b²-4ac=0, तो एक वास्तविक हल मौजूद है (x₁=x₂)
• यदि विवेचक ऋणात्मक है; b²-4ac<0, तो दो जटिल हल मौजूद हैं (x₁≠x₂)

हम उदाहरण अनुभाग में प्रत्येक मामले का एक उदाहरण प्रदान करेंगे।

चित्रात्मक रूप से, एक x-y निर्देशांक समतल पर, जहां y x का एक कार्य है, पाठक एक द्विघात कार्य के समाधान (o) को बिंदुओं के x-coordinate(s) के रूप में महसूस कर सकता है जहां कार्य y x-axis को पार करता है।

द्विघात सूत्र गणक का उपयोग करना

द्विघात समाधान गणक हल की प्रकृति (वास्तविक या जटिल) की परवाह किए बिना सभी द्विघात समीकरणों को हल कर सकता है। गणक तीन आगत लेता है: A, B, और C के मान। कुछ मामलों में, उपयोगकर्ता को गणक का उपयोग करने से पहले समीकरण में कुछ जोड़तोड़ करने पड़ सकते हैं।

2x² = x + 3 में, उपयोगकर्ता को बस शब्दों को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाना होता है। परिणामस्वरूप हमें 2x²-x-3=0 मिलता है, जहां a = 2, b = -1, और c - 3.

इसके अलावा, 4(x²-0.2x)=1 पर विचार करते हुए, उपयोगकर्ता को 4x²-0.8x=1 लिखकर कोष्ठक का विस्तार करना होगा, फिर बाईं ओर की चीज़ों को दाईं ओर ले जाना होगा- समीकरण को सामान्य रूप में रखने के लिए 4x²-0.8x-1=0 जहां a = 4, b=-0.8 और c=-1।

उदाहरण

इस खंड में, तीन उदाहरण द्विघात समीकरण गणक का उपयोग करके द्विघात समीकरण समाधान के तीन संभावित मामलों की व्याख्या कर सकते हैं।

उदाहरण 1: दो वास्तविक समाधान

y₁=x²-8x+12 के रूप में दिए गए द्विघात फलन y₁ के हल (o) को खोजना आवश्यक है और चित्र 1 में दिखाया गया है।

सहज रूप से, उद्देश्य उन बिंदुओं के x-निर्देशांक (ओं) को खोजना है जहां कार्य y₁ x-axis को पार करता है - यदि कोई मौजूद है।

चित्र 1: y₁=x²-8x+12 का रचना

सबसे पहले, कार्य शून्य के बराबर होता है ( y₁ को 0 से बदल दिया जाता है), जो x²-8x+12=0 के बराबर होता है। यह देखा गया है कि अंतिम समीकरण मानक द्विघात समीकरण रूप में है जहां a=1, b=-8, और c=12। हम सीधे द्विघात समीकरण सूत्र गणक का उपयोग कर सकते हैं।

विवेचक b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0 के मूल्य की जाँच करना, द्विघात कार्य के दो वास्तविक समाधान होने चाहिए। गणना बटन दबाने के बाद, गणक समीकरण के द्विघात सूत्र (1) का उपयोग करके संख्यात्मक हल और हल के चरण प्रदान करता है।

यह उजागर करना आवश्यक है कि A, B, और C के मान दर्ज करने के बाद, गणक समीकरण दिखाता है। उपयोगकर्ता यह सत्यापित करने पर विचार कर सकता है कि प्रवेश की गलतियों से बचने के लिए प्रदर्शित समीकरण हमरे हाथ के समीकरण के समान है।

• समीकरण: x²-8x+12=0

• हल: x₁=2 और x₂=6

• चरण:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1 ×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ or \ 2$$

इस प्रकार हल x₁=2 और x₂=6 है। हम x-axis के साथ कार्य चौराहे का निरीक्षण करके परिणामों को चित्रात्मक रूप से सत्यापित कर सकते हैं। चित्र 2 दिखाता है कि कार्य पहले बताए गए बिंदुओं में x-axis को पार करता है।

चित्र 2: y₁=x²-8x+12 का रचना

उदाहरण 2: एक वास्तविक हल

एक अन्य कार्य को ध्यान में रखते हुए, y₂-3x²+25=-4x²+10x। गणक का उपयोग करने से पहले, एक प्रारंभिक चरण एक तरफ y₂ को अलग करना होगा और दूसरी तरफ अन्य सभी चीज़ों को y₂=-4x²+10x+3x²-25 के रूप में एकत्रित करना होगा। y₂ को शून्य के बराबर करना और अंकगणितीय संचालन करना, सामान्य रूप -x²+10x-25=0 के साथ a=-1, b=10, और c=-25 के रूप में प्राप्त किया जाता है। .

विवेचक शून्य b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0 के बराबर है, इसलिए, उपयोगकर्ता अपेक्षा करेगा एक एकल हल की। फिर, हम x₁=x₂=5 खोजने के लिए द्विघात सूत्र गणक का उपयोग कर सकते हैं।

• समीकरण: -x²+10x-25=0

• हल: x = 5

• चरण:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 - 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

चित्र 3 y₂ का रचना दिखाता है जहां यह देखा जाता है कि कार्य एक बिंदु पर x-axis को पार करता है।

चित्र 3: y₂=-x²+10x-25

उदाहरण 3: दो जटिल हल

अंत में, y₃=x²-4x+8 का अध्ययन यह दिखाने के लिए किया जाता है कि कैसे एक द्विघात फलन के दो जटिल हल हो सकते हैं। चित्र 4 से पता चलता है कि y₃ x-axis को पार नहीं करता है।

चित्र 4: y₃=x²-4x+8

b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0 को देखते हुए जो दो जटिल हेलो के अस्तित्व को इंगित करता है, लेकिन जटिल संख्याएँ क्या हैं?

सम्मिश्र संख्या एक संख्या है जो वास्तविक और काल्पनिक संख्याओं के संयोजन के रूप में व्यक्त की जाती है और a+ib का रूप लेती है।

इस मामले में, सम्मिश्र संख्याओं में 'i' काल्पनिक इकाई को दर्शाता है, जो -1 के वर्गमूल को दर्शाता है।

A शब्द सम्मिश्र संख्या (Re) के वास्तविक भाग को दर्शाता है। दूसरी ओर, ib काल्पनिक संख्या (Im) है जहाँ i=√-1।

वर्गमूल में एक ऋणात्मक संख्या होगी, जब पद b²-4ac शून्य से कम होगा। इस प्रकार, एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेने के लिए सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

x²-4x+8=0 का हल खोजने के लिए वापस; गणक समीकरण को हल करता है और x₁=2+2i और x₂=2-2i पाता करता है।

• समीकरण: x²-4x+8=0

• दो संभावित हल हैं: x=2±2i

• चरण:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

उपयोग का दायरा और सुझाव

द्विघात सूत्र गणक स्कूलों और विश्वविद्यालयों के छात्रों या द्विघात कार्य के त्वरित समाधान की तलाश करने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए बनाया गया है। इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, कृषि आदि में द्विघात कार्य पाए जा सकते हैं।

उपकरण का उपयोग बिलकुल सीधा है, उपयोगकर्ता को उपकरण का उपयोग करने के लिए मानक द्विघात रूप ax²+bx+c=0 में समीकरण डालने के लिए बुनियादी अंकगणितीय संचालन करने में सक्षम होना चाहिए। इसके अलावा, सम्मिश्र संख्याओं से परिचित होना बेहतर है (पूर्वापेक्षा नहीं) क्योंकि द्विघात समीकरण का हल सम्मिश्र संख्याओं का एक युग्म हो सकता है।

उपयोगकर्ता को कार्य और उसके हेलो की कल्पना करने के लिए कुछ रचना उपकरण का उपयोग करने में भी रुचि हो सकती है।