परम्यूटेशन कैलकुलेटर

परम्यूटेशन कैलकुलेटर एक समय में r तत्वों का नमूना लेकर n विशिष्ट वस्तुओं को व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीकों की संख्या की गणना करता है। यह हमें बताता है कि वस्तुओं को कितने अलग-अलग तरीकों से समूहों में व्यवस्थित किया जा सकता है जहां व्यवस्था का क्रम महत्वपूर्ण है। n व्यवस्थित की जाने वाली वस्तुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि r प्रत्येक समूह में तत्वों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम XYZ अक्षरों को दो अक्षरों के समूहों में व्यवस्थित करना चाहते हैं, तो हमारे पास XY, XZ, YZ, YX, ZX, और ZY: 6 तरीके होंगे।

इस कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, n दर्ज करें, किसी क्रम में व्यवस्थित की जाने वाली वस्तुओं की कुल संख्या, और r दर्ज करें, प्रत्येक समूह में तत्वों की संख्या, और फिर "गणना करें" पर क्लिक करें। आप संख्याओं का एक अलग सेट दर्ज करने के लिए "साफ़ करें" बटन दबाकर कैलकुलेटर को भी साफ़ कर सकते हैं।

परम्यूटेशन

एक सेट का परम्यूटेशन एक विशेष क्रम या क्रम में उसके सदस्यों की व्यवस्था है। यदि सेट पहले से ही ऑर्डर किया गया है तो यह इसके तत्वों का परम्यूटेशन है। परम्यूटेशन में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण है। क्रमचय AB और BA, उदाहरण के लिए, दो भिन्न परम्यूटेशन हैं। nPr में r वस्तुओं के नमूनों में n वस्तुओं के परम्यूटेशन की संख्या है।

परम्यूटेशन की संख्या व्यवस्थित की जा रही वस्तुओं द्वारा निर्धारित की जाती है। यह इस बात पर भी निर्भर करता है कि दोहराव की अनुमति है या नहीं। परम्यूटेशन की गणना करते समय, हम मानते हैं कि जब तक अन्यथा न कहा जाए तब तक दोहराव की अनुमति नहीं है।

हम इस लेख में दोहराव के बिना परम्यूटेशन के उदाहरण देखेंगे।

परम्यूटेशन गिनती के मूल सिद्धांत का पालन करते हैं। इसमें कहा गया है कि यदि किसी प्रयोग में k ईवेंट होते हैं जहां पहली घटना n₁ बार होती है, तो दूसरी घटना n₂ ईवेंट होती है। तो जब तक घटना nₖ बार न हो जाए। प्रयोग के क्रमिक रूप से होने की संख्या व्यक्तिगत घटनाओं के होने की संख्या के गुणनफल द्वारा दी जाती है, n₁ × n₂ × ... × nₖ।

मान लें कि हम जानना चाहते हैं कि कितने अलग-अलग तरीकों से ABC अक्षरों को परम्यूटेशन में दोहराव के बिना व्यवस्थित किया जा सकता है। क्योंकि कोई भी अक्षर पहले आ सकता है, पहले अक्षर के लिए तीन संभावनाएँ हैं।

पहला अक्षर सेट करने के बाद, दो अक्षर शेष हैं, और दोनों में से किसी एक अक्षर को दूसरे अक्षर के रूप में सेट किया जा सकता है, इसलिए दूसरे अक्षर को सेट करने के दो तरीके हैं। दूसरा अक्षर सेट होने के बाद एक ही अक्षर बचेगा। नतीजतन, तीसरे अक्षर में प्रवेश करने का केवल एक ही तरीका है।

इस प्रकार, मौलिक गणना सिद्धांत के अनुसार, ABC अक्षरों को व्यवस्थित करने के लिए 3 × 2 × 1 = 6 तरीके हैं। वे ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, और CBA हैं।

फैक्टरियल

ऊपर, हमने स्थापित किया कि 3 अलग-अलग वस्तुओं के परम्यूटेशन की संख्या 3 × 2 × 1 = 6 द्वारा दी गई है। आम तौर पर, n ऑब्जेक्ट्स (कुल मिलाकर) के परम्यूटेशन की संख्या n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 द्वारा दी जाती है।

यह n से 1 तक के सभी पूर्णांकों का गुणन है। एक पूर्णांक, मान लीजिए n से 1 तक के सभी पूर्णांकों का गुणनफलक कहलाता है और इसे ! (विस्मयादिबोधक चिह्न) द्वारा निरूपित किया जाता है।

इस प्रकार, n!= n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, और इसे n फैक्टोरियल कहा जाता है।

ध्यान दें कि 0!=1 और 1!=1

परम्यूटेशन का उदाहरण

ओलंपिक में दौड़ के लिए मानक ट्रैक में आमतौर पर 9 लेन होते हैं। हालांकि, 100 मीटर की दौड़ के लिए आमतौर पर लेन 1 का उपयोग नहीं किया जाता है। 8 धावकों को एक पंक्ति में 2 से 9 लेन पर रखा जाता है। 2 से 9 लेन पर 8 धावकों को कितने संभावित तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

मौलिक गणना सिद्धांत द्वारा:

• 8 धावकों में से किसी को भी लेन 2 मिलती है,
• शेष 7 धावकों में से कोई भी लेन 3 प्राप्त कर सकता है,
• शेष 6 धावकों में से कोई भी लेन 4 प्राप्त कर सकता है,
• शेष 5 धावकों में से कोई भी लेन 5 प्राप्त कर सकता है,
• शेष 4 धावकों में से कोई भी लेन 6 प्राप्त कर सकता है,
• शेष 3 धावकों में से कोई भी लेन 7 प्राप्त कर सकता है,
• शेष 2 धावकों में से कोई भी लेन 8 प्राप्त कर सकता है,
• एक शेष धावक लेन 9 प्राप्त करता है।

इसलिए, 8 ट्रैक पर व्यवस्थित किए जा सकने वाले 8 धावकों के कुल संभावित परम्यूटेशन 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 तरीके हैं।

परम्यूटेशन कैलकुलेटर में, दोनों n (ऑब्जेक्ट्स) और r (नमूना) बॉक्स में 8 दर्ज करें और 40,320 प्राप्त करने के लिए कैलकुलेट पर क्लिक करें।

सबसेट का परम्यूटेशन

पिछले उदाहरणों में, हमने वस्तुओं के परम्यूटेशन को देखा जब व्यवस्था में सभी वस्तुओं पर विचार किया गया था। हालाँकि, ऐसी परिस्थितियाँ होती हैं जब वस्तुओं को छोटे समूहों में व्यवस्थित किया जाता है।

उन मामलों में, वस्तुओं की कुल संख्या n द्वारा दान की जाती है, समूहों में वस्तुओं की संख्या (नमूना) को r द्वारा दर्शाया जाता है, और सूत्र परम्यूटेशन की संख्या देता है:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

इस सूत्र का उपयोग बिना दोहराव के परम्यूटेशन की गणना के लिए किया जाता है। और अगर हमें एक निश्चित क्रम में सेट n से लिया गया नमूना r व्यवस्थित करने की आवश्यकता है।

यदि हम उन विकल्पों की संख्या की गणना करते हैं जिनके साथ हम सेट के सभी तत्वों को एक निश्चित क्रम में और बिना दोहराव के व्यवस्थित कर सकते हैं, तो हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$$ₙPᵣ=n!$$

उदाहरण

पिछले उदाहरण में, हमने 100 मीटर की दौड़ में सभी आठ धावकों के लिए संभावित कॉन्फ़िगरेशन की संख्या पर विचार किया। एक ही दौड़ में अब तीन पदक होने हैं। दौड़ के विजेता को स्वर्ण पदक प्राप्त होता है, जबकि दूसरे और तीसरे स्थान पर रहने वाले धावकों को क्रमशः रजत और कांस्य पदक प्राप्त होते हैं। दौड़ में आठ धावकों में से हम कितने अलग-अलग तरीकों से स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक प्राप्त कर सकते हैं?

मूल गणना के मूल सिद्धांत के अनुसार, 8 धावकों में से कोई भी बढ़त ले सकता है। पहला स्थान भरने के बाद, दूसरे स्थान के लिए प्रतिस्पर्धा करने के लिए सात धावक बचे होंगे। छह धावक दूसरे स्थान पर रहने के बाद तीसरे स्थान की दौड़ में होंगे। इसलिए, 8 धावकों से पहले से तीसरे स्थान के संभावित परम्यूटेशन की कुल संख्या है: 8 × 7 × 6 = 336

हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

और हमें मिलता है

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

और परम्यूटेशन कैलकुलेटर में, n (ऑब्जेक्ट्स) बॉक्स में 8 और r (नमूना) बॉक्स में 3 दर्ज करें और 336 प्राप्त करने के लिए "गणना" पर क्लिक करें।

परम्यूटेशन और संयोजन: अंतर

एक अन्य आवश्यक गणना तकनीक संयोजन है। संयोजन विभिन्न तरीकों से वस्तुओं की एक छोटी संख्या (नमूना), r, को बड़ी संख्या में वस्तुओं से चुना जा सकता है, n। n वस्तुओं से r वस्तुओं के संयोजन की संख्या को केवल ₙCᵣ द्वारा दर्शाया जाता है।

परम्यूटेशन की परिभाषा में, हमने उल्लेख किया है कि क्रम या व्यवस्था महत्वपूर्ण है। खैर, यह परम्यूटेशन और संयोजन के बीच का अंतर है, क्योंकि कॉम्बिनेशन में, क्रम महत्वपूर्ण नहीं है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, हमने कहा कि दो अक्षरों के समूहों में XYZ अक्षरों का परम्यूटेशन निम्नलिखित XY, XZ, YZ, YX, ZX और ZY होगा। तो हमें छह परम्यूटेशन मिलते हैं।

हालांकि, दो अक्षरों के समूहों में XYZ अक्षरों के संयोजन XY, XZ, और YZ हैं; तीन संयोजन। ऐसा इसलिए है, क्योंकि कॉम्बिनेशन में, XY और YX को समान संयोजन माना जाता है; XZ और ZX के साथ, और YZ और ZY के साथ भी ऐसा ही है। इसलिए, कॉम्बिनेशन की गणना में व्यवस्था का क्रम मायने नहीं रखता।

सूत्र n वस्तुओं से r वस्तुओं के संयोजन की संख्या देता है:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(nr\right)!}$$

कॉम्बिनेशन की गणना का उदाहरण

आठ धावकों के समूह से पहले, दूसरे और तीसरे स्थान का चयन करने के तरीकों की संख्या पिछले उदाहरण में धावकों के साथ प्राप्त की गई थी। मान लें कि हम जानना चाहते हैं कि आठ धावकों के समूह में से तीन पदक विजेताओं को उनकी स्थिति को ध्यान में रखे बिना चुनने के कितने अलग-अलग तरीके हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि धावक पहले, दूसरे या तीसरे स्थान पर है या नहीं, जब तक वह पदक प्राप्त करता है।

इस मामले में कॉम्बिनेशन का उपयोग किया जाता है क्योंकि पदकों का क्रम महत्वहीन है। नतीजतन, हम इसे हल करने के लिए संयोजन सूत्र का उपयोग करते हैं।

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(nr)!}$$

8 धावकों में से 3 पदक विजेताओं का चयन करने के तरीकों की संख्या दी गई है:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

परम्यूटेशन की गणना के उदाहरण

1. समाचार निर्माता अपने विश्लेषणात्मक कार्यक्रम के लिए 5 अतिथि वक्ताओं में से 3 चुन सकते हैं। मेहमानों का क्रम महत्वपूर्ण है। निर्माता कितने अलग-अलग तरीकों से मेहमानों की प्रस्तुतियों को व्यवस्थित कर सकता है? ऑर्डर महत्वपूर्ण है और पुनरावृत्ति का उपयोग नहीं किया जाएगा क्योंकि एक ही अतिथि एक ही समाचार कार्यक्रम में दो बार प्रकट नहीं हो सकता है। इसलिए, हम परम्यूटेशन के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(nr)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

इस प्रकार हम देख सकते हैं कि निर्माता के पास वक्ताओं को व्यवस्थित करने के 60 तरीके हैं।

2. एक रेस्तरां आलोचक ने शहर में 10 अच्छे प्रतिष्ठानों का चयन किया है जो शीर्ष 3 सुशी रेस्तरां को रैंक करने के लिए सुशी की सेवा करते हैं। प्रतिष्ठानों को एक क्रम में प्रस्तुत किया जाना चाहिए जो रैंकिंग में अपना स्थान दिखाता है। साथ ही एक ही स्थान कई बार रैंकिंग में नहीं आ सकता है। इस प्रकार, हम परम्यूटेशन सूत्र के लिए आवश्यकताओं को पूरा करते हैं - ऑर्डर महत्वपूर्ण है और कोई दोहराव नहीं होना चाहिए। हम परम्यूटेशन के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(nr)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. जब हम कहते हैं कि क्रम परम्यूटेशन के लिए महत्वपूर्ण है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि ऑर्डर 1 से, मान लीजिए, 10 या किसी अन्य संख्या तक संख्यात्मक होना चाहिए। ऑर्डर कुछ वस्तुओं द्वारा बनाया जा सकता है जिनके बीच हम सेट के अपने तत्वों को आवंटित करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक घर की मरम्मत करने वाली कंपनी के मैनेजर पर विचार करें। आज उनके पास पेंटिंग रूम के चार ऑर्डर हैं। वे एक वीजा एजेंसी के कार्यालय, एक कारखाने के गोदाम, एक कपड़े की दुकान और एक निजी घर में एक कमरा हैं। कंपनी के लिए छह पेंटर काम करते हैं। वे एक दिन में केवल एक ही सुविधा का दौरा कर सकते हैं। शेष दो पेंटर एक दिन के लिए बंद रहेंगे।

ये वस्तुएं 1, 2, 3, और 4 पदों के अनुरूप हैं: एक वीज़ा एजेंसी कार्यालय, एक कारखाना गोदाम, एक कपड़ों की दुकान, और एक निजी घर में एक कमरा।

मैनेजर के पास होगा:

• 6 आवेदक जिन्हें कार्यालय को सौंपा जा सकता है,
• 5 शेष आवेदकों को गोदाम में सौंपा जाएगा,
• शेष 4 आवेदकों को स्टोर पर भेजा जाएगा,
• 3 शेष आवेदक जिन्हें एक निजी घर में एक कमरे में आवंटित किया जा सकता है।

इसलिए, सहज रूप से, हम विकल्पों की संख्या को 6 × 5 × 4 × 3 = 360 के रूप में वर्णित कर सकते हैं।

हमें यह शर्त दी गई है कि वस्तुओं पर पेंटर्स को वितरित करने का क्रम हमारे लिए महत्वपूर्ण है। किसी भी पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, अर्थात एक पेंटर एक ही दिन में एक से अधिक वस्तुओं पर काम कर रहा है। इसलिए हम पहले से उपयोग किए गए परम्यूटेशन सूत्र को लागू कर सकते हैं।

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(nr)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

इससे पता चला है कि एक होम रिपेयर कंपनी मैनेजर दी गई शर्तों के तहत 360 अलग-अलग तरीकों से उपलब्ध पेंटर्स के बीच ऑर्डर आवंटित कर सकता है।