समकोण त्रिभुज गणक

समकोण त्रिभुज गणक

सही त्रिकोण गणक एक ऑनलाइन त्रिकोण समाधानकरता है जो केवल सही त्रिकोण पर ध्यान केंद्रित करता है। गणक सही त्रिकोण के किसी भी दो मानों को आगत के रूप में लेता है और अज्ञात त्रिकोण माप की गणना करता है। इसमें शामिल मान हैं - त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई (a, b और c), समकोण को छोड़कर कोण मान (α और β), परिधि (P), क्षेत्र (A), और ऊंचाई-से-कर्ण (h)।

गणक का उपयोग करने के लिए, ऊपर सूचीबद्ध कोई भी दो मान दर्ज करें और "गणना करें" दबाएं। सभी आगत मानों को साफ़ करने के लिए, "साफ़ करें" दबाएं।

कोण मान डिग्री और रेडियन दोनों में डाले सकते हैं। π का उपयोग करके रेडियन में मान दर्ज करने के लिए, निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करें: "pi" उदाहरण के लिए, यदि दिया गया कोण मान π/3 है, तो "pi/3" डालें।

गणक सभी अज्ञात मूल्यों और गणना चरणों को दिखाएगा। गणक प्रासंगिक त्रिभुज के छोटा दृश्य, और परित्रिज्या और अन्तत्रिज्या के मूल्यों को भी प्रदर्शित करेगा।

त्रिभुज गणक के आगत मूल्यों पर सीमाएं

1. आप केवल दो मान आगत कर सकते हैं।
2. α और β के कोण मान 90° या (π/2)rad से कम होने चाहिए।
3. कर्ण की ऊंचाई (h) की लंबाई किसी भी भुजा (a या b) की लंबाई से अधिक नहीं होनी चाहिए।
4. त्रिभुज की प्रत्येक भुजा (ए, बी, या सी) की लंबाई अन्य दो भुजाओं के योग से कम होनी चाहिए।
5. किसी दी गई कर्ण लंबाई के लिए, त्रिभुज का परिमाप अधिकतम होता है। गणक इस मान से अधिक किसी भी परिधि को स्वीकार नहीं करेगा। दी गई कर्ण लंबाई के साथ समकोण त्रिभुज का अधिकतम परिमाप एक समद्विबाहु त्रिभुज (a=b) के मामले से मेल खाता है। इस मामले में \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$, और अधिकतम परिधि \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$।

समकोण त्रिभुज: परिभाषा और उपयोगी जानकारी

एक समकोण त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जहाँ एक कोण 90° या \$\frac{π}{2}\ rad\$ के बराबर होता है। समकोण के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है। अन्य दो भुजाओं को त्रिभुज की भुजा या टाँगें कहा जाता है।

टांग b को कभी-कभी समकोण त्रिभुज का आधार कहा जाता है, और टांग a समकोण त्रिभुज की ऊँचाई होती है।

त्रिभुज के पैर हमेशा कर्ण से छोटे होते हैं। चूँकि त्रिभुज का एक कोण 90° के बराबर होता है, और किसी त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है, समकोण त्रिभुज के अन्य दो कोणों का योग भी 90° होता है: α+β=90°। जैसा कि पाइथागोरस प्रमेय में वर्णित है, त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई एक-दूसरे से संबंधित है।

पाइथागोरस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई से संबंधित है। इसमें कहा गया है कि कर्ण का वर्ग दो पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है:

$$c^2=a^2+b²$$

नतीजतन, यदि केवल भुजा की लंबाई ज्ञात है, तो कर्ण की लंबाई की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

मान लीजिए हम एक भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई जानते हैं। उस स्थिति में, हम अन्य भुजा की लंबाई की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुज के बारे में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय है और यूक्लिडियन ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेयों में से एक है।

अन्य आवश्यक सूत्र

पाइथागोरस प्रमेय के अलावा, एक समकोण त्रिभुज के अज्ञात मानों की गणना के लिए निम्नलिखित संबंधों का उपयोग किया जाता है:

एक त्रिभुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लंबाई का योग होता है और इसे इस प्रकार पाया जाता है

$$P = a + b + c$$

एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

समकोण त्रिभुज के कोणों को खोजने के लिए, हमें कोणों की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा की गणना करनी चाहिए। किसी कोण की ज्या, कोज्या, या स्पर्शरेखा ज्ञात करने के लिए, हमें कोण की आसन्न और विपरीत भुजाओं की पहचान करनी होगी। एक कर्ण और एक अन्य भुजा समकोण त्रिभुज के दोनों न्यून कोण बनाती है। यह दूसरी भुजा संगत कोण की आसन्न भुजा है। इस प्रकार जो भुजा बची है वह इस कोण की विपरीत भुजा है। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में, a कोण α की विपरीत भुजा है, और b आसन्न पक्ष है।

समकोण त्रिभुज में किसी भी न्यून कोण की ज्या को विपरीत भुजा की लंबाई को कर्ण की लंबाई से विभाजित करके पाया जा सकता है:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

समकोण त्रिभुज में किसी भी न्यून कोण की कोज्या की गणना कर्ण की लंबाई से विभाजित आसन्न भुजा की लंबाई के रूप में की जा सकती है:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

समकोण त्रिभुज में किसी भी न्यून कोण की स्पर्श रेखा को विपरीत भुजा की लंबाई और आसन्न भुजा की लंबाई के अनुपात के रूप में पाया जा सकता है:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

ऊंचाई-से-कर्ण की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है

$$h=\frac{ab}{c}$$

गणक निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके किसी दिए गए त्रिभुज की त्रिज्या और परिधि भी ज्ञात करता है:

$$Inradius=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Circumradius=\frac{c}{2}$$

गणना उदाहरण

आइए मान लें कि हमारे पास एक त्रिभुज है जहां दो पैरों की लंबाई ज्ञात है: a = 3 और b = 4। आइए त्रिभुज के सभी लापता मान खोजें।

सबसे पहले, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण c की लंबाई ज्ञात करें:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

अब, आइए त्रिभुज के कोण मान ज्ञात करें। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है,

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

इसलिए,

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0.6)=0.6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

उसी प्रकार

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

इसलिए

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0.8)=0.9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

आइए ऊंचाई-से-कर्ण ज्ञात करें, h:

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए, हमारे पास है:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

दिए गए त्रिभुज की परिधि के लिए, हमारे पास है:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

इनरेडियस की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

$$inradius=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

और अंत में, परिधि:

$$circumradius=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2.5$$

विशेष समकोण त्रिभुज

समकोण त्रिभुज के दो विशेष प्रकार होते हैं - 45-45-90 त्रिभुज और 30-60-90 त्रिभुज। इन त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई एक विशेष अनुपात में होती है।

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज

45° और 45° के न्यून कोणों वाले समकोण त्रिभुज में दो बराबर कोण होते हैं। इसलिए, इसके पैरों की लंबाई भी बराबर होती है, जिससे यह त्रिभुज समद्विबाहु और समकोण बन जाता है। इसकी भुजाओं की लंबाई इस प्रकार संबंधित है:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

30-60-90 त्रिकोण

इस त्रिभुज के न्यून कोण 30° और 60° हैं। इसकी भुजाओं की लंबाई इस प्रकार संबंधित है:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

जहाँ 'a' 30° कोण के विपरीत भुजा है, 'b' 60° कोण के विपरीत भुजा है, और 'c' कर्ण है।