2डी दूरी गणक

यदि बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हों तो यह गणक एक समतल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाता है। गणक 2-आयामी जगह में संचालित होता है।

चूँकि एक सीधी रेखा 2 बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी का प्रतिनिधित्व करती है, इस गणक का उपयोग रेखा की लंबाई गणक के रूप में किया जा सकता है।

इस्तेमाल केलिए निर्देश

गणक निर्देशांक (X₁, Y₁) वाले बिंदु 1 और निर्देशांक (X₂, Y₂) वाले बिंदु 2 के बीच की दूरी का पता लगाता है।

दो बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाने के लिए, संबंधित क्षेत्रों में उनके निर्देशांक दर्ज करें। आगत निर्देशांक निम्नानुसार दर्ज किए जाने चाहिए:

• अल्पविराम को प्रत्येक बिंदु के दो निर्देशांकों को अलग करना चाहिए; उदाहरण के लिए, (X₁, Y₁) फ़ील्ड में "4,5" दर्ज करें ताकि 4 के x-निर्देशांक और 5 के y-निर्देशांक के साथ बिंदु 1 हो। यदि किसी भी निर्देशांक को दशमलव द्वारा दर्शाया जाता है, तो दशमलव बिंदु का उपयोग करें पूर्ण संख्या भाग को दशमलव भाग से अलग करने के लिए ; उदाहरण के लिए, 4.5 के x-निर्देशांक और 7 के y-निर्देशांक के साथ एक बिंदु प्राप्त करने के लिए "4.5,7" दर्ज करें।
• आप बिंदु निर्देशांक के रूप में केवल पूर्णांकों और दशमलव का उपयोग कर सकते हैं। भिन्न स्वीकार नहीं हैं।
• निर्देशांकों के बीच रिक्त स्थान आवश्यक नहीं हैं, लेकिन आप उन्हें अपनी सुविधा के लिए उपयोग कर सकते हैं

निर्देशांक दर्ज करने के बाद, "कैलकुलेट" दबाएं। गणक अंतिम उत्तर और विस्तृत समाधान कलन विधि लौटाएगा।

दूरी सूत्र

द्वि-आयामी तल पर, निर्देशांक (X₁, Y₁) के साथ बिंदु 1 और निर्देशांक (X₂, Y₂) वाले बिंदु 2 के बीच की दूरी निम्नलिखित सूत्र की सहायता से पाई जा सकती है:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

या, दूसरे शब्दों में: 2-आयामी स्थान में 2 बिंदुओं के बीच की दूरी को संबंधित निर्देशांकों के वर्ग अंतरों के योग के वर्गमूल के रूप में पाया जा सकता है। इस सूत्र को यूक्लिडियन दूरी सूत्र के रूप में जाना जाता है। इसलिए, इस गणक को यूक्लिडियन दूरी गणक भी कहा जा सकता है।

यूक्लिडियन दूरी सूत्र व्युत्पत्ति

सूत्र प्राप्त करने के लिए, आइए (X, Y) समन्वय तल पर दिए गए दो बिंदुओं को देखें:

बिंदु 1 और बिंदु 2 के बीच की दूरी का पता लगाने के लिए, चलिए बिंदु 2 से नीचे की ओर एक लंबवत रेखा और बिंदु 1 से दाईं ओर एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं। दो खींची गई रेखाएँ और आवश्यक दूरी एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। इस त्रिकोण का लंबवत पैर बिंदु 1 और बिंदु 2 के बीच लंबवत दूरी से बनेगा: Y₂ - Y₁। त्रिभुज का क्षैतिज पैर दो बिंदुओं के बीच क्षैतिज दूरी से बनेगा: X₂ - X₁। इस त्रिभुज का कर्ण बिंदुओं के बीच आवश्यक दूरी को दर्शाता है। जब समकोण त्रिभुज के पादों की लंबाई ज्ञात हो, तो कर्ण की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय की सहायता से ज्ञात की जा सकती है:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

गणना के उदाहरण

उदाहरण 1

आइए बिंदु 1 के साथ (X₁, Y₁) = (3, 1) और बिंदु 2 के बीच (X₂, Y₂) = (5, 7) के बीच की दूरी ज्ञात करें। यूक्लिडियन दूरी सूत्र में X₁, Y₁, X₂, Y₂ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करेंगे:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

ध्यान दें कि बिंदुओं के क्रम को बदलने से अंतिम परिणाम नहीं बदलता है क्योंकि निर्देशांक के बीच के अंतर को चुकता किया जाता है। उपरोक्त गणना को दोहराते हैं, यह मानते हुए कि (X₁, Y₁) = (5, 7), और (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

उदाहरण 2

आइए ऋणात्मक निर्देशांक वाले एक उदाहरण को देखें और बिंदु 1 के साथ (X₁, Y₁) = (-4, 2) और बिंदु 2 के साथ (X₂, Y₂) = (6, -6) के बीच की दूरी का पता लगाएं। यूक्लिडियन दूरी सूत्र में X₁, Y₁, X₂, Y₂ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करेंगे:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

वास्तविक जीवन के उदाहरण

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, यूक्लिडियन दूरी सूत्र पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित है। फिर भी, यह प्रमेय को उन स्थितियों के अनुकूल बनाता है जहां केवल बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात होते हैं (पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा उपयोग किए जाने वाले त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के बजाय)। सूत्र तब उपयोगी होता है जब दूरी की गणना मानचित्र या ग्राफ़ पर निर्देशांक से की जानी चाहिए। इसका उपयोग जटिल संख्याओं और सदिशों के परिमाणों की गणना करने के लिए भी किया जाता है।

उदाहरण 3

दीवार के खिलाफ झुकी हुई सीढ़ी की कल्पना करें। इस स्थिति में, फर्श 2डी समतल के x-अक्ष का प्रतिनिधित्व करता है, और दीवार y-अक्ष का प्रतिनिधित्व करती है, जैसा कि नीचे की छवि में दिखाया गया है। यदि सीढ़ी दीवार को बिंदु (0, 2) पर छूती है, और फर्श को बिंदु (3, 0) पर छूती है, तो सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल

दीवार और फर्श से बने 2-आयामी समतल में सीढ़ी की लंबाई पता करने के लिए, आइए पहले सीढ़ी के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांकों की पहचान करें: X₁, Y₁, X₂, Y₂। आइए उस बिंदु को कहते हैं जहां सीढ़ी दीवार को छूती है - बिंदु 1 (X₁, Y₁), और वह बिंदु जहां सीढ़ी फर्श को छूती है - बिंदु 2 (X₂, Y₂)। हम जानते हैं कि सीढ़ी दीवार को निर्देशांक (0, 2) वाले बिंदु पर छूती है। इसलिए, (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

ध्यान दें कि कैसे X₁ = 0, जो उपरोक्त छवि द्वारा स्पष्ट रूप से दिखाया गया है, जहां बिंदु (0, 0) उस भौतिक बिंदु से मेल खाता है जहां दीवार फर्श से मिलती है, जिससे X और Y के ऋणात्मक मान असंभव हो जाते हैं।

इसके अलावा, हम जानते हैं कि सीढ़ी निर्देशांक (3, 0) वाले बिंदु पर फर्श को छूती है। इसलिए, (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

इसके अलावा, Y₂ = 0 चूंकि ये निर्देशांक सीधे फर्श पर बिंदु के अनुरूप हैं। आइए अब सीढ़ी की लंबाई की गणना करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करें:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

उत्तर

सीढ़ी की लंबाई 3.6 है।

3डी-जगह में दूरी

यूक्लिडियन दूरी वह है जिसे अधिकांश लोग "दूरी" कहते हैं। जब हम कहते हैं कि कोई वस्तु हमसे 5 मीटर दूर है, तो यह हमारे दिमाग में यूक्लिडियन दूरी है। ऊपर वर्णित दूरी सूत्र को आसानी से 3 (या इससे भी अधिक!) आयामों में वाग्विस्तार किया जा सकता है।

3-आयामी जगह में, निर्देशांक (X₁, Y₁, Z₁) के साथ बिंदु 1 और निर्देशांक (X₂, Y₂, Z₂) के साथ बिंदु 2 के बीच की दूरी की गणना संगत के बीच वर्ग अंतर के योग के वर्गमूल के रूप में की जा सकती है।

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$