अभाज्य गुणनखंडन गणक

यह ऑनलाइन गुणनखंडन गणक आगत संख्या के सभी प्रधान कारकों को ढूंढता है। गणक सामान्य रूप में, साथ ही साथ घातीय रूप और CSV प्रारूप में प्रधान कारकों को प्रदर्शित करता है। इसके अतिरिक्त, यह गुणनखंड गणक एक प्रधान कारक वृक्ष बना सकता है और दी गई संख्या के सभी (केवल प्रधान नहीं) कारकों को खोज सकता है।

इस्तेमाल केलिए निर्देश

किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों को खोजने के लिए इस गणक का उपयोग करने के लिए, दी गई संख्या दर्ज करें और "कैलकुलेट" दबाएं। गणक संख्या के प्रधान कारकों को सामान्य रूप में, घातीय रूप में, और CSV प्रारूप में एक सूची के रूप में लौटाएगा।

आपके पास गुणनखंड वृक्ष बनाने का विकल्प भी है और दी गई संख्या के सभी गुणनखंडों को खोजने की संभावना भी है। इन दोनों विकल्पों को संबंधित बक्सों पर टिक करके चुना जा सकता है।

आगत मूल्यों पर सीमाएं

• आगत मान पूर्णांक होना चाहिए; दशमलव और भिन्न स्वीकार नहीं किए जाते हैं।
• आगत के रूप में केवल 1 से अधिक धनात्मक पूर्णांक का उपयोग किया जा सकता है।
• संख्या की लंबाई 13 अंकों से अधिक नहीं हो सकती (हजारों को अलग करने के लिए अल्पविराम के बिना), यानी, आगत संख्या का मान 10,000,000,000,000 या 10000000000000 से कम होना चाहिए। इसलिए, अधिकतम आगत मूल्य 9,999,999,999,999 या 9999999999999 है।

अभाज्य संख्याएँ और संयुक्त संख्याएँ

एक अभाज्य संख्या 1 से अधिक एक पूर्ण संख्या है, जिसे आगे अन्य पूर्ण संख्याओं में विभाजित नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक अभाज्य संख्या 1 से अधिक एक पूर्ण संख्या है जिसे अन्य पूर्ण संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाया जा सकता है। सबसे छोटी अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … हैं (ध्यान दें कि कैसे केवल एक अभाज्य संख्या सम है - 2 , अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं)।।

उपरोक्त सूची में nवें अभाज्य संख्या को अभाज्य [n] के रूप में दर्शाया जा सकता है। उस मामले में, प्रधान [1] = 2, प्रधान [2] = 3, प्रधान [3] = 5, और इसी तरह। यह ऑनलाइन गणक n = 5000 तक प्रत्येक पहचानी गई अभाज्य संख्या के सूचकांक n को प्रदर्शित करेगा।

एक समग्र संख्या 1 से अधिक एक पूर्ण संख्या है जिसे अन्य पूर्ण संख्याओं को गुणा करके बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 6 एक भाज्य संख्या है क्योंकि 6 = 3 × 2 है। 12 एक भाज्य संख्या है क्योंकि 12 = 6 × 2 = 3 × 2 × 2 है।

संख्या गुणनखंडन

जिन संख्याओं को आप एक और पूर्ण संख्या प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं, उन्हें कारक कहा जाता है। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, 3 और 2 6 के गुणनखंड हैं। चूँकि 6 को 1 और 6 को गुणा करके भी पाया जा सकता है: 6 = 1 × 6, 1 और 6 भी 6 के गुणनखंड हैं। अंत में, 6 के सभी गुणनखंड 1 हैं, 2, 3, और 6.

किसी भी अभाज्य संख्या का एकमात्र गुणनखंड 1 और स्वयं वह संख्या है। उदाहरण के लिए, 17 के कारक 1 और 17 हैं।

अभाज्य गुणनखंड उन सभी अभाज्य संख्याओं को खोजने की प्रक्रिया है जिन्हें दी गई संख्या बनाने के लिए गुणा किया जा सकता है। ध्यान दें कि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन उस संख्या के सभी गुणनखंड ज्ञात करने से भिन्न होता है।

उदाहरण के लिए, 12 के सभी गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 12 हैं। इन गुणनखंडों को एक सूची के रूप में लिखा जाता है।

जबकि 12 का अभाज्य गुणनखण्ड इस तरह दिखेगा: 12 = 2 × 2 × 3। अभाज्य गुणनखंड में, हम केवल अभाज्य संख्याओं के रूप में परिणाम प्राप्त करते हैं।

अभाज्य गुणनखंडन कलन विधि

परीक्षण प्रभाग

आइए सबसे सहज अभाज्य गुणनखंड विधि को देखें, जिसे कभी-कभी परीक्षण प्रभाग विधि कहा जाता है, एक उदाहरण पर और 36 के अभाज्य गुणनखंडों की पहचान करें। चूँकि हम सभी अभाज्य संख्याओं को जानते हैं, इसलिए हम जाँच सकते हैं कि दी गई संख्या उनमें से किसी से विभाज्य है या नहीं। सबसे आसान तरीका सबसे छोटी अभाज्य संख्या से शुरू करना है, जो 2 है:

36 ÷ 2 = 18

इस विभाजन का परिणाम एक पूर्ण संख्या है। इसलिए, 2 36 के प्रधान कारकों में से एक है। लेकिन 18 अभी तक प्रधान नहीं है, इसलिए हम जारी रखते हैं और जांचते हैं कि क्या 18 2 से विभाज्य है:

18 ÷ 2 = 9

9 भी एक पूर्ण संख्या है। इसलिए, 18 2 से विभाज्य है।

आइए फिर से कोशिश करें: 9 ÷ 2 = 4.5। यह कोई पूर्ण संख्या नहीं है। इसलिए, 9, 2 से विभाज्य नहीं है।

चलिए अगली अभाज्य संख्या को आजमाते हैं, 3. 9 ÷ 3 = 3. यह एक पूर्ण संख्या है, इसलिए यह काम कर गया! इसके अलावा, 3 पहले से ही प्रधान है, जिसका अर्थ है कि हम प्रक्रिया के अंतिम चरण पर पहुंच गए हैं! अब हमें केवल अंतिम उत्तर लिखने की आवश्यकता है:

36 = 2 × 2 × 3 × 3

यह किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड को लिखने का सामान्य तरीका है। इसे घातांकों का प्रयोग करके भी लिखा जा सकता है:

36 = 2² × 3²

प्रधान कारक वृक्ष

प्रधान गुणनखंड प्रक्रिया को "वृक्ष" के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है। 36 के लिए प्रधान कारक वृक्ष इस तरह दिखेगा:

परीक्षण प्रभाग (कोई भी कारक)

कभी-कभी, प्रधान गुणनखंड प्रक्रिया आसान हो जाती है यदि हम पहले संख्या को दो अन्य (अभाज्य नहीं) संख्याओं के गुणन के रूप में व्यक्त करते हैं और फिर उनके अभाज्य गुणनखंडों की पहचान करते हैं। उदाहरण के लिए, आइए 48 के प्रमुख गुणनखंडों को खोजें। 48 = 6 × 8 से शुरू करना आसान है क्योंकि आप शायद इसे कंठस्थ कर चुके हैं। फिर हमें 6: 6 = 2 × 3, और 8: 8 = 2 × 2 × 2 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। अंत में, 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹।

अंकगणित का मौलिक प्रमेय

1 से बड़ा कोई भी धनात्मक पूर्णांक अभाज्य गुणनखण्डों के एक अद्वितीय समुच्चय से बनाया जा सकता है। इस प्रमेय को कभी-कभी प्रधान गुणनखंडन प्रमेय कहा जाता है।

वास्तविक जीवन अनुप्रयोग

संदेशों को एन्क्रिप्ट और डिक्रिप्ट करने के लिए कूटलेखन और साइबर सुरक्षा में प्रधान संख्या का उपयोग किया जाता है। हम पहले से ही जानते हैं कि किसी भी संख्या को अभाज्य संख्याओं के समूह के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है और यह समूह अद्वितीय है। अभाज्य संख्याओं का यह गुण उन्हें एन्क्रिप्शन के लिए इतना सुविधाजनक बनाता है।

इससे भी अधिक सुविधाजनक यह है कि आधुनिक कंप्यूटरों के लिए भी बहुत बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों को खोजना एक बहुत समय लगने वाला कार्य है। यही कारण है कि इस पृष्ठ पर गणक असीम रूप से बड़ी संख्या के साथ काम नहीं कर सकता।

एन्क्रिप्शन के लिए अभाज्य संख्याओं का उपयोग करने के पीछे मुख्य सिद्धांत यह है कि दो बड़ी अभाज्य संख्याओं को लेना अपेक्षाकृत आसान है और उन्हें एक बहुत बड़ी संमिश्र संख्या बनाने के लिए गुणा करना। हालांकि, उस अंतिम संख्या को मूल प्रधान में वापस विघटित करना अविश्वसनीय रूप से कठिन है।

10 अंकों की दो अभाज्य संख्याएँ लेने की कल्पना करें और उन्हें और भी अधिक अंकों वाली संख्या प्राप्त करने के लिए गुणा करें। अब परीक्षण विभाजन द्वारा उस संख्या के अभाज्य गुणनखंडन की प्रक्रिया की कल्पना करें...

यह इतनी लंबी प्रक्रिया है कि वर्तमान में कोई भी कंप्यूटर किसी भी उचित समय में किसी समस्या में दो प्रारंभिक अभाज्य संख्याएँ नहीं ढूँढ सकता है। लेकिन भविष्य में क्वांटम कंप्यूटर के विकास के साथ यह स्थिति बदल सकती है।