कारक गणक

कारक गणक

कारक गणक एक ऑनलाइन उपकरण है जो आपको किसी भी पूर्णांक (0 को छोड़कर) के सभी कारकों को जल्दी से खोजने की अनुमति देता है।

कारक गणक के आगत मूल्यों पर सीमाएं:

• आप केवल पूर्णांक (धनात्मक) आगत कर सकते हैं।
• 0 दर्ज करना संभव नहीं है।

इस्तेमाल केलिए निर्देश

किसी संख्या के सभी गुणनखंडों को खोजने के लिए, वह संख्या दर्ज करें और "गणना करें" दबाएं। कारक गणक संख्या के कारकों की सूची और कारकों की कुल संख्या लौटाएगा। गणक संख्या के कारक जोड़े भी लौटाएगा।

गुणनखंडन: परिभाषाएँ और सूत्र

गणित में, गुणनखंडन को किसी वस्तु को कई अन्य वस्तुओं या कारकों के गुणन में विभाजित करने की प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है। विभिन्न गणितीय वस्तुओं, जैसे संख्याएं, बहुपद, और आव्यूह, को गुणनखंडित किया जा सकता है। यहां हम पूर्णांकों के गुणनखंडन पर ध्यान देंगे।

एक पूर्णांक के कारक ऐसे पूर्णांक होते हैं जो दिए गए पूर्णांक को बिना किसी शेषफल के विभाजित करते हैं।

मूल रूप से, गैर-शून्य पूर्णांक a, b और c के लिए, यदि a = b × c, तो b और c a के कारक हैं। उदाहरण के लिए, 1, 2, 3 और 6 सभी 6 के कारक हैं, क्योंकि वे सभी 6 को समान रूप से विभाजित करते हैं (बिना किसी शेष के):

• 6 / 1 = 6
• 6 / 2 = 3
• 6 / 3 = 2
• 6 / 6 = 1

किसी भी पूर्णांक के हमेशा कम से कम दो कारक होंगे: 1 और स्वयं पूर्णांक, अर्थात, किसी भी a को a = 1 × a के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

किसी संख्या के कारक कैसे ज्ञात करें

गणक किसी भी संख्या के गुणनखंडों को खोजने के लिए परीक्षण विभाजन विधि का उपयोग करता है। यह सबसे सरल पूर्णांक कारक कलन विधि है, जो लगातार परीक्षण करता है कि क्या संख्या समान रूप से दी गई संख्या से छोटी सभी संख्याओं से विभाजित है।

प्रक्रिया को कम बोझिल बनाने के कई तरीके हैं। सबसे पहले, संख्याओं का परीक्षण हमेशा बढ़ते क्रम में किया जाता है, जो 2 से शुरू होता है। फिर, मान लीजिए कि 2 दी गई संख्या का कारक नहीं है। उस स्थिति में, 2 के गुणकों को स्वचालित रूप से त्याग दिया जाता है, और प्रक्रिया आसान हो जाती है।

इसके अलावा, दिए गए a के लिए, आपको केवल √a तक परीक्षण करना चाहिए। यह सच है, क्योंकि यदि b, a का एक कारक है, तो a = b × c. फिर, यदि c, b से छोटा होता, तो इसे पहले ही a के कारक के रूप में पहचाना जाता।

हम तंत्र को निम्न चरणों में कम कर सकते हैं:

दी गई संख्या a के लिए, a: √a का वर्गमूल ज्ञात करें और इसे निकटतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकन करें। आइए a के पूर्णांकित-निचले वर्गमूल को r के रूप में निरूपित करें।

1 से बड़े या उसके बराबर और r से कम या उसके बराबर सभी पूर्णांकों का परीक्षण करके देखें कि क्या वे समान रूप से a को विभाजित कर रहे हैं। याद रखें कि यदि आप पहले ही यह स्थापित कर चुके हैं कि एक अभाज्य संख्या दी गई संख्या के गुणनखंडों में से एक नहीं है, तो आपको अब इस अभाज्य संख्या के गुणकों की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है! उदाहरण के लिए, यदि आपने पाया है कि दी गई संख्या को 3 से समान रूप से विभाजित नहीं किया जा सकता है, तो आप 3 के सभी गुणकों को छोड़ सकते हैं, जैसे कि 6, 9 और इसी तरह।

सभी कारकों और संबंधित कारक युग्मों को लिखिए।

गणना उदाहरण

माता-पिता अपने बेटे माइक के लिए जन्मदिन की पार्टी की योजना बना रहे हैं, जो 6 साल का हो रहा है। पार्टी के अंत में, वे भाग लेने वाले प्रत्येक बच्चे को मिठाई देना चाहते हैं। उन्होंने बच्चों को देने के लिए 32 कपकेक तैयार किए हैं.

माइक अपनी पार्टी में कितने मेहमानों को आमंत्रित कर सकता है, जिसमे आयोजन के अंत में प्रत्येक अतिथि को समान संख्या में मिठाई मिलती हैं? प्रत्येक बच्चे को कितने कपकेक मिलेंगे?

हल

हमें यह पता लगाना होगा कि माइक कितने मेहमानों को पार्टी में आमंत्रित कर सकता है ताकि प्रत्येक अतिथि को 32 उपलब्ध कपकेक में से समान संख्या में कपकेक मिले। हमें यह पता लगाना है कि कौनसी पूर्ण संख्या 32 को बिना शेषफल के विभाजित करती है (ताकि कपकेक को टुकड़ों में न तोड़ना पड़े)। इसका मतलब है कि हमें 32 के सभी सकारात्मक कारक खोजने होंगे। यह निर्धारित करने के लिए कि प्रत्येक बच्चे को प्रत्येक मामले में कितने कपकेक मिलेंगे, हमें कारक जोड़े भी खोजने होंगे।

आइए दी गई संख्या के कारकों और कारकों के जोड़ों को खोजने के लिए परीक्षण विभाजन विधि का उपयोग करें। पहले चरण के रूप में, हमें संख्या का वर्गमूल ज्ञात करना होगा:

$$\sqrt{32}\approx5.657$$

5.657 को अगले पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, हमें 5 प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि हमें 1 से बड़ी या उसके बराबर और 5 से कम या उसके बराबर सभी पूर्ण संख्याओं की जाँच करनी है।

संख्या 1 के लिए:

32/1 = 32. 1, 32 का एक कारक है, क्योंकि 1 किसी भी पूर्णांक का कारक है: 1 × 32 = 32. इसलिए, यदि माइक के पास केवल एक अतिथि है, तो उन्हें सभी 32 कपकेक मिलेंगे! वैकल्पिक रूप से, यदि वह 32 बच्चों को अपनी पार्टी में आमंत्रित करने का फैसला करता है, तो प्रत्येक बच्चे को शाम को केवल एक कप केक मिलेगा।

संख्या 2 के लिए:

32/2 = 16. इसका अर्थ है कि 2, 32 का कारक है। संगत कारक जोड़ी है: 2 × 16 = 32. साथ ही, यहाँ 2 और 16 दोनों 32 के कारक हैं और इन्हें कारक सूची में शामिल किया जाना है, जिसका अर्थ है कि यदि माइक दो मेहमानों को आमंत्रित करता है, तो उन्हें प्रत्येक को 16 कपकेक मिलेंगे। लेकिन अगर वह 16 बच्चों को आमंत्रित करता है, तो उनमें से प्रत्येक को पार्टी के अंत में 2 कपकेक मिलेंगे।

संख्या 2 के लिए:

32/3 = 10 2/3 ≅ 10.667। इसका मतलब है कि 3, 32 को समान रूप से विभाजित नहीं करता है और 32 का कारक नहीं है। माइक 3 मेहमानों को अपनी पार्टी में आमंत्रित नहीं कर सकता क्योंकि उस स्थिति में, कपकेक का विभाजन अनुचित होगा।

चूँकि 2 दी गई संख्या का एक कारको था, हम 2 के गुणजों को छोड़ नहीं सकते, और हमें 4 को भी जाँचना होगा।

संख्या 2 के लिए:

32 / 4 = 8. इसका मतलब है कि 4, 32 का एक कारक है। संबंधित कारक जोड़ी है: 4 × 8 = 32। माइक 4 बच्चों को आमंत्रित कर सकता है, इस स्थिति में प्रत्येक बच्चे को 8 कपकेक मिलेंगे, या वह 8 बच्चों को आमंत्रित कर सकता है। , तो प्रत्येक अतिथि को 4 कपकेक मिलेंगे।

संख्या 2 के लिए:

32/5 = 6 2/5 = 6.4। इसका मतलब है कि 5, 32 को समान रूप से विभाजित नहीं करता है और 32 का कारक नहीं है। इसलिए, 5 मेहमानों को आमंत्रित करना भी माइक के लिए विकल्प नहीं है।

चूँकि हमें केवल 1 से बड़े या उसके बराबर और 5 से कम या उसके बराबर पूर्णांकों की जाँच करनी थी, हमें दिए गए सभी संख्या कारक मिल गए हैं!

उत्तर

32 के छह कारक हैं:

1, 2, 4, 8, 16, 32

कपकेक वितरण निष्पक्ष होने के लिए माइक अपनी पार्टी में 1, 2, 4, 8, 16, या 32 मेहमानों को आमंत्रित कर सकता है।

32 के कारक जोड़े हैं:

• 1 × 32 = 32

• 2 × 16 = 32

• 4 × 8 = 32

प्रत्येक कारक जोड़ी में, संख्याओं में से एक मेहमानों की संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, और दूसरी संख्या प्रत्येक अतिथि को पार्टी के अंत में प्राप्त होने वाले कपकेक की संख्या का प्रतिनिधित्व करती है।