ढलान गणक

ढलान गणक

ढलान गणक एक सीधा ऑनलाइन उपकरण है जो आपको एक सीधी रेखा का ढलान खोजने की अनुमति देता है। गणित में, एक रेखा के ढलान को क्षैतिज निर्देशांक (x-निर्देशांक) में परिवर्तन के सापेक्ष सीधा निर्देशांक (y-निर्देशांक) में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।

उपयोग किया संकेतन

ढलान को m अक्षर से निरूपित किया जाता है। ऊपर दिया गया क्षेत्र गणक में उपयोग किए गए अन्य सभी संकेतन को चित्रात्मक रूप से प्रदर्शित करता है। ढलान खोजक दो अलग-अलग परिदृश्यों में गणना कर सकता है:

1. जब रेखा पर दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात होते हैं। ग्राफ़ पर, दो बिंदुओं में निर्देशांक (x₁,y₁) और (x₂,y₂) हैं। इस मामले में, गणक रेखा की ढलान, m का पता लगाएगा।

2. यदि हम एक बिंदु (x₁,y₁), दूरी d और एक रेखा के ढलान के निर्देशांक जानते हैं, तो गणक रेखा पर दूसरे बिंदु के निर्देशांक ढूंढेगा, (x₂,y₂)।

दोनों परिदृश्यों में, गणक रेखा की अन्य लापता विशेषताओं को भी लौटाएगा: क्षैतिज परिवर्तन ∆x, लंबवत परिवर्तन ∆y, झुकाव कोण θ, रेखा की लंबाई, या दूरी, d।

इस्तेमाल केलिए निर्देश

सबसे पहले, ज्ञात मूल्यों की पहचान करें और उपयुक्त गणक चुनें। यदि दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हैं, तो "यदि 2 बिंदु ज्ञात हैं" का चयन करें।

यदि आपके पास गणना करने के लिए केवल एक बिंदु के निर्देशांक हैं, तो आपको दूरी, d, और रेखा की ढलान, m जानने की आवश्यकता होगी। इस मामले में, "यदि 1 बिंदु और ढलान ज्ञात हैं" चुनें।

यदि 2 बिंदु ज्ञात हैं

संबंधित क्षेत्रों में बिंदुओं के ज्ञात निर्देशांक डालें, फिर "गणना करें" दबाएं। गणक निम्नलिखित जानकारी लौटाएगा:

• ढलान m,
• झुकाव कोण θ,
• रेखा की लंबाई d,
• क्षैतिज परिवर्तन ∆x,
• लंबवत परिवर्तन ∆y।

गणक ढलान और रेखा के अन्य सभी विशिष्ट मूल्यों को खोजने के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्रों को भी प्रदर्शित करेगा। गणक रेखा के संबंधित समीकरण को प्रदर्शित करेगा, और यह दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए योजनाबद्ध रूप से रेखा को बनाएगा।

सभी जगहों साफ़ करने के लिए, "साफ़ करें" दबाएं।

यदि 1 बिंदु और ढलान ज्ञात हो

संबंधित क्षेत्रों में बिंदु, दूरी और ढलान के ज्ञात निर्देशांक डालें। ध्यान दें कि ढलान के बजाय, आप "झुकाव के कोण (थीटा o θ)" का मान सम्मिलित कर सकते हैं। θ का मान अंशों में डालना होता है। इनमें से केवल एक मान डाला जाना है (या तो m या θ)। मान लीजिए कि m और θ दोनों डाले गए हैं। उस स्थिति में, गणक θ के मान को अनदेखा कर देगा, और गणना के लिए केवल ढलान m का उपयोग करेगा।

"गणना करें" दबाएं। गणक निम्नलिखित जानकारी लौटाएगा: दूसरे बिंदु के निर्देशांक (x₂,y₂), क्षैतिज परिवर्तन ∆x, लंबवत परिवर्तन ∆y, और लाइन की लंबाई d। यदि ढलान m का उपयोग गणना के लिए किया गया था, तो गणक θ का मान भी लौटाएगा। यदि आपने गणना के लिए झुकाव कोण का उपयोग किया है, तो गणक उत्तर में m का मान लौटाएगा। इसके अलावा, गणक रेखा के संबंधित समीकरण को प्रदर्शित करेगा, और यह दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए योजनाबद्ध रूप से रेखा को बनाएगा।

सभी जगह साफ़ करने के लिए, "साफ़ करें" दबाएं।

ढलान सूत्र

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक रेखा के ढलान को क्षैतिज निर्देशांक $(x-coordinate)$ में परिवर्तन के सापेक्ष एक रेखा के लंबवत निर्देशांक $(y-coordinate)$ में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

उपरोक्त समीकरण को ढलान सूत्र कहा जाता है। यदि रेखा पर दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हैं, तो हम इसका उपयोग किसी भी रेखा की ढलान को खोजने के लिए कर सकते हैं। ढलान को आमतौर पर m के रूप में दर्शाया जाता है। इसका उपयोग रेखा की दिशा के साथ-साथ इसकी स्थिरता का वर्णन करने के लिए किया जाता है:

• यदि रेखा बाएं से दाएं ऊपर की ओर जाती है, तो y₂>y₁ जब x₂>x₁। ढलान हमेशा सकारात्मक होगा, m>0। ऐसे में हम कहते हैं कि रेखा बढ़ रही है।

• यदि रेखा बाएं से दाएं नीचे की ओर जाती है, तो y₂ < y₁ जब x₂>x₁। ढलान ऋणात्मक होगा, m<0। इस मामले में, हम कहते हैं कि रेखा घट रही है।

• यदि रेखा क्षैतिज है, तो y₂=y₁ और y₂-y₁=0। फिर ढलान भी शून्य के बराबर होगा: m=0।

• यदि रेखा लंबवत है, तो x₂=x₁ और x₂-x₁=0। ढलान सूत्र में हर में शून्य होगा, और ढलान अपरिभाषित है।

रेखा समीकरण

हम किसी भी रैखिक समीकरण को निम्नलिखित रूप में लिख सकते हैं:

$$y=mx+b$$

रैखिक समीकरण के इस रूप को ढलान-अवरोधन रूप कहा जाता है। इस समीकरण की बनावट एक सीधी रेखा होगी, जहाँ m रेखा की ढलान है। और B वह निर्देशांक है जिस पर ग्राफ़ y-axis को अवरोधन करता है। B को कभी-कभी रेखा का $y-intercept$ भी कहा जाता है, क्योंकि y=b जब x=0 होता है।

जब रेखा और ढलान पर एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात होते हैं, तो हम तथाकथित बिंदु-ढलान रूप में रेखा समीकरण लिख सकते हैं:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

रैखिक समीकरण का यह रूप एक रेखा के y-intercept को खोजने के लिए फायदेमंद है।

गणना उदाहरण

आइए मान लें कि हम रेखा पर दो बिंदुओं के निर्देशांक जानते हैं।

दिया गया:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

आइए सबसे पहले इस रेखा का ढाल ज्ञात करें:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

अब, आइए रेखा के अन्य अभिलक्षणिक मान ज्ञात करें। हम जानते हैं कि m=tanθ। इसलिए, हम झुकाव का कोण θ निम्नानुसार पा सकते हैं:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= arctan\frac{∆x}{∆y} = 71.565051177078°$$

आगे,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके d की दूरी ज्ञात कर सकते हैं। इसमें कहा गया है कि कर्ण की लंबाई का वर्ग समकोण त्रिभुज के पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।

इस प्रमेय को हमारे त्रिभुज पर लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

इसलिए,

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25.298221281347$$

रेखा के y-intercept को खोजने के लिए, हमारे दिए गए मान m, x₁, और y₁ को प्रतिस्थापित करते हुए, बिंदु-ढलान रूप में लाइन समीकरण लिखें:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

इसलिए, y=-2 लाइन का y-intercept है, या, दूसरे शब्दों में, जब x=0, y=-2.

अगर y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0.66666666666667$$

रेखाचित्र संगत रेखा को प्रदर्शित करता है। हमारे मामले में, ढलान सकारात्मक है, m>0, और हम देख सकते हैं कि रेखा बढ़ रही है - यह बाएं से दाएं ऊपर जाती है। हम यह भी देख सकते हैं कि झुकाव कोण θ लगभग ≈ 72° के बाद से रेखा काफी खड़ी है।