पाइथागोरस प्रमेय गणक

यह पायथागॉरियन गणक एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई का पता लगाता है यदि त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ ज्ञात हों। गणना पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर की जाती है।

इस्तेमाल केलिए निर्देश

ज्ञात पक्ष की लंबाई दर्ज करें और "कैलकुलेट" दबाएं। गणक निम्नलिखित मान लौटाएगा:

• तीसरी भुजा की लंबाई।
• डिग्री और रेडियन में गैर-90° कोणों के कोण मान।
• त्रिभुज का क्षेत्रफल।
• त्रिभुज की परिधि।
• कर्ण के लम्बवत् ऊँचाई की लंबाई।

गणक विस्तृत समाधान भी लौटाएगा, जिसे आप "+ शो कैलकुलेशन स्टेप्स" दबाकर विस्तृत कर सकते हैं।

ध्यान दें कि प्रत्येक पक्ष के लिए आगत क्षेत्र में एक पूर्णांक भाग और एक वर्गमूल भाग शामिल होता है ताकि आप आसानी से 2√3, √3, आदि जैसे मान दर्ज कर सकें।

यह भी ध्यान दें कि a और b के मान, त्रिभुज के पैर, कर्ण के मान c से कम होने चाहिए।

पाइथागोरस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग भुजा की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।

पाइथागोरस प्रमेय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

a² + b² = c²,

जहाँ a और b एक समकोण त्रिभुज की छोटी भुजाओं, या पैरों की लंबाई हैं, और c – सबसे लंबी भुजा या कर्ण की लंबाई है। उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है: a वर्ग प्लस b वर्ग बराबर c वर्ग।

पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण

आइए क्षेत्रों को जोड़कर पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करें।

उपरोक्त छवि में, भुजा (a + b) वाला वर्ग भुजा c वाले वर्ग से बना है, और भुजाओं a, b, और c के साथ चार समकोण त्रिभुज हैं। आइए दो अलग-अलग रणनीतियों का उपयोग करके इस वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

1. भुजा की लंबाई (a + b) वाले वर्ग के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना (a + b)² के रूप में की जा सकती है:

A = (a + b)²

2. समान पृष्ठीय क्षेत्रफल वर्ग बनाने वाली आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों के योग के रूप में पाया जा सकता है - भुजा c वाले वर्ग का क्षेत्रफल, और भुजाओं a, b, और c वाले त्रिभुज के चार क्षेत्रफल। भुजा c वाले वर्ग के क्षेत्रफल की गणना c² के रूप में की जा सकती है। भुजाओं a, b, और c वाले समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल (ab)/2 के रूप में पाया जा सकता है। इसलिए,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

चूँकि ये दोनों गणनाएँ एक ही सतह क्षेत्र का वर्णन करती हैं, हम उनकी बराबरी कर सकते हैं:

(a + b)² = c² + 2ab

समीकरण के बाईं ओर वर्ग का विस्तार करने पर, हम पाते हैं:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

समीकरण के दोनों पक्षों से 2ab घटाने पर, हम पाते हैं:

a² + b² = c²

जो आवश्यक परिणाम है।

गणना कलन विधि

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करना

यदि एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ दी गई हों, तो पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करके तीसरी भुजा ज्ञात की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि भुजाएँ a और b दी गई हों, तो भुजा c की लंबाई निम्नानुसार पाई जा सकती है:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

इसी प्रकार,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

और

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

एक समकोण त्रिभुज के कोणों का पता लगाना

यदि समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात हों, तो त्रिभुज के गैर-90° कोणों को निम्न प्रकार से पाया जा सकता है:

• ∠α = arcsin(a/c) या ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) या ∠β = arccos(a/c)

यहां, ∠α 'a' पैर के विपरीत कोण है, ∠β 'b' पैर के विपरीत कोण है, और 'c' हाइपोटेन्यूज है। Arcsin और arccos के बीच चयन इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस पैर (a या b) को कोण के संबंध में देख रहे हैं। Arcsin का उपयोग करते समय, आप कोण के विपरीत पैर का उपयोग करते हैं, और arccos के साथ, आप कोण के सटे पैर का उपयोग करते हैं। दोनों दृष्टिकोण मान्य हैं और आपको सही कोण की माप प्रदान करेंगे एक सही त्रिभुज में।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उसके पैरों के गुणनफल के 1/2 के रूप में की जा सकती है:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

एक समकोण त्रिभुज की परिधि

एक समकोण त्रिभुज की परिधि की गणना उसकी सभी भुजाओं के योग के रूप में की जाती है:

P = a + b + c

कर्ण की ऊँचाई

यदि एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात हों, तो कर्ण की ऊँचाई, h, निम्न प्रकार से पाई जा सकती है:

h = (a × b)/c

वास्तविक जीवन के उदाहरण

पाइथागोरस प्रमेय का व्यापक रूप से वास्तुकला और निर्माण में उपयोग किया जाता है ताकि आवश्यक घटक की लंबाई की गणना की जा सके और यह सुनिश्चित किया जा सके कि निर्मित भवनों में कोण सही हैं। आइए प्रमेय को लागू करने का एक उदाहरण देखें।

फिटिंग की वस्तुएं

कल्पना कीजिए कि आप आगे बढ़ रहे हैं, और आपने 4 मीटर लंबे और 3 मीटर ऊंचे एक चलते हुए ट्रक को किराए पर लिया है। आपके पास ज्यादा भारी सामान नहीं है, लेकिन आपके पास एक सीढ़ी है, जो 4.5 मीटर लंबी है। क्या आपकी सीढ़ी ट्रक में फिट होगी?

हल

चूंकि सीढ़ी की लंबाई, 4.5 मीटर, ट्रक की लंबाई, 4 मीटर से अधिक है, सीढ़ी के अंदर फिट होने का एकमात्र तरीका उसे तिरछा रखना है। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह संभव है, हमें ट्रक की लंबाई और ऊंचाई के बराबर भुजाओं वाले त्रिभुज के कर्ण की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है। इसलिए, हमारे मामले में a = 4, b = 3, और हमें c खोजने की आवश्यकता है:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

a = 4 और b = 3 वाले त्रिभुज का कर्ण c = 5 है। इसलिए, ट्रक में फिट होने वाली सबसे लंबी वस्तु 5 मीटर हो सकती है। आपकी सीढ़ी 4.5 मीटर लंबी है। इसलिए, यह आसानी से फिट हो जाएगा!

उत्तर

हाँ, सीढ़ी फिट हो जाएगी।

अतिरिक्त गणना

यह ऑनलाइन गणक दिए गए त्रिभुज की कुछ अतिरिक्त विशेषताओं का भी पता लगाएगा। त्रिकोण के लिए a = 4, b = 3, और c = 5 के साथ इन विशेषताओं की गणना करें।

त्रिकोण का क्षेत्रफल:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

त्रिकोण की परिधि:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

कर्ण की ऊंचाई:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2.4

भुजा a के विपरीत कोण:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0.8) = 53.13° = 53°7'48" = 0.9273 rad

भुजा b के विपरीत कोण:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0.6) = 36.87° = 36°52'12" = 0.6435 rad