माड्यूलो गणक

माड्यूलो संचालन, विभाजन संचालन के शेष को खोजने की एक विधि है। माड्यूलो की विशिष्टता यह है कि यह शेष को पूर्ण संख्या के रूप में लौटाता है।

तीन बच्चे होने पर विचार करें। आप कैंडीज का एक बक्सा खरीदते हैं जिसमें ऐसे 20 हैं। आप सभी कैंडीज को अपने बच्चों के बीच समान रूप से और निष्पक्ष रूप से बांटना चाहेंगे। और अपने द्वारा छोड़ी गई कैंडी को काटने या तोड़ने की आवश्यकता के बिना खाने के लिए। आपके बच्चे अभी भी स्कूल में हैं। तो आप पहले विभाजन के बाद बचे हुए शेष को निर्धारित कर सकते हैं और अपने कैंडीज की संख्या खा सकते हैं।

यह वह स्थिति है जब आप माड्यूलो प्रचालक का उपयोग कर सकते हैं। इसे % चिन्ह या mod के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। छोटी संख्याओं के साथ संचालन के लिए, आप अपने सिर में गणना कर सकते हैं। यदि आप बड़ी संख्या में काम कर रहे हैं, तो आप माड्यूलो गणक का उपयोग करने में अधिक सहज होंगे।

समीकरण को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

Dividend = (Quotient × Divisor) + Remainder

हमारे मामले में:

• भाज्य 20 है (कैंडी की कुल संख्या);
• भाजक 3 (बच्चों की संख्या) है;
• भागफल 6 है (प्रत्येक बच्चे के लिए कैंडी की संख्या);
• शेष 2 है (कैंडी की संख्या जो आप अपने लिए ले सकते हैं)।

यदि आप माड्यूलो संचालन का उपयोग करते हैं, तो आप इसे निम्न रूप में लिख सकते हैं:

x % y = r

या

x mod y = r

जहाँ x भाज्य है, y भाजक है, और r शेष है।

हमारे मामले में,

20 % 3 = 2

मापांक गणक के बिना गणना

आइए एक विशिष्ट मामले को एक उदाहरण के रूप में लें।

उदाहरण

वेयन बाली में रहता है और छह आवासीय इकाइयों के साथ एक छोटा सा गेस्टहाउस बना रहा है। वह बाथरूम में टाइल लगाने जा रहा है। उनके पड़ोसी, गेडे, जिन्होंने पहले ही अपने होटल का निर्माण पूरा कर लिया है, वेयन को शेष टाइलें खरीदने के लिए काफी छूट प्रदान करते हैं।

पड़ोसी ने अपने गोदाम में 15 बक्से गिने, जिनमें से प्रत्येक में 4 (60 × 60 सेमी) टाइलें थीं और दो टाइलें अलग-अलग थीं। यानी कुल 62 टाइलें। और गेदे एक ही बार में सभी टाइलें बेचना चाहता है।

अब वेयन को यह पता लगाने की जरूरत है कि वह इन टाइलों से कितने बाथरूम बना पाएगा। और कितनी टाइलें संभवतः अनुपयोगी रहेंगी?

किसी भी मापांक प्रचालक गणक के बिना हस्तचालित रूप से मापांक कैसे खोजें?

वेयन ने अपने गेस्टहाउस में एक मानक बाथरूम के आकार को मापा और महसूस किया कि उसे प्रति कमरा लगभग 14 टाइलों की आवश्यकता है।

चलिए हस्तचालित गणना करते हैं!

1. शुरुआती संख्या या भाज्य तय करें। हमारे मामले में, यह 62 है, या एक पड़ोसी द्वारा प्रदान की जाने वाली टाइलों की संख्या।
2. भाजक निर्धारित करें। यह 14 है—एक मानक बाथरूम के लिए टाइलों की औसत संख्या।
3. भाज्य को भाजक से विभाजित करें और परिणाम को पूर्ण संख्या में पूर्णांकन करें। 62/14 = 4.428571428571429 या 4. तो वेयन चार बाथरूम के लिए टाइलों का उपयोग कर सकता है।
4. विभाजन के पूर्णांकन परिणाम को भाजक से गुणा करें। और वह 4 × 14 = 56 है। यह चार कमरों के लिए टाइलों की संख्या होगी।
5. इस गुणन परिणाम को मूल भाज्य से घटाएं। यानी 62 - 56 = 6। इससे वेयन के पास छह अतिरिक्त टाइलें बची हैं।

सरल और संक्षिप्त तरीके से, हम इस प्रचालन को इस प्रकार लिख सकते हैं:

62 % 14 = 6

या

62 mod 14 = 6

वेयन ने फैसला किया कि यह एक अच्छा विकल्प है क्योंकि उसे टाइल काटने या गलतफहमी के मामले में टाइलिंग के काम के लिए लगभग 10% का टाइल अतिरिक्त लेना चाहिए। और वह एक स्थानीय इमारत की दुकान पर अन्य दो बाथरूमों के लिए टाइलें खरीदेगा।

एक माड्यूलो गणक यह परिणाम कुछ ही सेकंड में प्रदान कर सकता है।

माड्यूलो सिद्धांत का घड़ी प्रदर्शन

एक प्रकार का गणित जिसे "मॉड्यूलर अंकगणित" कहा जाता है, चक्रीय संरचनाओं से संबंधित है। इसका प्रतिनिधित्व करने का सबसे आसान तरीका 12 के चक्र के साथ एक डायल है। गणितज्ञ के लिए, डायल में मॉड 12 है।

यदि आप यह देखना चाहते हैं कि क्या आप 251 घंटों को बिना शेष बचे दिनों से विभाजित कर सकते हैं, तो आप प्रचालन लागू कर सकते हैं

251 mod 24

परिणाम 11 है, तो उत्तर है नहीं! हम केवल "हां" का उत्तर दे सकते हैं यदि परिणाम 0 है।

उदाहरण

डेनियल अटलांटा से मियामी के लिए बस लेना चाहता है। यह दोपहर 1 बजे निकलती है, और सड़क पर 15 घंटे लगते हैं। उसके आने का समय क्या होगा? यह होगा

1 + 15 mod 12

जो कि 4 है। उनके मामले में यह सुबह 4 बजे होगा।

माड्यूलो का उपयोग

सम और विषम संख्याओं का निर्धारण

मापांक ऑपरेटर के सबसे बुनियादी उपयोगों में से एक यह निर्धारित करना है कि कोई संख्या सम या विषम है या नहीं। यह संभव है क्योंकि x % 2 हमेशा या तो 0 या 1 लौटाता है। सम संख्याएँ हमेशा 0 लौटाती हैं क्योंकि वे समान रूप से 2 से विभाजित होती हैं, जबकि विषम संख्याएँ हमेशा 1 का शेष देती हैं।

प्रोग्रामिंग में मॉड्यूलो का उपयोग करने का सबसे आम मामला तब होता है जब आप अपने आवेदन में एक टेबल प्रिंट करते हैं और पंक्तियों में वैकल्पिक रंग चाहते हैं। आप उन्हें हल्का नीला और हल्का भूरा रंग देना चाह सकते हैं, इसलिए आप यह देखने के लिए मॉड्यूलो की जांच करें कि आप सम या विषम पंक्ति पर हैं या नहीं।

इकाई रूपांतरण

इकाई रूपांतरण मोडुलो प्रचालन के व्यावहारिक उपयोग का एक विशिष्ट उदाहरण है। आमतौर पर इसका उपयोग तब किया जाता है जब हम एक छोटी इकाई, जैसे मिनट, इंच या सेंटीमीटर को बड़ी इकाई, जैसे घंटे, मील या किलोमीटर में बदलना चाहते हैं। ऐसी स्थितियों में दशमलव या भिन्नात्मक संख्याएँ हमेशा सहायक नहीं होती हैं।

उदाहरण के लिए, यदि हम 373 मिनट में घंटों की संख्या जानना चाहते हैं, तो 6 घंटे और 13 मिनट के रूप में व्यक्त किया गया परिणाम 6.216666666666666666666667 घंटों से अधिक मूल्यवान हो सकता है।

मानक विभाजन (निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकन के साथ) घंटों की संख्या निर्धारित करता है, और शेष मिनटों के लिए माड्यूलो प्रचालन का उपयोग किया जाता है। चाहे समय, दूरी, दबाव, ऊर्जा, या डेटा भंडारण से निपटना हो, आप इकाइयों को परिवर्तित करने के लिए इस सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग कर सकते हैं।

एक अधिवर्ष का निर्धारण

मॉड्यूलो प्रचालक का उपयोग करने का एक और उदाहरण यह देखना है कि क्या एक वर्ष एक अधिवर्ष है।

एक अधिवर्ष एक कैलेंडर वर्ष है जिसमें सौर कैलेंडर में एक अतिरिक्त दिन होता है। एक अधिवर्ष में अतिरिक्त दिन 29 फरवरी है।

1 जनवरी, 45 ईसा पूर्व को रोमन तानाशाह गयुस जूलियस सीजर ने रोम में अलेक्जेंड्रिया के खगोलविदों द्वारा विकसित कैलेंडर पेश किया। कैलेंडर इस गणना पर आधारित था कि एक खगोलीय वर्ष लगभग 365.25 दिन (365 दिन और 6 घंटे) होता है। इस कैलेंडर को जूलियन कैलेंडर कहा जाता था।

छह घंटे की पाली को बराबर करने के लिए, सीज़र ने एक अधिवर्ष की शुरुआत की। लगातार तीन वर्षों तक, एक वर्ष में 365 दिन होते थे। और हर साल फरवरी में चार का गुणज, एक अतिरिक्त दिन जोड़ा जाता था।

हालाँकि, जैसे-जैसे समय बीतता गया, यह पता चला कि केवल यही नियम पर्याप्त नहीं था।

औसत उष्णदेशीय वर्ष (दो वसंत विषुवों के बीच का समय) लगभग 365 दिन और 5 घंटे और 49 मिनट के बारे में अधिक सटीक है। औसत वर्ष और जूलियन कैलेंडर वर्ष (365 दिन और 6 घंटे) के बीच का अंतर लगभग 11 मिनट था। तो लगभग 128 वर्षों में, वे 11 मिनट पूरे एक अतिरिक्त दिन को जोड़ सकते थे।

संचित त्रुटियों की भरपाई करने और भविष्य में इसी तरह के बदलाव से बचने के लिए, पोप ग्रेगरी XIII ने 1582 में कैलेंडर में सुधार किया। उन्होंने अधिवर्ष के लिए अतिरिक्त नियम जोड़े। अधिवर्ष अभी भी चार के गुणज थे, लेकिन उन वर्षों के लिए अपवाद बनाए गए जो 100 के गुणक थे। ऐसे वर्ष केवल अधिवर्ष थे यदि वे भी 400 से विभाज्य थे।

अधिवर्ष निर्धारित करने के नियम इस प्रकार बने:

• जिस वर्ष की संख्या 400 का गुणज हो वह अधिवर्ष होता है।
• शेष वर्ष जिनका योग 100 का गुणज है, अधिवर्ष नहीं हैं (उदाहरण के लिए, वर्ष 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300);
• शेष वर्ष, जो संख्या 4 का गुणज है, अधिवर्ष हैं।
• अन्य सभी वर्ष अधिवर्ष नहीं हैं।

इस प्रकार, वर्ष 1700, 1800, और 1900 अधिवर्ष नहीं हैं, क्योंकि वे 100 के गुणज हैं और 400 के गुणज नहीं हैं। वर्ष 1600 और 2000 अधिवर्ष हैं, क्योंकि वे 400 के गुणज हैं।

आइए अपनी समस्या पर वापस आते हैं।

हम जानते हैं कि:

• यदि एक वर्ष संख्या mod 4 = 0, और एक वर्ष संख्या mod 100 0 है तो यह एक अधिवर्ष है।
• यदि एक वर्ष संख्या mod 400 = 0 है, तो यह एक अधिवर्ष है
• किसी भी अन्य मामले में, यह एक अधिवर्ष नहीं है।

एक साधारण पायथन लिपि के साथ, आप बता सकते हैं कि एक वर्ष अधिवर्ष है या नहीं। यह इस तरह दिखेगा:

year = int(input('Enter year: '))

if (year%4 == 0 and year%100 != 0) or (year%400 == 0) :

	print(year, "is a leap year.")

else:

	print(year, "is not a leap year.")

प्रोग्रामिंग में मॉड्यूलो प्रचालक के लोकप्रिय अनुप्रयोगों में शामिल हैं:

• यह निर्धारित करना कि कुछ सम है या विषम;
• सूची में प्रत्येक Nth चीज़ पर एक विशिष्ट प्रचालन करना;
• संख्या को सीमा तक सीमित करना;
• सीमित विकल्पों (गोलाकार सरणी) के माध्यम से घूमना;
• एक संख्या उलट;
• रैखिक डेटा को एक मैट्रिक्स में परिवर्तित करना;
• यह निर्धारित करना कि क्या सरणियाँ एक दूसरे के घुमाए गए संस्करण हैं;
• पेजिनेशन।

यादृच्छिक संख्या उत्पादक

मॉड्यूलो मिलान का उपयोग अक्सर कंप्यूटर हार्डवेयर और दूरसंचार उपकरण में नियंत्रण संख्या बनाने और एक सीमित सीमा में यादृच्छिक संख्या प्राप्त करने के लिए किया जाता है, जैसे कि एक सर्वांगसम यादृच्छिक संख्या उत्पादक। डेरिक हेनरी लेमर ने 1949 में रैखिक सर्वांगसम विधि का प्रस्ताव रखा।

रैखिक सर्वांगसम विधि सूत्र के अनुसार कार्य करती है:

$$X_{n+1} = (a × X_n + c)\mod m$$

जहाँ:

• m मॉड्यूलो है,
• a गुणक है,
• c वृद्धि है, और
• X₀ प्रारंभिक मूल्य है।

उदाहरण के लिए, m = 11, X₀ = 9, a = 9, c = 9 के लिए, हमें यादृच्छिक संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला मिलती है:

9, 2, 5, 10, 0, 9, 2, 5, 10, 0, 9

कूटलिपि

बीज-लेखक मॉड्यूलो से प्यार करते हैं। क्योंकि जब वास्तव में बड़ी संख्या के साथ उपयोग किया जाता है, तो आप मॉड्यूलो के साथ "एक तरफ़ा कार्य" के रूप में जाना जाने वाला कुछ बना सकते हैं। ये विशेष कार्य एक दिशा में किसी चीज़ की गणना करना आसान बनाते हैं लेकिन विपरीत दिशा में नहीं।

यदि 9 वर्ग करने का परिणाम है, तो आप जल्दी से निर्धारित कर सकते हैं कि आगत 3 था। आप शुरू से अंत तक पूरी प्रक्रिया की कल्पना कर सकते हैं। अगर मैं आपको बता दूं कि 9 mod 29 का परिणाम है, तो यह पता लगाना कठिन है कि इसमें आगत क्या है।

बीज-लेखक इस विचार को पसंद करते हैं क्योंकि वे कूटलिपि कुंजी बनाने के लिए विशाल अभाज्य संख्याएँ उत्पन्न करने के लिए शेष के साथ विभाजन का उपयोग कर सकते हैं।

निष्कर्ष

चाहे आप एक भंडारण बक्से में वस्तुओं को समान रूप से वितरित करने का प्रयास कर रहे हों, यह जानते हुए कि क्या कोई संख्या किसी अन्य संख्या से विभाज्य है, या बस समय की गणना करने की कोशिश कर रहे हैं, मॉड्यूलो हमेशा मौजूद है। इन सभी मामलों में, शेष उतना ही महत्वपूर्ण है जितना कि विभाजन संचालन में भागफल।

कभी-कभी हाथ में समस्या सीधी और सहज होती है। हालांकि, जब चीजें जटिल हों तो समाधान खोजने के लिए ऑनलाइन मापांक कैलकुलेटर का उपयोग करना हमेशा बेहतर होता है।