माध्य, मीडियन, मोड कैलकुलेटर

केंद्रीय प्रवृत्ति के माप

तालिकाओं और ग्राफ़ से स्टैटिस्टिकल डेटा की व्याख्या करना मुश्किल हो सकता है। स्टेटिस्टिक्स से अधिक उपयोगी जानकारी प्राप्त करने के लिए, हमें अक्सर डेटा सेट को सारांशित करने और महत्वपूर्ण विशेषताओं की पहचान करने की आवश्यकता होती है।

स्टेटिस्टिक्स को स्टेटिस्टिक्स में सारांशित करने के लिए, विभिन्न मापों का उपयोग किया जाता है। कुछ डेटा के केंद्र का वर्णन करते हैं; इन्हें केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों के रूप में जाना जाता है। अन्य, फैलाव मापों के रूप में जाना जाता है, यह दर्शाता है कि डेटा मान कितने बिखरे हुए हैं। अन्य, जिन्हें स्थिति माप के रूप में जाना जाता है, डेटा के प्रतिशत को प्रकट करते हैं जो एक निश्चित मान से कम है।

इस कैलकुलेटर का प्राथमिक कार्य केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों की गणना करना है, जैसे कि माध्य और मीडियन, जो डेटा सेट में विशिष्ट या केंद्रीय मान का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।इस कैलकुलेटर का दूसरा उद्देश्य रेंज, क्वार्टाइल और इंटरक्वारटाइल रेंज की गणना करके डेटा सेट में भिन्नता की डिग्री निर्धारित करना है।

मीन कैलकुलेटर

माध्य की गणना मानों की कुल संख्या को मानों के योग से विभाजित करके की जाती है। निम्न सूत्र का उपयोग करके सैंपल के माध्य को समझना और उसकी गणना करना सबसे आसान है:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

जनसंख्या के माध्य का सूत्र है:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{N}=\frac{\sum_{}^{}x}{N}$$

इस मामले में अंश डेटा सेट में मानों के योग का प्रतिनिधित्व करता है। और अंश डेटा सेट में मानों की संख्या है।

अंकगणित माध्य को डेटा सेट में सभी डेटा बिंदुओं को शामिल करने का लाभ होता है।

माध्य की मुख्य सीमा यह है कि यह अत्यधिक मूल्यों के लिए प्रवण होता है जो या तो बहुत बड़े या बहुत छोटे होते हैं। आउटलेयर वे मान हैं जो औसत से महत्वपूर्ण रूप से विचलित होते हैं।

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि औसत मूल्य हमेशा डेटा के लिए विशिष्ट मूल्य नहीं होता है। माध्य मान एक ऐसा मान हो सकता है जो डेटा सेट में बिल्कुल भी मौजूद नहीं है।

सैंपल और जनसंख्या के लिए औसत

जनसंख्या मूल्यों का संपूर्ण समूह है जिसके बारे में डेटा प्राप्त किया जाता है। सैंपल जनसंख्या के एक छोटे उपसमूह से बना है।

सैंपल और जनसंख्या दोनों के लिए, माध्य मान की गणना करने की विधि समान है। केवल नाम अलग हैं।

अगर x₁, x₂,..., xₙ एक सैंपल है, माध्य को सैंपल माध्य के रूप में संदर्भित किया जाता है और इसे प्रतीक x̄ द्वारा दर्शाया जाता है। जनसंख्या का माध्य ग्रीक अक्षर 𝜇 द्वारा निरूपित किया जाता है।

स्टेटिस्टिक्स में, हम सैंपल आकार को दर्शाने के लिए लोअरकेस अक्षर n और जनसंख्या आकार को दर्शाने के लिए बड़े अक्षर N का उपयोग करते हैं।

माध्य की गणना का उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: लुइगी एक शानदार शेफ और पिज्जा उत्साही है। उन्होंने बाली में एक पिज़्ज़ेरिया खोलने का निर्णय लिया है। लुइगी निवेशकों को आकर्षित करने के लिए एक व्यवसाय योजना बनाता है। वह भविष्य के वित्तीय प्रदर्शन का आकलन करने के लिए द्वीप पर विभिन्न रेस्तरां में पिज्जा की औसत लागत का पता लगाना चाहता है।

उन्होंने बाली रेस्तरां में मार्गेरिटा पिज्जा की कीमत पर कुछ शोध किया और पिज्जा की कीमतों का एक डेटा सेट प्राप्त किया। चीजों को आसान बनाने के लिए, हम अंतिम तीन शून्य को छोड़ देंगे और केवल हजारों में कीमत का उपयोग करेंगे। यानी हमारी गणना में 60 का मतलब 60,000 इंडोनेशियाई रुपिया होगा।

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

लुइगी ने द्वीप के हर पिज़्ज़ेरिया का दौरा नहीं किया है। उसने उनमें से 20 को यादृच्छिक रूप से चुना। इस प्रकार, हम एक सैंपल के साथ काम कर रहे हैं।

आइए सूत्र का उपयोग करके इस डेटा सेट के औसत मूल्य की गणना करें:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

हम औसत x̄ = 71.9 मिलता हैं।

लुइगी के शोध के अनुसार, बाली में एक मार्गेरिटा पिज्जा की औसत कीमत 71,900 इंडोनेशियाई रुपिया है। वह अब इस कीमत का इस्तेमाल अपनी गणनाओं को आधार बनाने के लिए कर सकता है।

मीडियन कैलकुलेटर

मीडियन एक स्थितिगत माप है जो डेटा सेट के औसत मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जिसे आरोही या अवरोही क्रम में रखा गया है।

हम मीडियन की गणना करके एक संख्या ज्ञात करने का प्रयास करते हैं जो डेटा सेट को आधे में विभाजित करती है। आधे डेटा मान मीडियन से कम हैं, जबकि अन्य आधे अधिक हैं। यही कारण है कि, मीडियन कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना मीडियन की गणना करते समय, हमें मानों को आरोही या अवरोही क्रम में क्रमबद्ध करना चाहिए।

मीडियन गणना इस आधार पर भिन्न होती है कि डेटा सेट में सम या विषम संख्या में मान हैं या नहीं।

यदि तत्वों की कुल संख्या विषम है, अर्थात n या N विषम है, तो सूत्र इस प्रकार है:

$$Median=(\frac{n+1}{2})-th \ element$$

हालाँकि, यदि तत्वों की संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि n एक सम संख्या है, तो निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

$$Median=\frac{\left[(\frac{n}{2})-th \ element+(\frac{n}{2}+1)-th \ element\right]}{2}$$

मीडियन का उपयोग करने का मुख्य लाभ यह है कि यह अत्यंत उच्च या अत्यंत निम्न मानों से कम से कम प्रभावित होता है।

मीडियन की गणना का उदाहरण

बीस मानों के दिए गए सेट के लिए,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

हम मीडियन की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

1. डेटा सेट को आरोही या अवरोही क्रमित करें। यहाँ क्रम इस प्रकार है:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. आइए डेटा सेट में मानों की संख्या निर्धारित करें। हमारे पास n = 20 है।

3. यदि n विषम है, तो हम डेटा के केंद्रीय मान को मीडियन के रूप में चुनते हैं। यदि n सम है, तो हम दो मीडियन मानों का समांतर माध्य ज्ञात करते हैं। उन्हें जोड़ें और योग को 2 से विभाजित करें।

20 एक सम संख्या है।

हमारे सैंपल में केंद्रीय मान 69 और 70 हैं। हम मीडियन को इस प्रकार पाते हैं:

$$Median = \frac{69 + 70}{2} = 69.5$$

यदि लुइगी में 21 मानों का एक सेट था, उदाहरण के लिए,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 90, 55, 72, 70

वह मूल्यों का क्रम इस तरह कर सकता है:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 90, 95, 120, 160

और केंद्र में 11वें स्थान पर, यानी 70 में मान का चयन करें।

माध्य और मीडियन के बीच का अंतर

केंद्रीय प्रवृत्ति की गणना के लिए माध्य और मीडियन दोनों का उपयोग किया जाता है। हालांकि, यह समझना महत्वपूर्ण है कि वे कैसे भिन्न हैं।

माध्य मीडियन से इस मायने में भिन्न होता है कि माध्य सूत्र डेटा सेट के सभी मानों को ध्यान में रखता है। इसके विपरीत, मीडियन सूत्र केवल केंद्रीय संख्या या दो केंद्रीय संख्याओं पर निर्भर करता है।

यह एक या अधिक असामान्य रूप से बड़ी या असामान्य रूप से छोटी संख्या वाले डेटा सेट के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। आउटलेयर वे संख्याएँ हैं जो आदर्श से विचलित होती हैं। ज्यादातर मामलों में, इन आउटलेर्स का माध्य पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ता है लेकिन मीडियन पर बहुत कम या कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

स्टेटिस्टिक्स में, एक उपाय को प्रतिरोधी कहा जाता है यदि इसका मूल्य डेटा सेट में चरम मूल्यों से महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं होता है। परिणामस्वरूप, हम कह सकते हैं कि माध्य प्रतिरोधी है जबकि माध्य नहीं है।

माध्य और मीडियन डेटा सेट के केंद्र को अलग-अलग तरीकों से मापते हैं। माध्य डेटा सेट का संतुलन बिंदु है। मीडियन वह औसत है जो एक तरफ के 50% डेटा को दूसरी तरफ 50% से विभाजित करता है। जब डेटा सेट सममित होता है तो माध्य और मीडियन बराबर होते हैं।

लेकिन माध्य और मीडियन समान नहीं हो सकती है।

कुछ डेटा सेटों में माध्य मीडियन से कम हो सकता है, या माध्य माध्य से कम हो सकता है। इस मामले में, हम डेटा सेट को तिरछा कहते हैं।

यदि माध्य मान बाईं ओर है या मीडियन से कम है, तो डेटासेट को बाईं ओर तिरछा कहा जाता है। यदि माध्य दाईं ओर स्थित है या मीडियन से अधिक है तो डेटासेट को दाईं ओर तिरछा कहा जाता है।

केंद्रीय प्रवृत्ति की माप के रूप में, न तो माध्य और न ही मीडियन श्रेष्ठ है। वे दोनों केंद्र का निर्धारण करने के लिए विभिन्न विधियों का उपयोग करते हैं। जब डेटा अत्यधिक विषम होता है या इसमें अत्यधिक मूल्य होते हैं, तो कुछ विशेषज्ञ मीडियन का उपयोग करना पसंद करते हैं क्योंकि यह एक विशिष्ट मूल्य का अधिक प्रतिनिधि होता है।

मोड कैलकुलेटर

मोड एक डेटासेट का मान है जो डेटासेट में अधिकतम बार आता है। यही वह मान है जो सबसे अधिक बार होता है।

एक यूनिमॉडल डेटासेट में केवल एक मान होता है जो सबसे अधिक बार होता है।

जब डेटा सेट में दो मानों की आवृत्ति समान होती है, तो दोनों मानों को मोडल माना जाता है, और डेटा सेट को बायमोडल माना जाता है।

जब एक ही उच्चतम आवृत्ति वाले डेटासेट में दो से अधिक मान होते हैं, तो प्रत्येक मान को एक मोड के रूप में उपयोग किया जाता है, और डेटासेट को मल्टीमॉडल माना जाता है।

कहा जाता है कि डेटा सेट में कोई मोड नहीं होता है यदि कोई एकल डेटा मान एक से अधिक बार नहीं आता है। यह कहना गलत होगा कि इस मामले में मोड शून्य है। कुछ डेटा सेटों में, जैसे तापमान माप, शून्य वास्तविक मान हो सकता है।

एक मोड की गणना का मुख्य लाभ यह है कि इसे खोजना आसान है और चरम मूल्यों से अप्रभावित है। मोड गणना का नुकसान यह है कि कुछ स्थितियों में कुछ डेटा सेट के लिए एक मोड मान मौजूद नहीं हो सकता है।

मोड गणना का उदाहरण

बीस मानों के दिए गए सेट के लिए,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

हम मोड को इस प्रकार पा सकते हैं:

डेटा सेट को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें। यहाँ क्रम इस प्रकार है:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

तब हमें वह मान ज्ञात होता है जिसे सबसे अधिक बार दोहराया गया है। इस मामले में सबसे सामान्य मान 70 है। परिणामस्वरूप, दिए गए डेटा सेट के लिए मोडल मान 70 है।

मोड को केन्द्रीय प्रवृत्ति के मापक के रूप में भी जाना जाता है। हालाँकि, यह पूरी तरह से सही नहीं है। मोड डेटा सेट में सबसे बड़ा, सबसे छोटा या कोई अन्य मान हो सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास डेटा सेट में निम्नलिखित संख्याएँ थीं:

42, 45, 50, 53, 55, 57, 59, 60, 63, 69, 70, 72, 79, 82, 83, 95, 96, 120, 120, 120

120 मोड होगा। हालांकि, यह इस मामले में केंद्रीय प्रवृत्ति को प्रतिबिंबित नहीं करेगा।

आश्चर्यजनक रूप से, मात्रात्मक डेटा के लिए, हम केवल माध्य और मीडियन की गणना कर सकते हैं। इसके अलावा, हम मात्रात्मक और गुणात्मक डेटा दोनों के लिए मोड की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, एना प्रति माह औसतन 12 बार पिज्जा खाती है।

• 3 बार नेपोलेटाना पिज्जा,
• 3 बार मार्गेरिटा पिज्जा,
• 2 बार कैलज़ोन पिज़्ज़ा,
• 1 पेपरोनी,
• 1 मारिनारा,
• 1 चार चीज़,
• 1 कैप्रिस।

इस मामले में, हमारे पास दो मोड होंगे: नेपोलेटाना पिज्जा और मार्गेरिटा पिज्जा।

फैलाव के माप

हम डेटा सेट में परिवर्तनशीलता को निर्धारित करने के लिए वेरियंस मापों का उपयोग करते हैं। वे आम तौर पर केंद्रीय मूल्य से डेटा भिन्नता की डिग्री को दर्शाते हैं। रेंज, क्वार्टाइल और इंटरक्वारटाइल रेंज का उपयोग करके, हम डेटा सेट में वेरियंस की जांच कर सकते हैं।

रेंज कैलकुलेटर

डेटा सेट की सीमा उसके उच्चतम और निम्नतम मानों के बीच का अंतर है। हम डेटा सेट के अधिकतम और न्यूनतम मान निर्धारित करके इसकी गणना कर सकते हैं। सीमा की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

$$Range = Largest\ value - Smallest\ value$$

श्रेणी की गणना का उदाहरण

बीस मानों के दिए गए सेट के लिए,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

हम इस प्रकार सीमा की गणना कर सकते हैं:

डेटा सेट को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें। यहाँ, क्रम इस तरह दिखता है:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

इसके अलावा, उच्चतम मूल्य 160 है, और न्यूनतम मूल्य 42 है। इसलिए, सीमा:

$$Range = largest\ value - smallest\ value = 160 - 42 = 118$$

इसलिए, इस डेटा सेट के लिए, रेंज 118 है।

क्वारटाइल कैलकुलेटर

क्वारटाइल वे मान हैं जो डेटा सेट को चार तिमाहियों में तीन बिंदुओं से विभाजित करते हैं, अर्थात् पहला, दूसरा और तीसरा क्वारटाइल।

पहला क्वारटाइल, जिसे Q₁ लेबल किया गया है, उस बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है जो डेटा सेट में पहले 25% मानों का प्रतिनिधित्व करता है जो इस मान से कम हैं। और अन्य 75% मान अधिक हैं।

दूसरा क्वारटाइल, जिसे Q₂ लेबल किया गया है, मीडियन है। इसका मतलब है कि डेटा सेट का 50% इस मान से कम है और अन्य 50% Q2 से अधिक है।

तीसरा क्वारटाइल, जिसे Q₃ कहा जाता है, वह बिंदु है जो 75% मानों का प्रतिनिधित्व करता है जो इस मान से कम हैं और शेष 25% अधिक हैं।

क्वारटाइल की गणना

डेटा सेट के क्वारटाइल की गणना के लिए एक प्रक्रिया:

1. स्टेटिस्टिक्स को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए।

2. दूसरे क्वारटाइल की गणना करने के लिए, मीडियन की गणना करें। पहले और तीसरे क्वारटाइल के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें। n निर्धारित करें - डेटा सेट में मानों की संख्या।

3. प्रथम क्वारटाइल के लिए L = 0.25n की गणना करें। तीसरे क्वारटाइल के लिए, L= 0.75n की गणना करें।

4. यदि L एक पूर्णांक है, तो क्वारटाइल स्थिति L की संख्या और स्थिति L + 1 पर संख्या का औसत है।

5. यदि L एक पूर्णांक नहीं है, तो इसे अगले उच्च पूर्णांक तक पूर्णांकित करें। क्वारटाइल वह संख्या है जो गोल मान के अनुरूप स्थिति में होती है।

एक क्वारटाइल गणना उदाहरण

बीस मानों के दिए गए सेट के लिए,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

हम क्वारटाइल की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

1. डेटा सेट को आरोही या अवरोही क्रमित करें। यहाँ, क्रम इस तरह दिखता है:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. पिछली गणनाओं से, हम पहले से ही जानते हैं कि

मीडियन = 70

3. प्रथम क्वारटाइल के लिए एल: 0.25 × 20 = 5। एल तीसरे क्वारटाइल के लिए: 0.75 × 20 = 15।

4. 5 एक पूर्णांक है, इसलिए हमारे मामले में Q₁ है:

$$Q₁=\frac{55+59}{2}=57$$

5. 15 भी एक पूर्णांक है, इसलिए Q₃, हमारे मामले में, है

$$Q₃=\frac {72+75}{2}=73.5$$

इसलिए, इस डेटा सेट के लिए, पहला क्वारटाइल 57 है, दूसरा 70 है, और तीसरा 73.5 है।

इंटर-क्वारटाइल रेंज कैलकुलेटर

इंटरक्वारटाइल रेंज (IQR) डेटा सेट के तीसरे $(Q₃ )$ और पहले Q₁ क्वार्टाइल के बीच का अंतर है। यह औसत फैलाव का एक उपाय है, जिसकी गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

IQR = Q₃ - Q₁

IQR गणना उदाहरण

पिछले भाग में, हम पहले और तीसरे क्वारटाइल की गणना कर चुके हैं। वे 57 और 73.5 हैं। हमें बस इतना करना है कि फॉर्मूला लागू करें।

IQR = Q₃ - Q₁ = 73.5 - 57 = 16.5

इस प्रकार, इस डेटा सेट के लिए, इंटरक्वारटाइल रेंज 16.5 है।

परिणाम

हमारे मामले में, मार्गेरिटा पिज्जा की कीमतों के लुइगी के माध्यी-सर्वेक्षण ने उन्हें निम्नलिखित निष्कर्षों तक पहुंचने की अनुमति दी: माध्य और माध्य का मिलान नहीं हुआ, जिसके परिणामस्वरूप डेटा में थोड़ा तिरछापन आया। हालांकि, यह मुश्किल से ध्यान देने योग्य है। परिणामस्वरूप, केंद्रीय प्रवृत्ति की गणना के लिए माध्य और मीडियन दोनों का उपयोग किया जा सकता है।

यदि वह औसत के साथ जाना चाहता है तो लुइगी को मार्गरिटा पिज्जा का औसत या औसत मूल्य लेना चाहिए था। हालांकि, यादगार पिज्जा कीमत के रूप में IDR 71,900 या IDR 69,500 बहुत सुविधाजनक नहीं होता। सौभाग्य से, मार्गेरिटा के पिज्जा की औसत कीमत केवल 70,000 इंडोनेशियाई रुपये है। नतीजतन, लुइगी अपनी गणना में उस सटीक कीमत का इस्तेमाल कर सकता था।

यदि वह अधिक मितव्ययी ग्राहकों के लिए पिज़्ज़ेरिया खोलना चाहता था, तो वह पहले क्वारटाइल के करीब के स्टेटिस्टिक्स पर ध्यान केंद्रित कर सकता था। यानी करीब 57,000 इंडोनेशियाई रुपये। चूंकि तीसरा क्वारटाइल बहुत अधिक प्रतिनिधि नहीं है, इसलिए अधिक मांग वाले ग्राहकों के लिए कीमत निर्धारित करने के लिए उस पर ध्यान केंद्रित करना असुविधाजनक है।