समतुल्य भिन्न गणक

गणक दिए गए अंशों, पूर्णांकों और मिश्रित संख्याओं के समतुल्य भिन्नों को ढूँढता है। आगत मान धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं। पूर्णांकों और मिश्रित संख्याओं के समतुल्य भिन्नों को खोजने के लिए, गणक पहले उन्हें भिन्नों में परिवर्तित करेगा। यदि आगत मान पहले से ही एक भिन्न है, तो इस गणक का उपयोग भिन्न-से-भिन्न परिवर्तक के रूप में किया जा सकता है।

इस्तेमाल केलिए निर्देश

गणक का उपयोग करने के लिए, दिए गए मान को दर्ज करें और "कैलकुलेट" दबाएं। सभी क्षेत्रों को खाली करने के लिए, "क्लियर" दबाएं।

आगत मूल्य सीमाएं

गणक निम्नलिखित संख्याओं को आगत के रूप में स्वीकार करता है:

1. उचित भिन्न। उदाहरण के लिए, \$\frac{1}{3}\$ या \$-\frac{16}{32}\$। ध्यान दें कि भिन्नो को सरलीकृत करने की आवश्यकता नहीं है।
2. अनुचित भिन्न। उदाहरण के लिए, \$-\frac{5}{2}\$ या \$\frac{16}{8}\$।
3. मिश्रित संख्याएँ। मिश्रित संख्या दर्ज करते समय, पूर्ण संख्या भाग को भिन्नात्मक भाग से एक स्थान के साथ अलग करें। उदाहरण के लिए, \$2\frac{2}{3}\$ या \$5\frac{9}{2}\$। ध्यान दें कि मिश्रित संख्या का भिन्नात्मक भाग उचित या अनुचित हो सकता है।
4. पूर्णांक, शून्य के अपवाद के साथ। उदाहरण के लिए, 92 या -1।

परिभाषाएं

समतुल्य भिन्न - समान मान का वर्णन करने वाले भिन्न हैं, लेकिन विभिन्न संख्याओं से मिलकर। उदाहरण के लिए, \$\frac{1}{2}\$ \$\frac{4}{8}\$ के बराबर है, भले ही उनमें अलग-अलग संख्याएँ हों।

समतुल्य भिन्न कैसे ज्ञात करें

समतुल्य भिन्न ज्ञात करने के लिए दिए गए भिन्न के अंश और हर को समान संख्या से गुणा या भाग दें। प्रक्रिया तभी की जानी चाहिए जब दोनों परिणामी संख्याएँ (अंश और हर) पूर्ण हों (दशमलव नहीं और भिन्न नहीं)।

उदाहरण के लिए, \$\frac{1}{2}\$ के समतुल्य भिन्नों को खोजने के लिए, आप अंश और हर को किसी भी संख्या से लगातार गुणा कर सकते हैं, जब तक कि दोनों परिणामी संख्याएँ (अंश और हर) पूर्ण हों।

आइए \$\frac{1}{2}\$ के समतुल्य भिन्नों को 4 से गुणा करके लिखें:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 4}{2 × 4}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{16}{32}\$ = \$\frac{64}{128}\$ …

चूँकि गुणन की प्रक्रिया असीमित रूप से जारी रह सकती है, प्रत्येक भिन्न में समतुल्य भिन्नों की अनंत संख्या होती है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है, कि चूँकि समतुल्य भिन्न की गणना दिए गए भिन्न के अंश और हर को समान संख्या से गुणा या भाग करके की जाती है, इसलिए सभी समतुल्य भिन्नों का सरलतम रूप समान होता है।

यह भी स्पष्ट है कि दो अलग भिन्न अपने सरलतम रूप में कभी भी तुल्य नहीं हो सकते।

जाँच करना कि क्या दो भिन्न समतुल्य हैं

यह जांचने के लिए कि क्या दो भिन्न समान हैं, उनके अन्योन्य उत्पादों की गणना करें। अंश समतुल्य हैं, यदि उनके अन्योन्य उत्पाद समान हैं।

उदाहरण 1

आइए देखें कि क्या \$\frac{1}{3}\$ और \$\frac{4}{11}\$ समान हैं। दो भिन्नों के अन्योन्य गुणनफल ज्ञात करने के लिए, पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें, और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के अंश से गुणा करें:

$$\frac{1}{3}\ and\ \frac{4}{11}$$

इन दो भिन्नो के अन्योन्य उत्पाद (1 × 11) = 11 और (3 × 4) = 12 हैं। 11 ≠ 12, इसलिए, \$\frac{1}{3}\$ ≠ \$\frac{4}{11}\$, और दिए गए भिन्न समतुल्य नहीं हैं।

उदाहरण 2

कौन सा भिन्न \$\frac{2}{3}\$: \$\frac{12}{18}\$ या \$\frac{12}{19}\$ के बराबर है?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें भिन्नों के दो जोड़े के अन्योन्य उत्पादों की जांच करने की आवश्यकता है:

$$\frac{2}{3}\ and\ \frac{12}{18}$$

$$\frac{2}{3}\ and\ \frac{12}{19}$$

\$\frac{2}{3}\$ और \$\frac{12}{18}\$ के अन्योन्य उत्पाद (2 × 18) = 36, और (3 × 12) = 36 हैं। अन्योन्य उत्पाद बराबर हैं, इसलिए, \$\frac{2}{3}\$ और \$\frac{12}{18}\$ समतुल्य भिन्न हैं।

\$\frac{2}{3}\$ और \$\frac{12}{19}\$ के अन्योन्य उत्पाद (2 × 19) = 38 और (3 × 12) = 36 हैं। 38 ≠ 36, इसलिए, \$\frac{2}{3}\$ और \$\frac{12}{19}\$ समतुल्य नहीं हैं।

गणना उदाहरण

वास्तविक जीवन में समतुल्य भिन्नों को खोजना बहुत उपयोगी होता है, जब हमें अलग-अलग भाजकों, या भिन्नों और मिश्रित संख्याओं या पूर्णांकों के साथ भिन्नों को जोड़ना, घटाना या तुलना करना होता है।

पिज्जा काटना

आइए पिज्जा कांटने का एक आसान उदाहरण प्रदर्शित करते हैं। कल्पना कीजिए कि आपने और आपके मित्र ने पिज़्ज़ा मंगवाया था, लेकिन वह बिना काटे प्राप्त हो गया। आप पिज्जा को आप दोनों के बीच समान रूप से बांटना चाहते हैं, लेकिन निश्चित रूप से इसे दो टुकड़ों में काटकर आधा पिज्जा खाना बहुत सुविधाजनक नहीं है। आप पिज्जा को कितने टुकड़ों में काट सकते हैं और आप में से प्रत्येक को कितने टुकड़े खाने चाहिए?

हल 1

यह स्पष्ट है कि आप में से प्रत्येक को अंततः आधा पिज्जा खाना चाहिए, इसलिए \$\frac{1}{2}\$। दिए गए प्रश्नों का उत्तर देने के लिए, हमें \$\frac{1}{2}\$ के बराबर कुछ भिन्न ज्ञात करनी चाहिए। आइए सबसे पहले \$\frac{1}{2}\$ के अंश और हर को बार-बार 2 से गुणा करके ऐसा करें। हमें यह मिलेगा:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{8}{16}\$ …

इसका मतलब है कि आप पिज़्ज़ा को 4 स्लाइस में काट सकते हैं, ऐसे में आप में से प्रत्येक 2 स्लाइस खा सकता है। या आप पिज़्ज़ा को 8 स्लाइस में छोटा काट सकते हैं, इस मामले में आप में से प्रत्येक 4 स्लाइस खा सकता है। या आप इसे 16 स्लाइस में काट सकते हैं, जिस स्थिति में आप में से प्रत्येक 8 स्लाइस खा सकते हैं। पिज़्ज़ा को 16 से अधिक टुकड़ों में काटना असुविधाजनक होगा, इसलिए हम वहीं रुकेंगे।

हल 2

ध्यान दें कि आप मूल भिन्न को हर बार भिन्न संख्या से गुणा करके दी गई समस्या को हल कर सकते हैं:

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 2}{(2 × 2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{1 × 2}{2 × 2}\$ = \$\frac{3}{6}\$ = \$\frac{1 × 3}{2 × 3}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{1 × 4}{2 × 4}\$ = \$\frac{5}{10}\$ = \$\frac{1 × 5}{2 × 5}\$ = \$\frac{6}{12}\$ = \$\frac{1 × 6}{2 × 6}\$ = \$\frac{7}{14}\$ = \$\frac{1 × 7}{2 × 7}\$ = \$\frac{8}{16}\$ = \$\frac{1 × 8}{2 × 8}\$ …

इस मामले में, प्राप्त भिन्नो में से कुछ समाधान 1 के भिन्नो के समान होंगे, लेकिन कुछ अलग होंगे। यहां, हमें \$\frac{2}{4}\$, \$\frac{4}{8}\$, और \$\frac{8}{16}\$ के समान विकल्प मिलते हैं, लेकिन हमें \$\frac{3}{6}\$, \$\frac{5}{10}\$, \$\frac{6}{12}\$ और \$\frac{7}{14}\$ के अतिरिक्त विकल्प भी मिलते हैं।

इसका मतलब है, कि आप पिज़्ज़ा को 6 टुकड़ों में भी काट सकते हैं, जबकि आप में से प्रत्येक के पास 3 टुकड़े हो सकते हैं; या इसे 10 टुकड़ों में काट लें, जबकि आप में से प्रत्येक के पास 5 हो सकते हैं; या इसे 12 टुकड़ों में काटें, जबकि आप में से प्रत्येक के पास 6 हो सकते हैं, आदि। फिर से, यह प्रक्रिया अनंत तक जारी रह सकती है, लेकिन हम केवल उन विकल्पों को सूचीबद्ध करते हैं जो पिज़्ज़ा काटने के लिए उचित प्रतीत होते हैं।

उत्तर

\$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{2}{4}\$ = \$\frac{3}{6}\$ = \$\frac{4}{8}\$ = \$\frac{5}{10}\$ = \$\frac{6}{12}\$ = \$\frac{7}{14}\$ = \$\frac{8}{16}\$ …

इन समकक्ष भिन्नो में भाजक कुल टुकड़ों की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि संबंधित अंश आप में से प्रत्येक के खाने वाले टुकड़ों की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं।