सैंपल साइज़ कैलकुलेटर

सैंपल साइज़ कैलकुलेटर दो भागों से बना है। पहला कदम सैंपल साइज़ की गणना करना है, और दूसरा चरण त्रुटि के मार्जिन की गणना करना है।

सैंपल साइज़ निर्धारित करने में पहला कदम ड्रॉप-डाउन सूची से आत्मविश्वास के स्तर का चयन करना है। आगे त्रुटि का सापेक्ष मार्जिन डालें। निरपेक्ष मान को बिंदु अनुमान से विभाजित करके, आप त्रुटि के मार्जिन को निरपेक्ष से सापेक्ष शब्दों में बदल सकते हैं।

यदि आप इसे जानते हैं तो जनसंख्या अनुपात दर्ज करें। यदि नहीं, तो इसे 50% पर छोड़ दें। यदि आप जनसंख्या का आकार जानते हैं, तो इसे अंतिम सेल में दर्ज करें; अन्यथा, इसे खाली छोड़ दें। अंत में, "गणना करें" बटन दबाएं।

त्रुटि का मार्जिन प्राप्त करने के लिए कैलकुलेटर के दूसरे घटक का उपयोग करें। पहले चरण के रूप में, ड्रॉप-डाउन मेनू से आत्मविश्वास का स्तर चुनें। दूसरे सेल में अध्ययन का सैंपल साइज़ दर्ज करें। बाद में, जनसंख्या अनुपात डालें। अंतिम सेल में जनसंख्या का आकार दर्ज करें। यदि आप जनसंख्या के आकार को नहीं जानते हैं, तो उस सेल को खाली छोड़ दें। अंत में, "गणना करें" पर क्लिक करें।

सैंपल

एक सैंपल आबादी का एक सबसेट या सबसेट है। शब्द "जनसंख्या" किसी विशेष अध्ययन में रुचि के सभी तत्वों को संदर्भित करता है। जनसंख्या की जांच करने का सबसे अच्छा तरीका है कि आप अपने चुने हुए अध्ययन की आबादी के हर पहलू का अध्ययन करें। हालांकि, विभिन्न कारकों के कारण, आबादी में हर एक वस्तु की जांच करना अक्सर अव्यावहारिक होता है। उदाहरण के लिए, यदि आप जंगल में कीड़ों का अध्ययन कर रहे हैं, तो जनसंख्या असीमित है। नतीजतन, आप पूरी आबादी का अध्ययन नहीं कर सकते। परीक्षण के दौरान, आपके अध्ययन के आइटम नष्ट हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, जब आप एक सीलबंद शीतल पेय की बोतल खोलते हैं और उसकी मात्रा की जांच करते हैं, तो आप उस शीतल पेय की बोतल को बाजार में नहीं भेज सकते।

पूरी आबादी की जांच करने के लिए आपको बहुत समय, धन और अन्य संसाधनों की आवश्यकता है। ज्यादातर मामलों में, आपको सीमित समय, धन और अन्य संसाधनों के साथ अपना शोध पूरा करना होगा। ज्यादातर मामलों में पूरी आबादी की जांच अव्यावहारिक है। समाधान एक सैंपल चुनना और शोध करना है।

मार्जिन ऑफ़ एरर

हम हमेशा जनसंख्या के सभी घटकों की जांच नहीं कर सकते। नतीजतन, सैंपल आंकड़े (नमूनों से गणना किए गए उपाय) अक्सर जनसंख्या मानकों (जनसंख्या से गणना किए गए उपायों) का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किए जाते हैं। नमूने से देखे गए या मापे गए वास्तविक डेटा का उपयोग सैंपल आँकड़े उत्पन्न करने के लिए किया जाता है। जब आप किसी जनसंख्या पैरामीटर के लिए एकल संख्या का अनुमान लगाते हैं, तो हम इसे बिंदु अनुमान कहते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आप एक निर्माण लाइन में शीतल पेय की बोतल की औसत मात्रा का अनुमान लगाना चाहते हैं, तो आप एक यादृच्छिक बैच का चयन कर सकते हैं और उस बैच की औसत मात्रा की गणना कर सकते हैं। मान लें कि बैच की औसत मात्रा $barx$ 250 मिली है। नतीजतन, आप गणना करते हैं कि उत्पादन लाइन पर प्रत्येक बोतल की औसत मात्रा \$(\hat{μ})\$ 250 मिली है।

व्यवहार में, वास्तविक और अनुमानित पैरामीटर समान नहीं होते हैं। अंतर इस तथ्य के कारण है कि पैरामीटर का अनुमान पूरी आबादी के बजाय एक नमूने का उपयोग करके लगाया जाता है।

त्रुटि के मार्जिन को बिंदु अनुमान और पैरामीटर के वास्तविक मान के बीच अधिकतम संभावित अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे आमतौर पर अनुमान की अधिकतम त्रुटि के रूप में जाना जाता है।

विश्वास अंतराल

विश्वास अंतराल संभावित अनुमानों की सीमा को दर्शाता है। अनुमानों की श्रेणी, जिसे कॉन्फिडेंस इंटरवल के रूप में भी जाना जाता है, इंगित करता है कि त्रुटि के एक निश्चित मार्जिन के भीतर पैरामीटर का अनुमान लगाया गया था। विश्वास अंतराल की निचली सीमा निर्धारित करने के लिए त्रुटि के मार्जिन को बिंदु अनुमान से घटाया जाता है। विश्वास अंतराल की ऊपरी सीमा निर्धारित करने के लिए त्रुटि के मार्जिन को बिंदु अनुमान में जोड़ा जाता है।

स्टेटिस्टिक्स में नमूने के बीच अंतर्संबंध, त्रुटि का मार्जिन, और विश्वास अंतराल

पूरी आबादी का अध्ययन करने के बजाय, हम जनसंख्या के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए एक नमूने का अध्ययन कर रहे हैं। परिणामस्वरूप, जनसंख्या के अनुमानित पैरामीटर और उसके वास्तविक पैरामीटर के बीच एक विसंगति हो सकती है। त्रुटि का मार्जिन बिंदु अनुमान और पैरामीटर के वास्तविक मान के बीच अधिकतम संभावित अंतर है। इसके अलावा, सैंपल साइज़ और त्रुटि का मार्जिन विपरीत रूप से संबंधित हैं। एक बड़ा सैंपल साइज़ त्रुटि के मार्जिन को कम करते हुए, जनसंख्या का अधिक सटीक प्रतिनिधित्व प्रदान करता है। इसी तरह, सैंपल साइज़ कम करने से त्रुटि का मार्जिन बढ़ जाता है।

जब आप त्रुटि के इस मार्जिन को बिंदु अनुमान पर लागू करते हैं, तो आपको विश्वास अंतराल मिलेगा।

सैंपल साइज़ की गणना करने का सूत्र

आपकी जानकारी के आधार पर सैंपल साइज़ की गणना के लिए विभिन्न सूत्र उपलब्ध हैं।

वांछित आत्मविश्वास का स्तर सटीकता की डिग्री निर्धारित करता है, जबकि त्रुटि के मार्जिन पर अधिकतम सीमा उस सटीकता की डिग्री निर्धारित करती है जिसे हम अपने सीमा अनुमान के साथ प्राप्त करना चाहते हैं।

हम वांछित विश्वास अंतराल प्राप्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम सैंपल साइज़ की गणना कर सकते हैं यदि हम नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन भी जानते हैं।

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

अंतिम परिणाम n को निकटतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए।

कोचरन फॉर्मूला आपको त्रुटि के मार्जिन के वांछित स्तर, आत्मविश्वास के वांछित स्तर और जनसंख्या में मौजूद विशेषता के अपेक्षित अनुपात के आधार पर न्यूनतम सैंपल साइज़ निर्धारित करने में सक्षम बनाता है। कोचरन सूत्र है,

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = Z मान आत्मविश्वास के वांछित स्तर के आधार पर z-टेबल से
• p = जनसंख्या में मौजूद विशेषता का अपेक्षित अनुपात
• E = त्रुटि का मार्जिन

उदाहरण 1

कल्पना कीजिए कि हम कनाडा में स्नातक पाठ्यक्रमों में नामांकित अंतर्राष्ट्रीय छात्रों पर शोध कर रहे हैं। प्रारंभ में, हमारे पास बहुत अधिक जानकारी नहीं है। इसलिए, हम मानते हैं कि अंतरराष्ट्रीय छात्र कनाडा में सभी स्नातक छात्रों का 60% बनाते हैं। नतीजतन, जनसंख्या में विशेषता का अनुमानित अनुपात 60% है। हम 95% विश्वास स्तर और त्रुटि के 4% मार्जिन की कामना करते हैं। अध्ययन के न्यूनतम सैंपल साइज़ में कितने छात्रों को शामिल किया जाना चाहिए?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{ α /2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576.24≈577$$

इसलिए, कम से कम 577 छात्रों को अध्ययन में शामिल किया जाना चाहिए ताकि इच्छा 95% आत्मविश्वास स्तर और त्रुटि का 4% मार्जिन प्राप्त हो सके।

उपरोक्त सूत्र का उपयोग तब किया जाता है जब जनसंख्या का आकार बड़ा या अनंत होता है। यदि जनसंख्या का आकार छोटा या परिमित है, तो हमें सैंपल साइज़ को समायोजित करना होगा। सैंपल साइज़ नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके समायोजित किया जाता है।

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = कोचरन सूत्र से परिकलित सैंपल साइज़
• N= जनसंख्या का आकार
• n = परिमित जनसंख्या के लिए समायोजित सैंपल साइज़

उदाहरण 2

मान लें कि हम उस कॉलेज में स्नातक पाठ्यक्रमों में नामांकित अंतरराष्ट्रीय छात्रों पर शोध कर रहे हैं जहां आप कनाडा में पढ़ रहे हैं। शुरू करने के लिए हमारे पास ज्यादा जानकारी नहीं है। परिणामस्वरूप, हम मानते हैं कि आपके कॉलेज के सभी स्नातक छात्रों में से 60% अंतरराष्ट्रीय छात्र हैं। नतीजतन, विशेषता का अनुमानित जनसंख्या अनुपात 60% है। आपके कॉलेज में कुल 12,000 छात्रों का नामांकन है। हम 95% विश्वास और 4% त्रुटि का मार्जिन चाहते हैं। अध्ययन के न्यूनतम सैंपल साइज़ में कितने छात्रों को शामिल किया जाना चाहिए?

इस मामले में, आपको पहले कोचरन सूत्र का उपयोग करके n₀ की गणना करनी चाहिए और फिर सैंपल साइज़ को समायोजित करना चाहिए क्योंकि जनसंख्या सीमित है।

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1.96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576.24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576.24}{1+\left(\frac{576.24-1}{12,000}\right)}=549.88\approx550$$

न्यूनतम सैंपल साइज़ कैलकुलेटर के साथ, आप उपरोक्त जटिल गणनाओं को एक सेकंड से भी कम समय में पूरा कर सकते हैं।

त्रुटि के मार्जिन की गणना करने का सूत्र

त्रुटि के मार्जिन के लिए सूत्र खोजने के लिए आप सैंपल साइज़ सूत्र को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।

आप जानते हैं कि न्यूनतम सैंपल साइज़ सूत्र है,

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

आइए E या त्रुटि के मार्जिन को उपरोक्त सूत्र का विषय बनाते हैं।

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

उदाहरण 3

कल्पना कीजिए कि हम कनाडा में स्नातक पाठ्यक्रमों में नामांकित अंतर्राष्ट्रीय छात्रों पर शोध कर रहे हैं। प्रारंभ में, हमारे पास बहुत अधिक जानकारी नहीं है। इसलिए, हम मानते हैं कि अंतरराष्ट्रीय छात्र कनाडा में सभी स्नातक छात्रों का 60% बनाते हैं। नतीजतन, जनसंख्या में विशेषता का अनुमानित अनुपात 60% है। मान लें कि हम 95% आत्मविश्वास के स्तर की इच्छा रखते हैं, और आप अपने शोध के लिए 577 छात्रों का चयन करते हैं। आपके अध्ययन में त्रुटि की गुंजाइश क्या है?

$$z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

यदि जनसंख्या सीमित है, तो आपको पहले नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके n₀ खोजना होगा।

$$n₀=\frac{n-nN}{nN}$$

फिर, त्रुटि के मार्जिन को खोजने के लिए निम्न सूत्र में उत्तर लागू करें:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

न्यूनतम सैंपल साइज़ कैलकुलेटर का दूसरा घटक आपको इन सभी चरणों को छोड़ने और एक सेकंड से भी कम समय में त्रुटि के मार्जिन की गणना करने में मदद करता है।

विश्वास अंतराल की गणना करने का सूत्र

विश्वास अंतराल यह निर्धारित करने के लिए सरल है कि क्या आप त्रुटि के मार्जिन को जानते हैं। नीचे दिखाया गया सूत्र विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

विश्वास अंतराल = बिंदु अनुमान ± त्रुटि का मार्जिन

विश्वास अंतराल की ऊपरी सीमा = बिंदु अनुमान + त्रुटि का मार्जिन

विश्वास अंतराल की निचली सीमा = बिंदु अनुमान - त्रुटि का मार्जिन

विश्वास अंतराल के लिए मिन μ है,

x̄ - E < μ < x̄ + E

x̄ - E निचली सीमा है, और x̄ + E ऊपरी सीमा है।

P के लिए विश्वास अंतराल है,

p - E < P < p + E

उदाहरण 4

आप कनाडा में पढ़ रहे अंतरराष्ट्रीय छात्रों की औसत कार्यक्रम लागत पर शोध कर रहे हैं। आपने अपने नमूने के लिए 1,000 छात्रों का चयन किया है, और अपने नमूने के आधार पर, आप अनुमान लगाते हैं कि कनाडा में पढ़ रहे अंतरराष्ट्रीय छात्रों की औसत कार्यक्रम लागत सीएडी 20,000 है। त्रुटि का मार्जिन CAD 5,000 है। कनाडा में पढ़ रहे अंतरराष्ट्रीय छात्रों की औसत कार्यक्रम लागत के लिए विश्वास अंतराल खोजें।

ऊपरी सीमा = x̄ + E = CAD 20,000 + CAD 5,000 = CAD 25,000

निचली सीमा = x̄ - E = CAD 20,000 - CAD 5,000 = CAD 15,00

इसलिए, विश्वास अंतराल है,

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15,000 < μ < CAD 25,000