Kalkulator Faktorisasi Prima

Kalkulator faktorisasi online ini akan menemukan semua faktor prima dari bilangan input. Kalkulator ini akan menunjukkan faktor prima dalam bentuk umum, serta dalam bentuk eksponensial dan format CSV. Selain itu, kalkulator faktorisasi ini juga dapat membuat pohon faktor prima dan menemukan semua faktor (bukan hanya prima) dari bilangan yang telah diberikan.

Petunjuk penggunaan

Dalam menggunakan kalkulator ini untuk menemukan faktor prima dari suatu bilangan, masukkan bilangan yang telah diberikan dan tekan "Hitung." Kalkulator ini akan mengembalikan faktor prima dari suatu bilangan dalam bentuk umum, dalam bentuk eksponensial, dan sebagai daftar dalam format CSV.

Anda juga memiliki opsi untuk membuat pohon faktorisasi dan kemungkinan untuk menemukan semua faktor dari bilangan yang telah diberikan. Kedua opsi ini dapat Anda pilih dengan mencentang kotak yang sesuai.

Untuk mengosongkan bidang input, tekan "Hapus".

Batasan pada nilai input

• Nilai input harus berupa bilangan bulat; bilangan desimal dan pecahan tidak diterima.
• Hanya bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 yang dapat digunakan sebagai input.
• Panjang dari bilangan tersebut tidak boleh melebihi 13 digit (tanpa titik koma untuk memisahkan ribuan), yaitu nilai bilangan input harus kurang dari 10.000.000.000.000 atau 10000000000000. Oleh karena itu, nilai input maksimum adalah 9.999.999.999.999 atau 9999999999999.

Bilangan prima dan bilangan komposit

Bilangan prima adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1, yang tidak dapat dibagi lagi menjadi bilangan bulat lainnya. Dengan kata lain, bilangan prima adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1 yang tidak dapat dibuat dengan mengalikan bilangan bulat lainnya. Bilangan prima terkecil adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … (Perhatikan bagaimana hanya terdapat satu bilangan prima yang genap – 2, sedagkan semua bilangan prima lainnya adalah ganjil).

Bilangan prima ke-n yang ada di dalam daftar di atas dapat dinotasikan sebagai Prima[n]. Dalam hal ini, Prima[1] = 2, Prima[2] = 3, Prima[3] = 5, dan seterusnya. Kalkulator online ini akan menunjukkan indeks n dari setiap bilangan prima yang teridentifikasi hingga n = 5000.

Bilangan komposit adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1 yang dapat dibuat dengan mengalikan bilangan bulat lainnya. Misalnya, 6 adalah bilangan komposit karena 6 = 3 × 2. 12 adalah bilangan komposit karena 12 = 6 × 2 = 3 × 2 × 2.

Faktorisasi bilangan

Bilangan yang Anda kalikan untuk mendapatkan bilangan bulat lainnya disebut sebagai faktor. Seperti yang telah ditunjukkan di atas, 3 dan 2 adalah faktor dari 6. Karena 6 juga dapat ditemukan dengan mengalikan 1 dan 6: 6 = 1 × 6, 1 dan 6 juga merupakan faktor dari 6. Terakhir, semua faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6.

Satu-satunya faktor bilangan prima adalah 1 dan bilangan itu sendiri. Misalnya, faktor dari 17 adalah 1 dan 17.

Faktorisasi prima adalah suatu proses untuk menemukan semua bilangan prima yang dapat dikalikan untuk menghasilkan bilangan tertentu. Perhatikan bahwa faktorisasi prima suatu bilangan adalah berbeda dengan mencari semua faktor dari bilangan tersebut.

Misalnya, semua faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12. Faktor-faktor ini akan ditulis sebagai sebuah daftar.

Sedangkan faktorisasi prima dari 12 akan terlihat seperti ini: 12 = 2 × 2 × 3. Pada faktorisasi prima, kita hanya akan mendapatkan hasilnya berupa bilangan prima.

Algoritma Faktorisasi Prima

Pembagian percobaan

Mari kita melihat metode faktorisasi prima yang paling intuitif, yang terkadang disebut sebagai metode pembagian percobaan, pada sebuah contoh dan identifikasi faktor prima dari 36. Karena kita mengetahui semua bilangan prima, kita dapat memeriksa apakah bilangan yang telah diberikan dapat dibagi oleh salah satunya. Cara termudahnya adalah dengan memulai dari bilangan prima yang terkecil, yaitu 2:

36 ÷ 2 = 18

Hasil dari pembagian ini adalah bilangan bulat. Oleh karena itu, 2 adalah salah satu faktor prima dari 36. Tetapi 18 belumlah prima, jadi kita akan melanjutkan dan memeriksa apakah 18 akan habis dibagi 2:

18 ÷ 2 = 9

9 juga adalah bilangan bulat. Jadi, 18 akan habis dibagi 2.

Mari kita mencoba lagi: 9 ÷ 2 = 4,5. Ini bukanlah bilangan bulat. Jadi, 9 tidak akan habis dibagi 2.

Mari kita mencoba bilangan prima berikutnya, 3. 9 ÷ 3 = 3. Ini adalah bilangan bulat, jadi berhasil! Apalagi 3 sudah prima, artinya kita sudah mencapai langkah terakhir dari proses tersebut! Sekarang kita hanya perlu menuliskan jawaban akhirnya:

36 = 2 × 2 × 3 × 3

Ini adalah cara yang umum untuk menuliskan faktorisasi prima dari suatu bilangan. Ini juga dapat ditulis dengan menggunakan eksponen seperti ini:

36 = 2² × 3²

Pohon Faktor Prima

Proses faktorisasi prima juga dapat diilustrasikan sebagai sebuah "pohon". Pohon faktor prima untuk 36 akan terlihat seperti ini:

Pembagian percobaan (faktor apa saja)

Terkadang, proses pemfaktoran prima akan menjadi lebih mudah jika kita terlebih dahulu menyatakan bilangan tersebut sebagai perkalian dari dua bilangan lainnya (bukan prima) dan kemudian mengidentifikasi faktor primanya. Sebagai contoh, mari kita mencari faktor prima dari 48. Lebih mudah untuk memulainya dengan 48 = 6 × 8 karena mungkin Anda sudah hafal. Kemudian kita harus mencari faktor prima dari 6: 6 = 2 × 3, dan 8: 8 = 2 × 2 × 2. Yang terakhir, 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹.

Teorema Dasar Aritmatika

Bilangan bulat positif apa pun yang lebih besar dari 1 dapat dibuat dari sekumpulan faktor prima yang unik. Teorema ini terkadang disebut sebagai Teorema Faktorisasi Prima.

Aplikasi di kehidupan nyata

Bilangan prima digunakan di dalam kriptografi dan keamanan dunia maya untuk mengenkripsi dan mendekripsi pesan. Kita sudah tahu bahwa bilangan apa pun dapat direpresentasikan sebagai produk dari himpunan bilangan prima dan himpunan ini adalah unik. Kualitas bilangan prima inilah yang akan membuatnya menjadi sangat nyaman untuk enkripsi.

Bahkan yang lebih nyaman lagi adalah bahwa menemukan faktor prima dari bilangan yang sangat besar akan tetap merupakan tugas yang sangat memakan waktu, bahkan untuk komputer modern sekalipun. Itulah juga mengapa kalkulator pada halaman ini tidak dapat bekerja dengan bilangan yang sangat besar.

Prinsip inti di balik penggunaan bilangan prima untuk enkripsi adalah bahwa ini relatif mudah untuk mengambil dua bilangan prima yang besar dan mengalikannya untuk membuat bilangan komposit yang jauh lebih besar. Namun, sangat sulit untuk menguraikan kembali bilangan akhir itu menjadi bilangan prima asli.

Bayangkan Anda sedang mengambil dua bilangan prima 10 digit dan mengalikannya untuk mendapatkan sebuah bilangan dengan lebih banyak digit. Sekarang bayangkan proses faktorisasi prima dari bilangan tersebut dengan pembagian percobaan…

Ini adalah sebuah proses yang sangat panjang sehingga tidak ada komputer yang saat ini dapat menemukan dua bilangan prima awal dalam soal tertentu dalam waktu yang masuk akal. Tetapi situasi ini dapat berubah di masa depan dengan perkembangan dari komputer kuantum.