Kalkulator Jarak 2D

Kalkulator ini akan menemukan jarak antara dua titik pada sebuah bidang jika koordinat dari titik-titik tersebut sudah diketahui. Kalkulator ini beroperasi dalam ruang 2 dimensi.

Karena sebuah garis lurus mewakili jarak terpendek antara 2 titik, kalkulator ini dapat digunakan sebagai kalkulator panjang garis.

Petunjuk penggunaan

Kalkulator jarak 2D ini akan menemukan jarak antara titik 1 dengan koordinat (X₁, Y₁) dengan titik 2 dengan koordinat (X₂, Y₂).

Untuk mengetahui jarak antara kedua titik tersebut, masukkanlah koordinatnya ke bidang yang sesuai. Koordinat input harus dimasukkan sebagai berikut:

• Sebuah titik koma harus memisahkan dua koordinat dari setiap titik; misalnya, masukkan “4,5” ke dalam kolom (X₁, Y₁) untuk mendapatkan titik 1 dengan koordinat x 4 dan koordinat y 5. Jika salah satu dari koordinat tersebut dinyatakan dalam desimal, gunakanlah titik desimal untuk memisahkan bagian bilangan bulat dari bagian desimal; misalnya, masukkan "4,5 , 7" untuk memiliki titik dengan koordinat x 4,5 dan koordinat y 7.
• Anda hanya dapat menggunakan bilangan bulat dan desimal sebagai koordinat titik. Bilangan pecahan tidak akan diterima.
• Spasi antar koordinat tidak diperlukan, tetapi Anda dapat menggunakannya untuk kenyamanan Anda

Setelah memasukkan koordinat, tekanlah "Hitung." Kalkulator ini akan memberikan jawaban akhirnya dan algoritme solusi yang terperinci.

Untuk mengosongkan semua bidang, tekan "Hapus".

Rumus jarak

Pada bidang dua dimensi, jarak d antara titik 1 dengan koordinat (X₁, Y₁) dan titik 2 dengan koordinat (X₂, Y₂) dapat dicari dengan bantuan dari rumus berikut:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Atau, dengan kata lain: jarak antara 2 titik di dalam ruang 2 dimensi dapat ditemukan sebagai akar kuadrat dari jumlah selisih kuadrat koordinat yang bersesuaian. Rumus ini dikenal dengan rumus jarak Euclidean. Oleh karena itu, kalkulator ini juga dapat disebut sebagai kalkulator jarak Euclidean.

Penurunan rumus jarak Euclidean

Untuk menurunkan rumusnya, mari kita melihat dua titik yang telah diberikan pada bidang koordinat (X, Y):

Untuk mencari jarak antara titik 1 dan titik 2, mari kita menggambar sebuah garis vertikal ke bawah dari titik 2, dan sebuah garis horizontal ke kanan dari titik 1. Dua garis yang ditarik dan jarak yang diperlukan akan membentuk sebuah segitiga siku-siku. Kaki vertikal dari segitiga ini akan dibentuk oleh jarak vertikal antara titik 1 dan titik 2: Y₂ – Y₁. Kaki horizontal segitiga akan dibentuk oleh jarak horizontal antara dua titik: X₂ – X₁. Sisi miring segitiga ini mewakili jarak yang diperlukan antara titik-titik tersebut. Ketika panjang kaki segitiga siku-siku sudah diketahui, panjang sisi miring segitiga tersebut dapat ditemukan dengan bantuan teorema Pythagoras:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Contoh perhitungan

Contoh 1

Mari kita menemukan jarak antara titik 1 dengan (X₁, Y₁) = (3, 1) dan titik 2 dengan (X₂, Y₂) = (5, 7). Dengan memasukkan nilai X₁, Y₁, X₂, Y₂ ke dalam rumus jarak Euclidean, kita akan mendapatkan:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

Perhatikan bahwa dengan mengubah urutan titik-titik tersebut tidak akan mengubah hasil akhirnya karena selisih antara koordinat-koordinatnya dikuadratkan. Mari kita mengulangi perhitungan di atas, dengan asumsi bahwa (X₁, Y₁) = (5, 7), dan (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

Contoh 2

Mari kita melihat sebuah contoh dengan koordinat negatif dan mencari jarak antara titik 1 dengan (X₁, Y₁) = (-4, 2) dan titik 2 dengan (X₂, Y₂) = (6, -6). Dengan memasukkan nilai X₁, Y₁, X₂, Y₂ ke dalam rumus jarak Euclidean, kita akan mendapatkan:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Contoh di kehidupan nyata

Seperti yang telah ditunjukkan di atas, rumus jarak Euclidean adalah didasarkan pada teorema Pythagoras. Namun, ini menyesuaikan teorema tersebut dengan situasi di mana hanya koordinat titik yang diketahui (bukan panjang sisi segitiga yang digunakan oleh teorema Pythagoras). Rumus ini berguna ketika jarak harus dihitung dari koordinat pada peta atau grafik. Ini juga digunakan untuk menghitung besaran bilangan kompleks dan vektor.

Contoh 3

Bayangkan sebuah tangga bersandar di dinding. Pada situasi ini, lantai akan mewakili sumbu x bidang 2D, dan dinding akan mewakili sumbu y, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Jika tangga menyentuh dinding di titik (0, 2), dan menyentuh lantai di titik (3, 0), tentukanlah panjang dari tangga tersebut.

Solusi

Untuk mencari panjang tangga pada bidang 2 dimensi yang dibentuk oleh dinding dan lantai, pertama-tama mari kita akan menentukan koordinat titik ujung tangga: X₁, Y₁, X₂, Y₂. Sebut saja titik di mana tangga menyentuh dinding - titik 1 (X₁, Y₁), dan titik di mana tangga menyentuh lantai - titik 2 (X₂, Y₂). Diketahui bahwa tangga menyentuh dinding pada titik dengan koordinat (0, 2). Oleh karena itu, (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

Perhatikan bagaimana X₁ = 0, yang diilustrasikan dengan jelas oleh gambar di atas, di mana titik (0, 0) adalah sesuai dengan titik fisik pertemuan antara dinding dengan lantai, yang membuat nilai negatif X dan Y menjadi tidaklah mungkin.

Selanjutnya diketahui bahwa tangga menyentuh lantai pada titik dengan koordinat (3, 0). Oleh karena itu, (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

Juga, Y₂ = 0 karena koordinat-koordinat ini sesuai dengan titik langsung di lantai. Sekarang mari kita menggunakan rumus jarak untuk menghitung panjang tangga:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Jawaban

Panjang tangga tersebut adalah 3,6.

Jarak di dalam ruang 3D

Jarak Euclidean adalah apa yang kebanyakan orang sebut sebagai "jarak". Ketika kita mengatakan sebuah objek berjarak 5 meter dari kita, itu adalah jarak Euclidean yang kita pikirkan. Rumus jarak yang sudah dijelaskan di atas dapat dengan mudah diekstrapolasi menjadi 3 (atau bahkan lebih!) dimensi.

Di dalam ruang 3 dimensi, jarak antara titik 1 dengan koordinat (X₁, Y₁, Z₁) dan titik 2 dengan koordinat (X₂, Y₂, Z₂) dapat dihitung sebagai akar kuadrat dari jumlah selisih kuadrat antar koordinat:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$