Kalkulator Kemiringan

Kalkulator kemiringan

Kalkulator kemiringan adalah sebuah alat online langsung yang memungkinkan Anda menemukan kemiringan garis lurus. Dalam matematika, kemiringan garis didefinisikan sebagai perubahan koordinat vertikal (koordinat y) relatif terhadap perubahan koordinat horizontal (koordinat x).

Notasi yang digunakan

Kemiringan dilambangkan dengan huruf m. Plot di atas secara grafis menunjukkan semua notasi lain yang digunakan dalam kalkulator. Pencari kemiringan dapat melakukan perhitungan dalam dua skenario yang berbeda:

1. Ketika koordinat dua titik pada garis diketahui. Pada grafik, kedua titik tersebut memiliki koordinat (x₁,y₁) dan (x₂,y₂). Dalam hal ini, kalkulator akan menemukan kemiringan garis, m.

2. Jika kita mengetahui koordinat satu titik (x₁,y₁), jarak d dan kemiringan suatu garis, kalkulator akan mencari koordinat dari titik kedua pada garis, (x₂,y₂).

Dalam kedua skenario, kalkulator ini juga akan mengembalikan karakteristik garis yang hilang lainnya: perubahan horizontal ∆x, perubahan vertikal ∆y, sudut kemiringan $\theta$, panjang garis, atau jarak, d .

Petunjuk penggunaan

Pertama, identifikasi nilai-nilai yang diketahui dan pilih kalkulator yang sesuai. Jika koordinat kedua titik sudah diketahui, pilih “Jika 2 Titik diketahui.”

Jika Anda hanya memiliki koordinat dari salah satu titik, untuk melakukan perhitungan, Anda perlu mengetahui jarak, d, dan kemiringan garis, m. Dalam hal ini, pilih “Jika 1 Titik dan Kemiringan diketahui.”

Jika 2 Titik Diketahui

Masukkan koordinat titik yang diketahui di kolom yang sesuai, lalu tekan “Hitung.” Kalkulator ini akan mengembalikan informasi berikut ini:

• kemiringan m,
• sudut kemiringan θ,
• panjang garis d,
• perubahan horizontal ∆x,
• perubahan vertikal ∆y.

Kalkulator ini juga akan mendemonstrasikan rumus yang digunakan untuk menemukan kemiringan dan semua nilai karakteristik garis lainnya. Kalkulator ini akan menampilkan persamaan garis yang sesuai, dan secara skematis akan memplot garis untuk representasi visual.

Untuk menghapus semua kolom, tekan “Hapus.”

Jika 1 Titik dan Kemiringan Diketahui

Masukkan koordinat titik, jarak, dan kemiringan yang diketahui ke kolom yang sesuai. Perhatikan bahwa alih-alih kemiringan, Anda dapat memasukkan nilai “sudut kemiringan (theta atau θ).” Nilai θ harus dimasukkan dalam bentuk derajat. Hanya satu dari nilai ini yang harus dimasukkan (baik m atau θ). Misalkan m dan θ dimasukkan. Dalam hal ini, kalkulator akan mengabaikan nilai θ, dan hanya menggunakan kemiringan m untuk perhitungan.

Tekan “Hitung.” Kalkulator akan mengembalikan informasi berikut ini: koordinat titik kedua (x₂,y₂), perubahan horizontal ∆x, perubahan vertikal ∆y, dan panjang garis d. Jika kemiringan m digunakan untuk perhitungan, kalkulator ini juga akan mengembalikan nilai θ. Jika Anda menggunakan sudut kemiringan θ untuk perhitungan, kalkulator akan mengembalikan nilai m di dalam jawaban. Juga, kalkulator ini akan menampilkan persamaan garis yang sesuai, dan secara skematis akan memplot garis untuk representasi visual.

Untuk menghapus semua bidang, tekan “Hapus.”

Rumus kemiringan

Seperti yang telah disebutkan di atas, kemiringan garis didefinisikan sebagai perubahan koordinat vertikal (y-coordinate) dari sebuah garis relatif terhadap perubahan koordinat horizontal (x-coordinate):

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

Persamaan di atas disebut rumus kemiringan. Kita dapat menggunakannya untuk mencari kemiringan garis tertentu jika koordinat dua titik pada garis telah diketahui. Kemiringan biasanya dilambangkan sebagai m. Ini digunakan untuk menggambarkan arah garis, serta kecuramannya:

• Jika garis naik dari kiri ke kanan, maka y₂>y₁ saat x₂>x₁. Kemiringannya akan selalu positif, m>0. Dalam hal ini, kami mengatakan bahwa garis menaik.

• Jika garis turun dari kiri ke kanan, maka y₂<y₁ saat x₂>x₁. Kemiringannya akan negatif, m<0. Dalam hal ini, kami mengatakan bahwa garis menurun.

• Jika garisnya horizontal, maka y₂=y₁ dan y₂-y₁=0. Kemudian kemiringan juga akan sama dengan nol: m=0.

• Jika garisnya vertikal, maka x₂=x₁ dan x₂-x₁=0. Rumus kemiringan akan memiliki penyebut nol, dan kemiringannya tidak terdefinisi.

Persamaan garis

Kita dapat menulis persamaan linier apa pun dalam bentuk berikut ini:

$$y=mx+b$$

Bentuk persamaan linier ini disebut bentuk perpotongan kemiringan. Plot persamaan ini akan menjadi sebuah garis lurus, di mana m adalah kemiringan garis. Dan B adalah koordinat di mana grafik akan memotong sumbu y. B terkadang juga disebut $y-intercept$ dari baris, karena y=b ketika x=0.

Ketika koordinat satu titik pada garis dan kemiringan telah diketahui, kita dapat menulis persamaan garis dalam bentuk yang disebut kemiringan titik:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Bentuk persamaan linier ini akan bermanfaat untuk menemukan $y-intercept$ dari sebuah garis.

Contoh perhitungan

Mari kita asumsikan bahwa kita telah mengetahui koordinat dua titik pada garis.

Diberikan:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Mari kita terlebih dahulu mencari kemiringan garis ini:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Sekarang, mari kita mencari nilai karakteristik lain dari garis tersebut. Kita tahu bahwa m=tanθ. Oleh karena itu, kita dapat menemukan sudut kemiringan θ sebagai berikut:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= arctan\frac{∆x}{∆y} = 71,565051177078°$$

Selanjutnya,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Kita dapat mencari jarak d menggunakan teorema Pythagoras. Ini menyatakan bahwa kuadrat dari panjang sisi miring akan sama dengan jumlah kuadrat dari panjang kaki segitiga siku-siku.

Dengan menerapkan teorema ini ke segitiga kita, kita akan mendapatkan:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

Karena itu,

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Untuk menemukan $y-intercept$ garis, mari kita tulis persamaan garis dalam bentuk kemiringan titik, dengan mengganti nilai-nilai yang kami diberikan dari m, x₁, dan y₁:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Oleh karena itu, y=-2 adalah $y-intercept$ dari garis, atau, dengan kata lain, ketika x=0, y=-2.

Jika y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0,666666666666667$$

Sketsa menunjukkan garis yang sesuai. Dalam kasus kita, kemiringannya adalah positif, m>0, dan kita dapat melihat bahwa garisnya menaik – naik dari kiri ke kanan. Kita juga dapat melihat bahwa garisnya agak curam karena sudut kemiringan θ ≈ 72°.