Kalkulator Modulo

Operasi Modulo adalah suatu metode untuk mencari sisa operasi pembagian. Spesifikasi modulo adalah mengembalikan sisa pembagian sebagai bilangan bulat.

Pertimbangkan sedang memiliki tiga orang anak. Anda membeli sekotak permen yang berisikan 20 permen. Anda ingin membagi semua permen secara merata dan adil untuk semua anak-anak Anda. Dan, memakan permen yang ditinggalkan tanpa perlu memotong atau memecahkannya. Anak-anak Anda masih sekolah. Jadi, Anda dapat menentukan jumlah permen yang tersisa setelah melakukan pembagian terlebih dahulu dan memakan sejumlah permen yang tersisa tersebut.

Ini adalah kasus ketika Anda dapat menggunakan operator modulo. Ini juga dapat direpresentasikan sebagai tanda % atau mod. Untuk operasi dengan angka kecil, Anda dapat melakukan perhitungan secara manual. Jika Anda melakukan perhitungan dengan jumlah besar, Anda akan menjadi lebih nyaman jika menggunakan kalkulator modulo.

Persamaan tersebut dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Dividen = (Hasil Bagi × Pembagi) + Sisa

Dalam kasus kita:

• dividennya adalah 20 (jumlah total permen);
• pembaginya adalah 3 (jumlah anak);
• hasil baginya atau quotient adalah 6 (jumlah permen untuk setiap anak);
• sisanya adalah 2 (jumlah permen yang dapat Anda ambil sendiri).

Jika Anda menggunakan operasi modulo, Anda dapat menuliskannya dalam bentuk berikut:

x % y = r

atau

x mod y = r

Dimana x adalah dividen, y adalah pembagi, dan r adalah sisa.

Dalam kasus kita,

20 % 3 = 2

Perhitungan Tanpa Kalkulator Modulus

Mari kita mengambil kasus tertentu sebagai contoh.

Contoh

Wayan tinggal di Bali dan sedang membangun sebuah wisma kecil dengan enam unit hunian. Dia akan memasang ubin di kamar mandi. Tetangganya, Gede, yang sudah selesai membangun hotelnya, menawarkan potongan harga yang cukup besar kepada Wayan untuk membeli ubin-ubinnya yang tersisa.

Tetangga itu menghitung 15 kotak di gudangnya, masing-masing berisikan 4 ubin (60 × 60 cm) dan dua ubin secara terpisah. Jadi, totalnya adalah 62 ubin. Dan, Gede ingin menjual semua ubinnya sekaligus.

Sekarang Wayan perlu mencari tahu berapa banyak kamar mandi yang bisa dia pasang dengan ubin ini. Dan berapa banyak ubin yang mungkin tidak akan digunakan?

Bagaimana cara menemukan modulus secara manual tanpa menggunakan kalkulator operator modulus?

Wayan mengukur ukuran kamar mandi standar di wismanya dan menyadari bahwa dia membutuhkan sekitar 14 ubin per kamar.

Mari kita lakukan perhitungan manual!

1. Tentukan angka awal atau dividen. Dalam kasus kita, itu adalah 62, atau jumlah ubin yang ditawarkan oleh tetangga.
2. Tentukan pembaginya. Ini adalah 14, jumlah rata-rata ubin untuk kamar mandi standar.
3. Bagi dividen dengan pembagi dan bulatkan hasilnya menjadi bilangan bulat. 62 / 14 = 4,428571428571429 atau 4. Jadi, Wayan dapat menggunakan ubin-ubin tersebut untuk empat kamar mandi.
4. Kalikan hasil pembagian yang dibulatkan dengan pembagi. Dan itu adalah 4 × 14 = 56. Ini akan menjadi jumlah ubin untuk empat kamar mandi.
5. Kurangi hasil perkalian ini dengan hasil awal. Yaitu 62 - 56 = 6. Ini akan menyisakan enam ubin untuk Wayan.

Dengan cara yang disederhanakan dan dipersingkat, kita dapat menulis operasi ini sebagai:

62 % 14 = 6

atau

62 mod 14 = 6

Wayan telah memutuskan bahwa ini adalah pilihan yang baik karena dia harus mengambil cadangan ubin sekitar 10% untuk pengerjaan ubin jika terjadi pemangkasan atau kesalahpahaman. Dan dia akan membeli ubin-ubin untuk dua kamar mandi lainnya di toko bangunan lokal.

Kalkulator mod dapat memberikan hasil ini hanya dalam hitungan detik.

Demonstrasi Jam dengan Prinsip Modulo

Jenis matematika yang disebut dengan "aritmatika modular" berkaitan dengan struktur siklik. Cara termudah untuk mewakili ini adalah dial dengan siklus 12. Untuk ahli matematika, dial memiliki mod 12.

Jika Anda ingin melihat apakah Anda dapat membagi 251 jam dengan hari tanpa sisa, Anda dapat menerapkan operasi

251 mod 24

Hasilnya adalah 11, jadi jawabannya adalah tidak! Kita hanya bisa menjawab "ya" jika hasilnya adalah 0.

Contoh

Daniel ingin naik bus dari Atlanta ke Miami. Dia berangkat pukul 1 siang, dan perjalanannya memakan waktu 15 jam. Pukul berapakah dia akan tiba? Ini akan menjadi

1 + 15 mod 12

yaitu 4. Dalam kasusnya, itu akan menjadi jam 4 pagi.

Menggunakan Modulo

Menentukan Bilangan Genap dan Ganjil

Salah satu kegunaan paling dasar dari operator modulus adalah untuk menentukan apakah suatu bilangan adalah genap atau ganjil. Hal ini memungkinkan karena x % 2 akan selalu menghasilkan angka 0 atau 1. Angka genap selalu menghasilkan 0 karena dibagi rata dengan 2, sedangkan angka ganjil akan selalu menghasilkan sisa 1.

Kasus paling umum penggunaan modulo pada pemrograman adalah ketika Anda mencetak sebuah tabel di aplikasi Anda dan ingin mengganti warna pada baris-barisnya. Anda mungkin ingin mewarnainya biru muda dan abu-abu muda, jadi periksalah modulo untuk melihat apakah Anda berada di baris genap atau ganjil.

Konversi satuan

Konversi satuan adalah contoh tipikal penggunaan praktis dari operasi modulo. Biasanya akan digunakan ketika kita ingin mengonversi satuan yang lebih kecil, seperti menit, inci, atau sentimeter, ke satuan yang lebih besar, seperti jam, mil, atau kilometer. Bilangan desimal atau pecahan tidak akan selalu membantu dalam situasi seperti ini.

Misalnya, jika kita ingin mengetahui jumlah jam dalam 373 menit, hasil yang dinyatakan sebagai 6 jam dan 13 menit mungkin akan lebih berharga daripada 6,2166666666666666667 jam.

Pembagian standar (dengan pembulatan ke bilangan bulat terdekat) akan menentukan jumlah jam, dan operasi modulo digunakan untuk menghitung menit-menit yang tersisa. Baik berurusan dengan waktu, jarak, tekanan, energi, atau penyimpanan data, Anda dapat menggunakan pendekatan umum ini untuk mengonversi satuan.

Menentukan Tahun Kabisat

Contoh lain dari penggunaan operator modulo adalah untuk melihat apakah suatu tahun adalah tahun kabisat.

Tahun kabisat adalah tahun kalender yang berisikan satu hari tambahan dalam kalender matahari. Hari tambahan pada tahun kabisat tersebut adalah 29 Februari.

Pada 1 Januari, 45 SM, seorang diktator Romawi bernama Gaius Julius Caesar memperkenalkan kalender yang dikembangkan di Roma oleh para astronom Aleksandria. Kalender tersebut didasarkan pada perhitungan bahwa satu tahun astronomi kira-kira terdiri dari 365,25 hari (365 hari dan 6 jam). Kalender ini disebut sebagai kalender Julian.

Untuk menyamakan perubahan enam jam tersebut, Caesar memperkenalkan tahun kabisat. Selama tiga tahun berturut-turut, terdapat 365 hari dalam setahun. Dan setiap tahun, kelipatan empat, satu hari ekstra ditambahkan di bulan Februari.

Namun, seiring berjalannya waktu, ternyata aturan ini saja tidaklah cukup.

Rata-rata tahun tropis (waktu antara dua ekuinoks musim semi) lebih akurat sekitar 365 hari dan 5 jam dan 49 menit. Perbedaan antara rata-rata tahun tropis dan tahun kalender Julian (365 hari dan 6 jam) adalah sekitar 11 menit. Jadi, dalam waktu sekitar 128 tahun, 11 menit tersebut bisa bertambah menjadi satu hari ekstra.

Untuk mengkompensasi akumulasi kesalahan dan untuk menghindari perubahan serupa di masa depan, Paus Gregorius XIII mereformasi kalender tersebut pada tahun 1582. Dia menambahkan aturan-aturan tambahan untuk tahun kabisat. Tahun kabisat masih merupakan kelipatan empat, tetapi pengecualian dibuat untuk tahun-tahun yang merupakan kelipatan 100. Tahun-tahun tersebut adalah tahun kabisat hanya jika tahun tersebut juga akan habis ketika dibagi 400.

Aturan untuk menentukan tahun kabisat menjadi sebagai berikut:

• Tahun yang bilangannya merupakan kelipatan 400 adalah tahun kabisat.
• Tahun-tahun lain yang jumlahnya kelipatan 100 bukan tahun kabisat (misalnya tahun 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300);
• Tahun-tahun lainnya, yang merupakan kelipatan 4, adalah tahun kabisat. semua Tahun lainnya bukanlah kabisat.

Jadi, tahun 1700, 1800, dan 1900 bukanlah tahun kabisat, karena merupakan kelipatan 100 dan bukan kelipatan 400. Tahun 1600 dan 2000 adalah tahun kabisat, karena merupakan kelipatan 400.

Mari kita kembali ke masalah kita.

Kita tahu bahwa:

• Jika angka mod tahun 4 = 0, dan angka mod tahun 100 ≠ 0 maka ini adalah tahun kabisat.
• Jika mod angka tahun 400 = 0, maka ini adalah tahun kabisat
• Dalam kasus lain, ini bukanlah tahun kabisat.

Dengan menggunakan skrip Python sederhana, Anda dapat mengetahui apakah suatu tahun adalah tahun kabisat atau bukan. Ini akan terlihat seperti ini:

year = int(input('Enter year: '))

jika (year%4 == 0 and year%100 != 0) atau (year%400 == 0) :

	print(year, "is a leap year.")

juga:

	print(year, "is not a leap year.")

Penerapan populer dari operator modulo di dalam pemrograman meliputi:

• menentukan apakah sesuatu itu genap atau ganjil;
• melakukan operasi tertentu pada setiap item ke-N pada tabel;
• membatasi angka ke kisaran;
• memutarkan melalui opsi terbatas (circular array);
• membalikkan angka;
• mengubah data linier menjadi matriks;
• menentukan apakah array adalah versi yang diputar satu sama lain;
• paginasi.

Pembangkit angka acak (random number generator)

Modulo matching atau pencocokan modulo sering digunakan di dalam perangkat keras komputer dan peralatan telekomunikasi untuk membuat angka kontrol dan mendapatkan angka acak dalam rentang yang terbatas, seperti pembangkit angka acak kongruen. Derrick Henry Lemer telah mengusulkan metode kongruen linier pada tahun 1949.

Metode kongruen linier bekerja sesuai dengan rumus:

$$X_{n+1} = (a × X_n + c)\mod m$$

Di mana:

• m adalah modulo,
• a adalah pengali,
• c adalah increment, dan
• X₀ adalah nilai awal.

Misalnya, untuk m = 11, X₀ = 9, a = 9, c = 9, kita akan mendapatkan deretan bilangan acak berikut:

9, 2, 5, 10, 0, 9, 2, 5, 10, 0, 9

Kriptografi

Kriptografer menyukai modulo. Karena ketika digunakan dengan angka-angka yang sangat besar, Anda dapat membuat dengan modulo sesuatu yang dikenal sebagai "fungsi satu arah". Fungsi khusus ini akan memudahkan Anda untuk menghitung sesuatu dalam satu arah tetapi bukan arah yang berlawanan.

Jika 9 adalah hasil kuadrat, Anda dapat dengan cepat menentukan bahwa inputnya adalah 3. Anda dapat membayangkan seluruh proses di depan Anda dari awal hingga akhir. Jika saya memberi tahu Anda bahwa 9 adalah hasil dari mod 29, ini akan lebih sulit untuk mengetahui apa yang ada di input.

Kriptografer menyukai ide ini karena mereka dapat menggunakan pembagian dengan sisa untuk menghasilkan bilangan prima raksasa untuk membuat kunci kriptografi.

Kesimpulan

Baik ketika Anda sedang mencoba mendistribusikan suatu objek secara merata di dalam kotak penyimpanan, mengetahui apakah suatu bilangan akan habis dibagi dengan bilangan lainnya, atau sekadar mencoba untuk menghitung waktu, modulo akan selalu ada. Di semua kasus ini, remainder atau sisa adalah sama pentingnya dengan hasil bagi dalam operasi pembagian.

Terkadang masalah yang kita hadapi sangatlah mudah dan intuitif. Namun, akan selalu lebih baik jika menggunakan kalkulator modulus online ini untuk menemukan solusi-solusi saat keadaan rumit.