Kalkulator Permutasi

Kalkulator permutasi menghitung jumlah cara Anda bisa menyusun n objek berbeda, dengan mengambil sampel dari r elemen sekaligus. Permutasi memberitahu kita jumlah kemungkinan penyusunan objek dalam himpunan di mana urutan penyusunannya penting. Banyaknya objek yang akan disusun dilambangkan dengan n, sedangkan jumlah elemen dalam setiap himpunan dilambangkan dengan r.

Misalnya, jika kita ingin menyusun huruf XYZ dalam himpunan yang masing-masing terdiri dari dua huruf, maka kita akan mendapatkan XY, XZ, YZ, YX, ZX, dan ZY:6 cara.

Untuk menggunakan kalkulator ini, masukkan n, jumlah total objek yang akan disusun dalam suatu urutan, dan masukkan r, jumlah elemen dalam setiap himpunan, lalu klik "Hitung". Dengan tombol "Hapus", Anda juga bisa menghapus kalkulatornya dan memasukkan sekumpulan angka yang berbeda.

Permutasi

Permutasi suatu himpunan adalah susunan anggota-anggotanya secara berurutan atau dalam urutan tertentu.Jika suatu himpunan sudah berurutan, maka himpunan tersebut merupakan permutasi dari elemen-elemennya. Dalam permutasi, urutan elemen penting. Misalnya, permutasi AB dan BA adalah dua permutasi yang berbeda. Banyaknya permutasi dari n objek dalam sampel r objek dilambangan dengan nPr.

Penghitungan jumlah permutasi bergantung pada objek yang disusun.Hal ini juga bergantung pada apakah pengulangan diperbolehkan atau tidak. Kecuali dinyatakan lain, kita berasumsi bahwa pengulangan tidak diperbolehkan saat menghitung permutasi.

Di artikel ini kita akan melihat contoh permutasi tanpa pengulangan.

Permutasi mengikuti prinsip dasar penghitungan. Ini menyatakan bahwa jika suatu eksperimen terdiri dari k kejadian di mana kejadian pertama terjadi n₁ kali, kejadian kedua terjadi n₂ kejadian.Begitu seterusnya sampai kejadian terjadi nₖ kali. Banyaknya cara eksperimen dapat terjadi secara berurutan diperlihatkan oleh perkalian dari jumlah kejadian individual terjadi, n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Misalnya kita ingin mengetahui banyaknya kemungkinan susunan dari huruf-huruf ABC tanpa pengulangan dalam permutasi. Setiap huruf bisa didahulukan, jadi ada 3 cara menyusun huruf pertama.

Setelah huruf pertama disusun, ada dua huruf yang tersisa, dan salah satu dari dua huruf dapat ditetapkan sebagai huruf kedua, sehingga ada dua cara menyusun huruf kedua. Setelah huruf kedua disusun, maka hanya akan ada satu huruf yang tersisa. Jadi, hanya ada satu cara untuk menyusun huruf ketiga.

Oleh karena itu, dengan prinsip penghitungan dasar, ada 3 × 2 × 1 = 6 cara menyusun huruf-huruf ABC. Susunannya adalah ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA.

Faktorial

Di atas, kita menetapkan bahwa jumlah permutasi dari 3 objek berbeda dihitung dengan 3 × 2 × 1 = 6. Umumnya jumlah permutasi dari n objek (secara keseluruhan) dihitung dengan n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Yaitu perkalian semua bilangan bulat dari n turun hingga 1. Perkalian semua bilangan bulat dari sebuah bilangan bulat, sebut saja n, turun hingga ke 1 disebut faktorial dan dilambangkan dengan !(tanda seru).

Jadi, n!= n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, dan disebut n faktorial.

Perhatikan bahwa 0!=1 dan 1!=1.

Contoh Permutasi

Lintasan standar lomba lari di Olimpiade biasanya punya 9 jalur. Namun, untuk lomba lari 100 meter, jalur 1 biasanya tidak digunakan.8 pelari ditempatkan pada jalur 2 sampai 9 berturut-turut. Berapa banyak kemungkinan cara 8 pelari dapat disusun pada jalur 2 sampai 9?

Dengan prinsip penghitungan dasar:

• salah satu dari 8 pelari mendapat jalur 2,
• salah satu dari 7 pelari sisanya bisa mendapat jalur 3,
• salah satu dari 6 pelari sisanya bisa mendapat jalur 4,
• salah satu dari 5 pelari sisanya bisa mendapat jalur 5,
• salah satu dari 4 pelari sisanya bisa mendapat jalur 6,
• salah satu dari 3 pelari sisanya bisa mendapat jalur 7,
• salah satu dari 2 pelari sisanya dapat mendapat jalur 8,
• satu pelari sisanya mendapat jalur 9.

Oleh karena itu, total kemungkinan permutasi dari 8 pelari yang dapat disusun pada 8 jalur adalah 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 cara.

Dalam kalkulator permutasi, masukkan 8 di kedua kotak n (objek) dan r (sampel) lalu klik Hitung untuk mendapatkan 40.320.

Permutasi dari Himpunan Bagian

Pada contoh sebelumnya, kita melihat permutasi objek ketika semua objek dipertimbangkan dalam penyusunan.Namun, ada situasi ketika objek disusun ke dalam kelompok yang lebih kecil.

Dalam contoh tersebut, jumlah total objek dilambangkan dengan n, jumlah objek dalam kelompok (sampel) dilambangkan dengan r, dan rumusnya menghasilkan jumlah permutasi:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Rumus ini digunakan untuk menghitung permutasi tanpa pengulangan. Dan jika kita perlu menyusun dalam urutan tertentu sampel r yang diambil dari himpunan n.

Jika kita menghitung jumlah pilihan yang dengannya kita dapat menyusun semua elemen himpunan dalam urutan tertentu dan tanpa pengulangan, kita dapat menggunakan rumus berikut:

$$ₙPᵣ=n!$$

Contoh

Dalam contoh di atas, kita melihat banyaknya kemungkinan menyusun delapan pelari dalam lomba 100 meter. Sekarang, di lomba yang sama, tiga medali diperebutkan. Tempat pertama dalam perlombaan memenangkan medali emas, dan pelari tempat kedua dan ketiga masing-masing memenangkan medali perak dan perunggu. Dari 8 pelari dalam perlombaan tersebut, berapa banyak kemungkinan cara kita bisa memperoleh peraih medali emas, perak, dan perunggu?

Dengan prinsip penghitungan dasar, salah satu dari 8 pelari bisa mendapat posisi pertama. Setelah posisi pertama terisi, tersisa tujuh pelari yang akan memperebutkan posisi kedua. Dan setelah posisi kedua, enam pelari akan memperebutkan posisi ketiga. Oleh karena itu, jumlah total kemungkinan permutasi posisi pertama hingga ketiga dari 8 pelari adalah: 8 × 7 × 6 = 336

Kita menggunakan rumus:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Dan kita mendapatkan

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Dan di kalkulator permutasi, masukkan 8 di kotak n (objek) dan 3 di kotak r (sampel) lalu klik "Hitung" untuk mendapatkan 336.

Permutasi dan Kombinasi: Perbedaannya

Teknik penghitungan penting lainnya adalah kombinasi. Kombinasi adalah berbagai cara jumlah yang lebih kecil objek (sampel), r, dapat dipilih dari jumlah yang lebih besar objek, n. Banyaknya kombinasi r objek dari n objek dilambangkan dengan ₙCᵣ.

Dalam definisi permutasi telah disebutkan bahwa urutan atau susunan itu penting.Itulah perbedaan antara permutasi dan kombinasi karena dalam kombinasi, urutannya tidak penting.

Jadi, misalnya, kita menyatakan bahwa permutasi huruf XYZ dalam kelompok dua huruf masing-masing adalah XY, XZ, YZ, YX, ZX, dan ZY.Jadi kita mendapatkan enam permutasi.

Namun, kombinasi huruf XYZ dalam kelompok dua huruf masing-masing adalah XY, XZ, dan YZ; tiga kombinasi. Ini karena, dalam kombinasi, XY dan YX dianggap sebagai kombinasi yang sama; sama dengan XZ dan ZX, dan sama dengan YZ dan ZY. Oleh karena itu, urutan penyusunan tidak jadi masalah dalam menghitung kombinasi.

Rumus berikut menghitung jumlah kombinasi r objek dari n objek:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Contoh Penghitungan Kombinasi

Pada contoh di atas sehubungan pelari, kita memperoleh banyaknya cara untuk memilih posisi pertama, kedua, dan ketiga dari kelompok yang terdiri dari 8 pelari. Misalnya kita ingin mengetahui banyaknya cara agar 3 peraih medali dapat dipilih dari kelompok 8 pelari tanpa mempertimbangkan posisinya. Tidak masalah apakah orang itu di posisi pertama, kedua, atau ketiga, selama pelari memenangkan medali.

Dalam hal ini, kombinasi digunakan karena urutan medali tidak penting.Jadi, kita menyelesaikannya menggunakan rumus kombinasi.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Banyaknya cara memilih 3 peraih medali dari 8 pelari ditunjukkan dengan:

$$₈C₃=\frac{8!}{3!× \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3!× 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Contoh penghitungan permutasi

1.Produser berita bisa memilih 3 dari 5 pembicara tamu untuk program analisis mereka.Urutan tamunya penting. Berapa banyak cara berbeda yang dapat dilakukan produser untuk menyusun presentasi para pembicara tamu? Urutan penting dan pengulangan tidak akan digunakan karena pembicara tamu tidak bisa muncul dua kali dalam program berita yang sama. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus permutasi.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!}= \frac{5!}{2!}= 5 × 4 × 3 = 60$$

Dengan demikian kita bisa melihat bahwa produser punya 60 cara menyusun pembicara tamu.

2.Seorang kritikus restoran sudah memilih 10 restoran bagus di kotanya yang menyajikan sushi untuk menempati peringkat 3 restoran sushi teratas. Restorannya harus disajikan dalam urutan yang menunjukkan tempat mereka dalam peringkat. Juga, tempat yang sama tidak dapat muncul berulang dalam peringkat. Jadi ini memenuhi persyaratan rumus permutasi - urutannya penting dan tidak boleh ada pengulangan.Kita menggunakan rumus permutasi:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!}= \frac{10!}{7!}= 10 × 9 × 8 = 720$$

3.Ketika kita mengatakan bahwa urutan penting untuk permutasi, itu tidak berarti bahwa urutan harus numerik dari 1 hingga, katakanlah, 10 atau nomor lainnya.Urutan dapat dibentuk oleh objek tertentu di mana kita mengalokasikan elemen himpunan kita.

Misalnya, manajer sebuah perusahaan perbaikan rumah. Dia punya empat pesanan untuk mengecat ruangan hari ini. Ruangannya adalah kantor agen visa, gudang di pabrik, toko pakaian, dan kamar di rumah pribadi. Perusahaan ini punya enam tukang cat. Masing-masing dari mereka bisa pergi ke 1 tempat selama satu hari.Dua tukang cat sisanya akan mendapat hari libur.

Tempatnya adalah kantor agen visa, gudang di pabrik, toko pakaian, dan kamar di rumah pribadi, yang merupakan analog dari posisi 1, 2, 3, dan 4.

Manajer akan punya:

• 6 tukang cat yang bisa ditugaskan ke kantor agen visa,
• tukang cat sisanya untuk ditugaskan ke gudang,
• 4 tukang cat sisanya untuk dikirim ke toko pakaian,
• 3 tukang cat yang tersisa lainnya bisa dikirim untuk kamar di rumah pribadi.

Jadi, secara intuitif, kita bisa menggambarkan jumlah pilihan sebagai 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Kita diberi syarat bahwa urutan pembagian tukang cat atas lokasinya penting bagi kita. Tidak boleh ada pengulangan, yaitu seorang tukang cat mengerjakan lebih dari satu objek di hari yang sama. Jadi kita bisa menerapkan rumus permutasi yang sudah kita gunakan.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!}= \frac{6!}{2!}= 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Ternyata ada 360 cara berbeda yang dapat dilakukan oleh manajer perusahaan perbaikan rumah untuk mengalokasikan pesanan di antara tukang cat yang ada dalam kondisi itu.