Kalkulator Persamaan Kuadrat

Kalkulator Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah bagian penting dari kurikulum matematika di sekolah dan universitas. Misalnya, solusi persamaan kuadrat akan memberikan berbagai informasi seperti tingkat perubahan, kenaikan, dan penurunan fungsi. Untuk menemukan solusi persamaan kuadrat dibutuhkan melakukan serangkaian operasi aljabar dan aritmatika. Meskipun solusinya memiliki bentuk standar namun dibutuhkan beberapa waktu untuk melakukan perhitungan matematika tersebut secara manual.

Kalkulator rumus kuadrat online ini adalah sebuah alat yang mudah digunakan, yang akan langsung memberikan solusi persamaan kuadrat kepada pengguna. Alat gratis ini akan memberikan jawaban dan akan memberitahukan langkah-langkah yang perlu diterapkan saat menyelesaikan suatu persamaan. Alhasil, pengguna akan mengkonseptualisasikan pemecahan masalah, hasil numerik, dan panduan langkah demi langkah melalui solusi tersebut.

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat, terkadang juga disebut sebagai fungsi kuadrat atau polinomial derajat kedua, adalah suatu persamaan aljabar dengan bentuk umum ax²+bx+c=0 di mana x adalah variabel yang tidak diketahui yang dapat ditemukan. Suku a dan b masing-masing adalah koefisien dari x² dan x, sedangkan C adalah konstanta. Kata "quad" atau "second-degree" berasal dari fakta bahwa pangkat tertinggi dari variabel x adalah 2, seperti pada x². Kami akan menunjukkan beberapa contoh persamaan kuadrat di bawah ini.

$$2x²-4x+0,5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

Persamaan 2x²=0 juga merupakan persamaan kuadrat, dengan b=0 dan c=0. Namun, 2x+3=0 tidak mewakili persamaan kuadrat karena suku kuadrat ax² tidak ditemukan di dalam persamaan tersebut. Seperti yang telah ditunjukkan pada contoh sebelumnya, nilai A, B, dan C dapat berupa bilangan bulat positif/negatif atau desimal (pecahan) seperti a≠0.

Memecahkan Persamaan Kuadrat

Banyaknya solusi yang mungkin untuk suatu persamaan setara dengan nilai eksponen tertinggi di dalam persamaan tersebut. Persamaan kuadrat dapat memiliki maksimal dua solusi di dalam konteks ini. Salah satu cara untuk menyelesaikan fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan rumus kuadrat yang dinyatakan dalam persamaan (1).

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

Anda dapat menulis bentuk ringkas dari rumus kuadrat tersebut sebagai:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Ini adalah solusi langsung di mana pengguna dapat memasukkan nilai A, B, dan C untuk mendapatkan nilai x₁ dan x₂. Berdasarkan nilai diskriminan yang dilambangkan dengan suku di bawah akar kuadrat b²-4ac, jumlah dan sifat penyelesaiannya akan berubah. Kita dapat membahas tiga kasus:

• Jika diskriminan adalah positif; b²-4ac>0, maka terdapat dua solusi yang riil (x₁≠x₂)
• Jika diskriminan adalah nol; b²-4ac=0, maka terdapat satu solusi yang riil (x₁=x₂)
• Jika diskriminan adalah negatif; b²-4ac<0, maka terdapat dua solusi yang kompleks (x₁≠x₂)

Kami akan memberikan sebuah contoh dari setiap kasus pada bagian Contoh.

Secara grafis, pada bidang koordinat x-y, di mana y adalah fungsi dari x, secara visual pembaca dapat menyadari solusi dari fungsi kuadrat sebagaimana x-coordinate(s) dari titik-titik di mana fungsi y memotong x-axis.

Menggunakan Kalkulator Rumus Kuadrat

Kalkulator pemecah kuadrat ini dapat menyelesaikan semua persamaan kuadrat, terlepas dari sifat solusinya (riil atau kompleks). Kalkulator ini akan mengambil tiga input: nilai A, B, dan C. Dalam beberapa kasus, pengguna mungkin harus melakukan beberapa manipulasi pada persamaan sebelum menggunakan kalkulator ini.

Pada 2x² = x + 3, pengguna hanya perlu memindahkan suku dari ruas kanan ke ruas kiri. Hasilnya, kita akan mendapatkan 2x²-x-3=0, di mana a = 2, b = -1, dan c=-3.

Selanjutnya, dengan mempertimbangkan 4(x²-0,2x)=1, pengguna harus memperluas tanda kurung tersebut dengan menulis 4x²-0,8x=1, lalu pindahkan suku di ruas kiri ke kanan untuk menempatkan persamaan dalam bentuk umum sebagai 4x²-0,8x-1=0 di mana a = 4, b=-0,8 dan c=-1.

Contoh

Pada bagian ini, tiga contoh dapat menjelaskan tiga kemungkinan kasus solusi persamaan kuadrat, dengan menggunakan kalkulator persamaan kuadrat.

Contoh 1: Dua Solusi Rill (real solution)

Ini diperlukan untuk menemukan solusi dari fungsi kuadrat y₁ yang ditentukan sebagai y₁=x²-8x+12 dan ditunjukkan pada Gambar 1.

Secara intuitif, tujuannya adalah untuk menemukan koordinat-x dari titik-titik di mana fungsi y₁ memotong x-axis, jika ada.

Gambar 1: Plot dari y₁=x²-8x+12

Pertama, fungsi disamakan dengan nol ( y₁ diganti dengan 0), menghasilkan x²-8x+12=0. Terlihat bahwa persamaan terakhir adalah dalam bentuk persamaan kuadrat standar di mana a=1, b=-8, dan c=12. Kita bisa langsung menggunakan kalkulator rumus persamaan kuadrat ini.

Memeriksa nilai diskriminan b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0, fungsi kuadrat harus memiliki dua solusi rill. Setelah mengklik tombol hitung, kalkulator ini akan memberikan solusi numerik dan langkah-langkah solusi dengan menggunakan rumus kuadrat persamaan (1).

Penting untuk diperhatikan bahwa setelah kita memasukkan nilai A, B, dan C, kalkulator ini akan menampilkan persamaannya. Pengguna mungkin akan mempertimbangkan untuk memverifikasi bahwa persamaan yang ditampilkan adalah sama dengan persamaan yang ada untuk menghindari kesalahan entri.

• Persamaan: x²-8x+12=0

• Solusi: x₁=2 dan x₂=6

• Langkah-langkah:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1 ×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ atau \ 2$$

Solusinya adalah x₁=2 dan x₂=6. Kita dapat memvalidasi hasilnya secara grafis dengan memeriksa perpotongan fungsi dengan x-axis. Gambar 2 menunjukkan bahwa fungsi tersebut memotong x-axis di titik-titik yang telah disebutkan sebelumnya.

Gambar 2: Plot dari y₁=x²-8x+12

Contoh 2: Satu Solusi Riil

Mempertimbangkan fungsi lainnya, y₂-3x²+25=-4x²+10x. Sebelum menggunakan kalkulator ini, langkah awalnya adalah dengan mengisolasi y₂ di satu sisi dan mengumpulkan semua suku lainnya di sisi lainnya seperti y₂=-4x²+10x+3x²-25. Menyamakan y₂ dengan nol dan melakukan operasi aritmatika, bentuk umumnya diperoleh sebagai -x²+10x-25=0 dengan a=-1, b=10, dan $c=-25 $.

Diskriminan sama dengan nol b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0, jadi, pengguna akan menunggu solusi tunggal. Kemudian, Kita dapat menggunakan kalkulator rumus kuadrat ini untuk mencari x₁=x₂=5.

• Persamaan: -x²+10x–25=0

• Solusi: x = 5

• Langkah-langkah:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

Gambar 3 menunjukkan plot dari y₂ dimana terlihat bahwa fungsinya memotong sumbu x pada satu titik.

Gambar 3: y₂=-x²+10x-25

Contoh 3: Dua Solusi Kompleks

Akhirnya, y₃=x²-4x+8 dipelajari untuk menunjukkan bagaimana fungsi kuadrat dapat memiliki dua solusi yang kompleks. Gambar 4 akan menunjukkan bahwa y₃ tidak memotong x-axis.

Gambar 4: y₃=x²-4x+8

Melihat b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0 menunjukkan adanya dua solusi kompleks, tetapi apakah bilangan kompleks itu?

Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk kombinasi dari bilangan asli dan imajiner, dan berbentuk a+ib.

Dalam hal ini, 'i' dalam bilangan kompleks adalah satuan imajiner, yang mewakili akar kuadrat dari -1.

Suku A menunjukkan bagian asli dari bilangan kompleks (Re). Di sisi lain, ib adalah bilangan imajiner (Im) di mana i=√-1.

Akar kuadrat akan berisikan bilangan negatif jika suku b²-4ac adalah lebih kecil dari nol. Jadi, mengambil akar kuadrat dari bilangan negatif akan membutuhkan penggunaan bilangan yang kompleks.

Kembali ke mencari solusi dari x²-4x+8=0; kalkulator ini akan memecahkan persamaan tersebut dan menemukan x₁=2+2i dan x₂=2-2i.

• Persamaan: x²–4x+8=0

• Terdapat dua kemungkinan solusi: x=2±2i

• Langkah-langkah:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

Cakupan Penggunaan dan Tips

Kalkulator rumus kuadrat ini dirancang untuk para pelajar di sekolah dan di universitas atau siapa pun yang sedang mencari solusi cepat dari fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat dapat ditemukan di bidang teknik, ekonomi, pertanian, dll.

Meskipun penggunaan alat ini sangatlah mudah namun pengguna harus dapat melakukan operasi aritmatika dasar untuk menempatkan persamaan ke dalam bentuk kuadrat standar ax²+bx+c=0, untuk menggunakan alat tersebut. Selain itu, ini lebih disukai (bukan prasyarat) untuk terbiasa dengan bilangan kompleks karena solusi persamaan kuadrat mungkin merupakan pasangan dari bilangan kompleks.

Pengguna mungkin juga akan tertarik menggunakan beberapa alat perencanaan untuk memvisualisasikan fungsi dan solusinya.