Kalkulator Rumus Kuadrat

Menggunakan Kalkulator Rumus Kuadrat

Kalkulator ini adalah sebuah alat yang mudah digunakan untuk memecahkan suatu persamaan kuadrat. Di dalam aljabar, persamaan kuadrat adalah persamaan apa pun yang dapat ditulis dalam bentuk berikut:

ax²+bx+c=0

di mana

a≠0

Untuk menggunakan kalkulator rumus kuadrat, masukkanlah nilai A, B, dan C ke dalam kolom atau bidang yang sesuai dan tekan "Hitung." Nilai A tidak boleh sama dengan nol, sedangkan nol adalah input yang dapat diterima oleh B dan C. Untuk akar real dan kompleks, kalkulator ini akan menggunakan rumus kuadrat untuk menentukan semua solusi dari persamaan yang diberikan. Setelah menggunakan rumus kuadrat, kalkulator ini juga akan menyederhanakan radikal yang dihasilkan untuk menemukan solusinya dalam bentuk yang paling sederhana.

Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan rumus kuadrat

Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun dengan rumus kuadrat. Untuk menggunakan rumus kuadrat, Anda harus terlebih dahulu membawa persamaan yang diberikan ke bentuk berikut: ax²+bx+c=0. Kemudian, solusi dapat ditemukan adalah sebagai berikut:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Bagian dari persamaan yang berada di bawah akar kuadrat, b²-4ac, disebut sebagai diskriminan.

• Jika diskriminan positif, b²-4ac>0, persamaan akan memiliki dua akar real.
• Jika diskriminan negatif, b²-4ac<0, persamaan akan memiliki dua akar kompleks karena akar kuadrat dari bilangan negatif adalah bilangan kompleks.
• Jika diskriminan sama dengan nol, b²-4ac=0, persamaan hanya akan memiliki satu akar.

Kalkulator persamaan kuadrat akan menampilkan solusi persamaan yang dimasukkan dan alur kerja untuk menemukan solusi ini. Kalkulator ini juga akan menghitung diskriminan dan menunjukkan apakah diskriminan tersebut adalah positif, negatif, atau sama dengan nol.

Contoh praktis

Contoh 1 (dengan akar real)

Selesaikan persamaan kuadrat berikut:

2x²+3x-2=0

Dalam contoh ini a=2,b=3,c=-2.

Dengan menggunakan rumus kuadrat untuk nilai-nilai ini, kita akan mendapatkan:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Diskriminan dari persamaan ini adalah positif, b²-4ac=25>0. Oleh karena itu, persamaan ini akan memiliki dua akar real.

Sekarang, mari kita menyederhanakan radikal yang dihasilkan:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ dan\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ dan\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ dan\ \ \ x=-2$$

Akhirnya,

x=0,5

x=-2

Contoh 2 (dengan akar kompleks)

Selesaikan persamaan kuadrat berikut:

x²+2x+5=0

Dalam contoh ini a=1,b=2,c=5.

Dengan menggunakan rumus kuadrat untuk nilai-nilai ini, kita akan mendapatkan:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Diskriminan dari persamaan ini adalah negatif, b²-4ac=-16<0. Oleh karena itu, persamaan ini akan memiliki dua akar kompleks.

Sekarang, mari kita menyederhanakan radikal yang dihasilkan:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Akhirnya,

x=-1+2i

x=-1-2i

Contoh 3 (dengan satu root)

Selesaikan persamaan kuadrat berikut:

3x²+6x+3=0

Dalam contoh ini a=3,b=6,c=3.

Dengan menggunakan rumus kuadrat untuk nilai-nilai ini, kita akan mendapatkan:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Diskriminan dari persamaan ini adalah sama dengan nol, b²-4ac=0. Oleh karena itu, persamaan ini akan memiliki satu akar.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Akhirnya,

x=-1

Turunan dari rumus kuadrat

Seperti yang telah ditunjukkan di atas, Anda dapat menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan semua persamaan kuadrat secara mutlak, terlepas dari apakah diskriminannya adalah positif, negatif, atau sama dengan nol. Sekarang mari kita menyelidiki bagaimana rumus kuadrat dapat diturunkan. Mengetahui prinsip-prinsip dasar penurunan rumus bisa menjadi sangat berguna jika Anda lupa dengan rumus itu sendiri.

Algoritme penurunan rumus kuadrat adalah relatif mudah dan didasarkan pada prosedur penyelesaian kuadrat. Untuk mendapatkan solusi persamaan kuadrat standar dari ax²+bx+c=0, Anda harus mengikuti langkah-langkah di bawah ini:

1. Kita memiliki persamaan:

ax²+bx+c=0

Pindahkan konstanta C ke ruas kanan persamaan:

ax²+bx=-c

2. Singkirkan koefisien A di sebelah suku kuadrat x². Untuk melakukannya, bagikan persamaan ini dengan A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Tambahkan

$$(\frac{b}{2a})^2$$

ke kedua sisi persamaan:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Ruas kiri persamaan sekarang berbentuk x²+2dx+d². Ekspresi ini dapat ditulis ulang sebagai (x+d)².

Di dalam persamaan kita, d dinyatakan sebagai

$$\frac{b}{2a}$$

Jadi:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Substitusikan ini ke ruas kiri rumus kita, dan biarkanlah ruas kanan tidak tersentuh untuk saat ini:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Sekarang akar x hanya muncul sekali di dalam persamaan ini.

5. Ekstrak akar kuadrat dari kedua bagian persamaan:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Pindahkan $\frac{b}{2a}$ ke ruas kanan persamaan:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Kalikan ruas kanan persamaan dengan

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Sederhanakan persamaan:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Hasilnya, kita akan mendapatkan rumus kuadrat:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Fakta menarik tentang persamaan kuadrat

• Jumlah kedua akar persamaan kuadrat adalah

$$\frac{-b}{a}$$

Akibatnya, jika diskriminan persamaan kuadrat b²-4ac adalah sama dengan nol, Anda dapat menemukan satu-satunya akar persamaan sebagai

$$\frac{-b}{2a}$$

• Hasil dari dua akar persamaan kuadrat adalah

$$\frac{c}{a}$$

• Istilah "kuadrat" berasal dari kata Latin "quadratus", yang berarti "persegi". Persamaan itu disebut kuadrat karena pangkat tertinggi dari variabel adalah 2, yaitu, variabelnya adalah "kuadrat."

• Rumus kuadrat dalam bentuknya yang sekarang ini sudah dijelaskan pada awal 628 M oleh seorang ahli matematika India Brahmagupta, yang tidak menggunakan simbol tetapi mendiskusikan solusinya dengan menggunakan kata-kata. Brahmagupta, bagaimanapun, hanya menjelaskan satu dari dua solusi yang mungkin, menghilangkan tanda ± yang penting sebelum akar kuadrat.

• Grafik fungsi kuadrat y=ax²+bx+c adalah parabola. Solusi, atau akar, dari persamaan kuadrat, sebenarnya adalah koordinat intersepsi grafik dengan sumbu x. Jika persamaan memiliki dua akar real, grafik akan memotong sumbu x dua kali. Jika persamaan hanya memiliki satu akar, grafik parabola yang sesuai hanya menyentuh sumbu x pada maksimum atau minimumnya. Jika persamaan tidak memiliki akar real, grafik parabola yang sesuai tidak memotong sumbu x sama sekali.

• Ketika nilai koefisien dengan suku kuadrat, A, mendekati nol, grafik parabola yang sesuai akan menjadi lebih datar, pada akhirnya akan cenderung menjadi garis lurus. Ketika a=0, persamaan akan menjadi linier, dan representasi grafisnya jelas merupakan garis lurus!

• Demikian pula, ketika a>0, parabola akan menghadap ke atas. Jika a<0, parabola yang esuai akan membuka ke bawah. Jika a=0, "parabola" akan datar, yaitu garis lurus.

Persamaan kuadrat banyak digunakan di semua bidang ilmu pengetahuan. Misalnya, di dalam ilmu fisika, persamaan kuadrat digunakan untuk menggambarkan gerakan suatu proyektil.