Kalkulator Teorema Pythagoras

Kalkulator Pythagoras ini akan menemukan panjang sisi dari segitiga siku-siku jika kedua sisi segitiga lainnya telah diketahui. Perhitungan akan dilakukan berdasarkan teorema Pythagoras.

Petunjuk penggunaan

Masukkan panjang sisi yang sudah diketahui dan tekan "Hitung." Kalkulator ini akan memberikan nilai berikut:

• Panjang sisi ketiga.
• Nilai sudut sudut non-90° dalam derajat dan radian.
• Luas segitiga.
• Keliling segitiga.
• Panjang ketinggian tegak lurus ke sisi miring.

Kalkulator ini juga akan menampilkan solusi yang mendetail, yang dapat Anda perluas dengan menekan "+ Tampilkan Langkah Perhitungan" atau "+ Show Calculation Steps".

Perhatikan bahwa bidang input untuk setiap sisi segitiga menyertakan bagian bilangan bulat dan bagian akar kuadrat sehingga Anda dapat dengan mudah memasukkan nilai-nilai seperti 2√3, √3, dll.

Perhatikan juga bahwa nilai a dan b, kaki-kaki segitiga, harus lebih pendek dari nilai c, sisi miring. Untuk mengosongkan semua bidang, tekan "Hapus".

Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa pada segitiga siku-siku, kuadrat panjang hipotenusa adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang katetus.

Teorema pythagoras dapat ditulis sebagai berikut:

a² + b² = c²,

Di mana a dan b adalah panjang sisi atau kaki yang lebih pendek dari segitiga siku-siku, dan c adalah panjang sisi terpanjang atau sisi miring. Persamaan di atas dapat dijelaskan sebagai berikut: a kuadrat tambah b kuadrat adalah sama dengan c kuadrat.

Bukti teorema Pythagoras

Mari kita membuktikan teorema Pythagoras dengan menjumlahkan luasnya.

Pada gambar di atas, sebuah persegi dengan sisi (a + b) terdiri dari persegi dengan sisi c, dan empat segitiga siku-siku dengan sisi a, b, dan c. Mari kita mencari luas persegi ini dengan menggunakan dua strategi yang berbeda:

1. Luas permukaan persegi dengan panjang sisi (a + b) dapat dihitung dengan rumus (a + b)²:

A = (a + b)²

2. Luas permukaan yang sama dapat ditemukan sebagai jumlah luas permukaan dari bangun-bangun yang membentuk bujur sangkar – luas persegi dengan sisi c, dan empat luas segitiga dengan sisi a, b, dan c. Luas persegi dengan sisi c dapat dihitung sebagai c². Luas segitiga siku-siku dengan sisi a, b, dan c dapat ditentukan sebagai (ab)/2. Karena itu,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Karena kedua perhitungan ini menggambarkan luas permukaan yang sama, kita dapat menyamakannya:

(a + b)² = c² + 2ab

Dengan memperluas kuadrat di sisi kiri persamaan, kita akan mendapatkan:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Dengan mengurangkan 2ab dari kedua sisi persamaan, kita akan mendapatkan:

a² + b² = c²

yang merupakan hasil yang diperlukan.

Algoritma perhitungan

Menemukan sisi-sisi segitiga siku-siku

Jika dua sisi dari segitiga siku-siku sudah diberikan, sisi ketiga dapat ditemukan dengan menggunakan teorema Pythagoras. Misalnya, jika sisi a dan b sudah diketahui, panjang sisi c dapat ditentukan sebagai berikut:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Demikian pula,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

dan

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Menemukan sudut segitiga siku-siku

Jika ketiga sisi segitiga siku-siku sudah diketahui, sudut segitiga yang tidak 90° dapat ditemukan sebagai berikut:

• ∠α = arcsin(a/c) atau ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) atau ∠β = arccos(a/c)

Di sini, ∠α adalah sudut yang berhadapan dengan kaki 'a', ∠β adalah sudut yang berhadapan dengan kaki 'b', dan 'c' adalah hipotenusa. Pilihan antara arcsin dan arccos tergantung pada kaki mana (a atau b) yang Anda pertimbangkan terkait dengan sudut. Menggunakan arcsin, Anda menggunakan kaki yang berhadapan dengan sudut, dan dengan arccos, Anda menggunakan kaki yang bersebelahan dengan sudut. Kedua pendekatan ini valid dan akan memberikan pengukuran sudut yang benar dalam segitiga siku-siku.

Luas segitiga siku-siku

Luas segitiga siku-siku dapat dihitung sebagai 1/2 hasil kali dari kaki-kakinya:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Keliling segitiga siku-siku

Keliling segitiga siku-siku dihitung sebagai jumlah dari semua sisinya:

P = a + b + c

Ketinggian ke sisi miring

Jika ketiga sisi segitiga siku-siku sudah diketahui, tinggi ke sisi miring, h, dapat ditemukan sebagai berikut:

h = (a × b)/c

Contoh di kehidupan nyata

Teorema pythagoras banyak digunakan di bidang arsitektur dan konstruksi untuk menghitung panjang komponen yang diperlukan dan untuk memastikan sudut-sudut pada bangunan dibangun dengan benar. Mari kita melihat sebuah contoh dari penerapan teorema.

Memasang objek

Bayangkan Anda akan pindah rumah, dan Anda menyewa sebuah truk pengangkut dengan panjang 4 meter dan tinggi 3 meter. Anda tidak memiliki banyak barang besar, tetapi Anda memiliki sebuah tangga, yang panjangnya 4,5 meter. Akankah tangga itu dapat muat ke dalam truk?

Solusi

Karena panjang tangga, 4,5 meter, melebihi panjang dari truk, 4 meter, satu-satunya cara agar tangga tersebut dapat muat di dalamnya adalah dengan cara diagonal. Untuk menentukan apakah itu memungkinkan, kita perlu menggunakan teorema Pythagoras untuk menghitung sisi miring (hipotenusa) sebuah segitiga dengan sisi-sisi yang sama dengan panjang dan tinggi truk. Oleh karena itu, dalam kasus kita a = 4, b = 3, dan kita perlu mencari c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Hipotenusa segitiga dengan a = 4 dan b = 3 adalah c = 5. Jadi, panjang benda terpanjang yang dapat dimasukkan ke dalam truk adalah 5 meter. Tangga Anda panjangnya 4,5 meter. Oleh karena itu, tangga tersebut dapat masuk dengan mudah!

Jawaban

Ya, tangga tersebut akan muat ke dalam truk.

Perhitungan tambahan

Kalkulator online ini juga akan menemukan beberapa karakteristik tambahan dari segitiga yang diberikan. Hitunglah karakteristik ini untuk sebuah segitiga dengan a = 4, b = 3, dan c = 5.

Luas segitiga:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Keliling segitiga:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Ketinggian ke sisi miring:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Sudut yang berlawanan dengan sisi a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

Sudut yang berlawanan dengan sisi b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad