Kalkulator Z-Score

Kalkulator Z-Score dapat digunakan untuk semua jenis perhitungan yang terkait dengan Z-Score. Anda dapat memasukkan skor mentah (X), mean Populasi (μ), dan Standar Deviasi (σ) pada kalkulator bagian pertama untuk menemukan Z-Score dengan langkah-langkah dan probabilitas yang terkait dengan skor baris tersebut.

Konverter Z-score dan Probabilitas ini akan membantu Anda mengonversi antara Z-Score dan probabilitas tanpa mereferensikan tabel-Z. Hasilnya akan mencakup semua kemungkinan perhitungan probabilitas dengan Z-Score tunggal tersebut. Gunakanlah kalkulator bagian terakhir untuk menemukan probabilitas antara 2 Z-Score.

Apa itu z-score?

Z-score adalah suatu pengukuran statistik yang menggambarkan jumlah standar deviasi data point dari mean sebuah dataset. Z-score digunakan untuk membandingkan satu data point dengan seluruh dataset dan membantu membakukan data sehingga akan menjadi lebih mudah untuk dibandingkan dan dianalisis.

Z-score memungkinkan kita untuk menentukan seberapa "tipikal" atau sebaliknya "atipikal" satu data point dibandingkan dengan seluruh dataset.

• Mendeteksi outlier: Z-score dapat membantu kita mengidentifikasi data point yang sangat berbeda dari data lainnya. Ini berguna untuk di bidang seperti keuangan dan penelitian medis, di mana outlier dapat menunjukkan suatu pola atau anomali penting.
• Membandingkan data dari kumpulan-kumpulan yang berbeda: Z-score memungkinkan kita untuk membandingkan data dari kumpulan-kumpulan yang berbeda, bahkan jika mereka memiliki unit atau jangkauan yang berbeda. Ini berguna untuk di bidang seperti mempelajari mesin, di mana Anda perlu membandingkan data dari berbagai sumber untuk membuat suatu model.
• Normalisasi data: Dengan mengubah data menjadi Z-score, kita akan dapat membakukan data dan membuatnya menjadi lebih mudah untuk dibandingkan dan dianalisis. Ini berguna di bidang seperti visualisasi data, di mana kita perlu menyajikan data dengan cara yang dapat dimengerti.

Rumus Z-Score

Z-Score untuk populasi

Z = Raw score-Population Mean / Population Standard Deviation

Z = (X - μ) / σ

Z-Score untuk sampel

Z = Raw score-Sample Mean / Sample Standard Deviation

Z = (X - x̄) / s

Interpretasi hasil dari Z-score yang diperoleh

Z-Score positif: Z-Score positif berarti data point Anda berada di atas nilai rata-rata dari dataset. Dengan kata lain, data point pengamatan Anda adalah lebih tinggi dari nilai tipikal yang ada di dalam dataset.

Z-Score negatif: Skor Z negatif berarti data point Anda berada di bawah nilai rata-rata dari dataset. Dengan kata lain, data point pengamatan Anda adalah lebih rendah dari nilai tipikal yang ada di dalam dataset.

Z-Score: Z-score akan memberitahu Anda seberapa jauh data point Anda dari rata-rata dataset. Semakin besar nilai Z-score, semakin jauh data point yang Anda amati dari nilai rata-rata.

Z-Score dan standar deviasi

Z-score dan standar deviasi adalah terkait karena standar deviasi digunakan untuk menghitung nilai Z-score. Faktanya, standar deviasi adalah suatu komponen kunci dari rumus Z-score.

Standar deviasi adalah suatu pengukuran dari penyebaran dataset. Ini menunjukkan seberapa jauh setiap data point dari nilai rata-rata dataset. Semakin besar standar deviasi, semakin besar dispersi data.

Z-score, di sisi lain, akan memberi tahu Anda seberapa jauh satu data point dari mean dataset yang relatif terhadap standar deviasi. Dengan menggunakan standar deviasi untuk menghitung Z-score, Anda dapat membandingkan satu data point dengan keseluruhan dataset dan melihat seberapa tidak biasa atau tipikalnya ini.

Z-score dan distribusi normal

Distribusi normal merupakan seuatu jenis distribusi yang sering dijumpai di banyak fenomena di dunia nyata. Ini adalah sebuah kurva berbentuk lonceng yang mewakili distribusi data di sekitar mean dari dataset. Distribusi normal juga dikenal sebagai distribusi Gaussian, yang diambil dari nama seorang matematikawan, Carl Friedrich Gauss.

Z-score adalah sebuah cara untuk mengukur seberapa jauh satu data point dari mean dataset yang relatif terhadap standar deviasi. Dengan mengonversi setiap titik data menjadi Z-score, Anda dapat membandingkan satu data point dengan seluruh dataset dan melihat seberapa tidak biasa atau tipikalnya ini.

Hubungan antara Z-Score dengan distribusi normal adalah bahwa Z-Score dapat digunakan untuk membakukan data dan menyesuaikannya dengan distribusi normal. Ini berarti bahwa Anda dapat mengonversi dataset apa pun menjadi distribusi normal dengan mengonversi setiap data point menjadi Z-Score. Hal ini berguna karena banyak metode statistik yang mengasumsikan bahwa data tersebut terdistribusikan secara normal, sehingga dengan mengubah data menjadi distribusi normal dapat membantu Anda menggunakan metode ini dengan lebih akurat.

Perbandingan data point

Z-Score dapat membantu Anda memahami seberapa jauh satu data point dari mean dataset yang relatif terhadap standar deviasi.

Contoh kita dalam menggunakan Z-score untuk membandingkan data point adalah berlaku untuk keuangan. Misalnya, Anda telah berinvestasi ke dalam dua portofolio saham yang berbeda dan ingin membandingkan kinerja mereka. Pengembalian rata-rata portofolio A adalah 10% dengan standar deviasi 2%, dan pengembalian rata-rata portofolio B adalah 8% dengan standar deviasi 3%. Dengan mengonversi pengembaliannya menjadi Z-Score, Anda dapat membandingkan pengembalian dari setiap portofolio tersebut dan menentukan portfolio manakah yang memiliki kinerja lebih baik.

Contoh praktis lainnya dalam menggunakan Z-score untuk membandingkan data point adalah olahraga. Misalnya, Anda ingin membandingkan performa antara dua pemain bola basket, pemain A dan pemain B. Pemain A mendapatkan skor rata-rata 20 poin per game dengan standar deviasi 5 poin, dan pemain B mendapatkan skor rata-rata 18 poin per game dengan standar deviasi 3 poin. Dengan mengonversi skor menjadi Z-score, Anda dapat membandingkan performa dari setiap pemain tersebut dan menentukan pemain manakah yang performanya lebih baik.

Normalisasi data

Normalisasi data adalah sebuah proses mengubah data ke skala standar sehingga dapat dengan mudah dibandingkan dan dianalisis. Hal ini penting karena suatu data dapat memiliki bentuk dan skala yang berbeda, dan normalisasi data akan memastikan bahwa data-data tersebut berada pada skala yang sama dan memudahkan kita untuk membandingkan dan menganalisisnya.

Dengan mengonversi setiap data point menjadi Z-score, Anda dapat membakukan data dan menempatkannya pada skala yang sama. Hal ini dikarenakan Z-score selalu berada pada skala standar, dimana rata-ratanya adalah 0 dan standar deviasinya adalah 1.

Salah satu contoh praktis penggunaan Z-score dalam menormalkan suatu data yang berkaitan dengan bidang psikologi. Misalnya, Anda ingin membandingkan hasil dari dua tes IQ, Tes A dan Tes B. Tes A memiliki skor rata-rata sebesar 100 dengan standar deviasi 15, dan tes B memiliki skor rata-rata sebesar 110 dengan standar deviasi 10. Dengan mengubah skor menjadi Z-score, skor-skor tersebut dapat distandarisasi dan direduksi menjadi satu skala, yang memudahkan kita untuk membandingkan dan menganalisisnya.

Contoh praktis lainnya dalam menggunakan Z-score untuk menormalkan data adalah di bidang pendidikan. Misalnya, Anda ingin membandingkan nilai antara dua siswa, siswa A dan siswa B. Siswa A memiliki nilai rata-rata 80 dengan standar deviasi 5, dan siswa B memiliki nilai rata-rata 90 dengan standar deviasi 3. Dengan mengonversi nilai-nilai tersebut menjadi koefisien Z, Anda dapat menstandarkan nilainya dan membuat semuanya pada skala yang sama, yang akan membuat perbandingan dan analisisnya menjadi lebih mudah.

Pengujian hipotesis

Pengujian hipotesis adalah suatu teknik statistik yang digunakan untuk menentukan apakah terdapat cukup bukti untuk menolak hipotesis nol, atau asumsi standar bahwa tidak ada hubungan antara dua variabel. Ini penting di banyak bidang, termasuk di dalam penelitian medis, ilmu sosial, dan bisnis, di mana membuat keputusan yang terinformasi berdasarkan data adalah sangat penting.

Saat menguji suatu hipotesis, koefisien Z dapat digunakan untuk menentukan kemungkinan terjadinya hasil tertentu. Misalnya, Anda dapat menguji apakah berat rata-rata dari sekelompok orang berbeda dengan berat rata-rata dari seluruh populasi. Anda dapat menggunakan Z-score untuk menentukan apakah perbedaannya adalah signifikan secara statistik.

Salah satu contoh praktis penggunaan Z-score dalam menguji hipotesis adalah di bidang medis. Misalnya, Anda ingin menguji apakah obat yang baru adalah efektif untuk mengurangi gejala dari penyakit tertentu. Anda dapat menggunakan Z-score untuk menentukan apakah perbedaan gejala antara kelompok yang mengonsumsi obat tersebut dengan kelompok kontrol adalah signifikan secara statistik.

Contoh praktis lain dalam penggunaan Z-score untuk menguji hipotesis adalah di bidang keuangan. Misalnya, Anda ingin menguji apakah saham tertentu memiliki pengembalian yang lebih tinggi daripada rata-rata saham yang ada di pasar. Anda dapat menggunakan Z-score untuk menentukan apakah perbedaan atau selisih pengembaliannya adalah signifikan secara statistik.

Feature scaling

Feature scaling adalah sebuah teknik yang digunakan dalam pembelajaran mesin dan penerapan analisis data lainnya untuk memastikan bahwa semua fitur yang ada di dalam dataset memiliki skala yang sama. Ini penting karena beberapa algoritma pembelajaran mesin peka terhadap skala data dan dapat menghasilkan hasil yang tidak akurat jika skalanya tidak cocok.

Salah satu metode penskalaan sifat yang umum adalah normalisasi Z-score, yang juga dikenal sebagai standardisasi. Dalam proses ini, setiap sifat dikonversi sehingga nilai mean-nya adalah 0 dan standar deviasinya adalah 1. Rumus untuk menghitung Z-score suatu sifat adalah sebagai berikut:

Z = (X - Mean) / Standar Deviasi

di mana X adalah nilai fitur, Mean adalah rata-rata fitur, dan Standard Deviation adalah Standar Deviasi fitur.

Contoh praktis penggunaan Z-score untuk menskalakan fitur adalah di bidang visi komputer. Ketika bekerja dengan data image biasanya diperlukan untuk menskalakan nilai piksel agar berada dalam kisaran 0 hingga 1. Hal ini dapat dicapai dengan menormalkan Z-score, karena setiap nilai piksel tersebut dapat diubah agar nilai mean-nya adalah 0, dan standar deviasinya adalah 1.

Contoh praktis lain penggunaan Z-score untuk feature scaling adalah pemrosesan bahasa alami. Ketika bekerja dengan data tekstual, ini adalah praktik umum untuk menskalakan nilai term frequency and inverse document frequency (TF-IDF) sehingga akan berada pada kisaran 0 hingga 1. Hal ini juga dapat dicapai dengan menggunakan normalisasi Z-score.

Predictive modeling

Predictive modeling adalah sebuah teknik yang digunakan dalam mempelajari mesin dan penerapan analisis data lainnya untuk membuat prediksi berdasarkan data historis. Ini melibatkan pelatihan suatu model pada dataset dan menggunakan model tersebut untuk membuat prediksi pada data baru yang tidak terlihat.

Salah satu aspek penting dari predictive modeling adalah pemilihan fitur, yang melibatkan pemilihan fitur yang paling relevan dari dataset untuk digunakan di dalam model. Seringkali, sifat yang berkorelasi tinggi dengan variabel target adalah lebih disukai karena lebih cenderung memprediksi variabel target.

Z-score dapat digunakan untuk mengidentifikasi sifat-sifat yang berkorelasi tinggi dengan variabel target karena sifat-sifat yang memiliki Z-score yang tinggi adalah lebih memungkinkan untuk memprediksi variabel target. Rumus untuk menghitung Z-score suatu sifat adalah sebagai berikut:

Z = (X - Mean) / Standar Deviasi

di mana X adalah nilai fitur, Mean adalah rata-rata fitur, dan Standard Deviation adalah Standar Deviasi fitur.

Contoh praktis penggunaan Z-score untuk pemodelan prognostik adalah termasuk di bidang keuangan. Saat memprediksi suatu harga saham, Z-score kinerja saham di masa lalu dapat digunakan untuk menentukan potensi pengembaliannya di masa mendatang. Z-score yang tinggi mengidentifikasi bahwa pengembalian saham di masa lalu adalah jauh di atas rata-rata dan dapat diproyeksikan untuk pengembalian yang lebih tinggi di masa mendatang.

Contoh praktis lain dari penggunaan Z-score dalam pemodelan prediktif adalah di bidang perawatan kesehatan. Saat memprediksi hasil dari kesehatan pasien, Z-score dapat digunakan untuk menentukan potensi hasil kesehatan pasien di masa depan. Z-score yang tinggi menunjukkan bahwa hasil kesehatan pasien secara signifikan lebih buruk daripada rata-ratanya dan mungkin akan menunjukkan hasil yang buruk di masa depan.

Menggunakan tabel Z-score

Tabel-z, juga dikenal sebagai tabel normal standar atau tabel normal satuan, adalah sebuah tabel yang berisikan nilai-nilai standar yang digunakan untuk menghitung probabilitas statistik yang diberikan yang berada di bawah, di atas, atau di antara distribusi normal standar.

Untuk menggunakan tabel-z, Anda perlu mencari baris yang sesuai dengan z-score yang Anda hitung dan kemudian carilah kolom yang sesuai yang memberikan Anda area (probabilitas) di bawah kurva normal standar. Nilai yang dihasilkan adalah probabilitas perkiraan bahwa sebuah variabel acak dari distribusi normal standar akan kurang dari atau sama dengan z-score yang Anda hitung.

Misalnya, jika Anda memiliki z-score 1,96, Anda akan mencari di dalam tabel-z untuk baris yang sesuai dengan 1,9 dan kolom yang sesuai dengan 0,06. Nilai yang dihasilkan akan memberikan Anda area di bawah kurva normal standar di sebelah kanan 1,96. Nilai ini kira-kira 0,975, artinya kira-kira 97,5% data dari distribusi normal standar akan kurang dari atau sama dengan 1,96.

Penting untuk dicatat bahwa tabel-z hanya akan berfungsi untuk distribusi normal standar dengan mean 0 dan standar deviasi 1. Jika data Anda tidak mengikuti distribusi ini, Anda harus menstandarkannya terlebih dahulu dengan mengubah data tersebut menjadi z-score.

Menemukan probabilitas dari Z-score

Saat kita mengubah sebuah variabel yang didistribusikan secara normal menjadi z-score, kita dapat menggunakan tabel z-score dan menemukan proporsi area di bawah kurva normal. Area total di bawah kurva normal standar adalah sama dengan 1. Oleh karena itu, proporsi area yang dicakup di dalam kurva normal adalah sama dengan probabilitas z-score tersebut.

Contoh 1

Berat badan para pemain tinju biasanya didistribusikan dengan mean 75 Kg dan standar deviasi 3 Kg. Berapakah probabilitas dari berat badan pemain tinju yang dipilih secara acak;

• a) Lebih dari 78 Kg?
• b) Kurang dari 69 Kg?
• c) Lebih dari 72 Kg?
• d) Kurang dari 79,5 Kg?
• e) Antara 72 Kg dan 76,5 Kg?
• f) Antara 72 Kg dan 73,5 Kg?

a) Berapakah probabilitas berat badan seorang pemain tinju yang dipilih secara acak lebih dari 78 kg?

• X > 78
• µ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

Pertama, kita akan menggambar ini ke dalam kurva Z.

Sekarang kita akan menggunakan tabel-Z untuk menemukan probabilitas yang relevan untuk Z-Score yang dihitung.

Ingatlah bahwa Z-Score selalu memberikan probabilitas antara Z-score dan mean. Untuk mendapatkan probabilitas dari area yang disorot di dalam grafik, kita perlu mengurangi probabilitas tersebut dari 0,5. (Probabilitas total di bawah kurva adalah 1, dan Mean dari distribusi standar sama-sama dipisahkan menjadi 2 bagian. Oleh karena itu, probabilitas dari titik Mean ke salah satu sisi ujungnya adalah 0,5.)

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0,5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0,5 - 0,3413
• P (X > 78) = 0,1587

Oleh karena itu, terdapat probabilitas 0,1587 berat badan pemain yang dipilih secara acak lebih dari 78 Kg.

b) Berapakah probabilitas dari seorang pemain yang dipilih secara acak yang memiliki berat badan kurang dari 69 kg?

• X < 69
• µ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

Pertama, kita akan menggambar ini di dalam kurva Z.

Sekarang kita akan menggunakan Tabel-Z untuk menemukan probabilitas yang relevan untuk Z-Score yang dihitung.

Ingatlah bahwa Z-Score selalu memberikan probabilitas antara Z-score dan mean. Untuk mendapatkan probabilitas area yang disorot di dalam grafik, kita perlu mengurangi probabilitas tersebut dari 0,5.

• P (X < 69) = P (Z < 69)
• P (X < 69) = 0,5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0,5 - 0,4772
• P (X < 69) = 0,0228

Oleh karena itu, terdapat probabilitas 0,0228 berat badan pemain yang dipilih secara acak kurang dari 69 Kg.

c) Berapakah probabilitas berat badan pemain yang dipilih secara acak antara 72 kg dan 76,5 kg?

• 72 < X < 76,5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76,5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76,5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0,5)$$

Pertama, kita akan menggambar ini di dalam kurva Z.

Sekarang kita akan menggunakan tabel-Z untuk menemukan probabilitas yang relevan untuk Z-Score yang dihitung.

Ingatlah bahwa Z-Score selalu memberikan probabilitas antara Z-score dan mean. Untuk mendapatkan probabilitas area yang disorot di dalam grafik, Anda dapat menjumlahkan probabilitas dari 2 Z-score.

• P (72 < X < 76,5) = P (-1 < Z < 0,5)
• P (72 < X < 76,5) = 0,3413 + 0,1915
• P (72 < X < 76,5) = 0,5328

Oleh karena itu, terdapat probabilitas 0,5328 berat badan pemain yang dipilih secara acak antara 72 Kg dan 76,5 Kg.

Dalam hal ini, Anda harus menggunakan kalkulator Probabilitas antara Dua Z-score untuk menemukan jawabannya dengan cepat.

Menemukan Nilai yang Sesuai untuk Probabilitas yang Ditentukan

Ketika kita mengetahui bahwa distribusinya adalah normal, kita dapat menemukan nilai yang sesuai untuk probabilitas tertentu berdasarkan Z-Score.

Contoh 2

Nilai pelamar pada ujian kompetitif adalah kira-kira didistribusikan secara normal, dengan rata-rata 55 dan standar deviasi 10. Jika 30% pelamar teratas lulus ujian, carilah skor kelulusan minimumnya.

Solusi

Dalam hal ini, pertama-tama kita harus menemukan Z-score yang sesuai untuk probabilitas atau persentase yang diberikan.

Untuk menemukan Z-Score, sebenarnya kita perlu mencari probabilitas pada area yang disorot.

Probabilitas tersebut diperoleh dengan mengurangi 0,30 dari 0,50. Oleh karena itu, probabilitas area yang disorot adalah 0,20.

Sekarang, pada tabel-Z, kita harus mencari probabilitas yang terdekat dengan 0,20. Z-Score yang sesuai adalah 0,524.

Kemudian, kita harus mencari nilai X dengan menggunakan rumus Z-Score.

• Z = (X - μ)/σ
• 0,524 = (X - 55)/10
• X = (0,524 × 10) + 55
• X = 60,24

Oleh karena itu, nilai kelulusan minimum untuk ujian tersebut adalah 60,24.