Calcolatore della Distanza

Questo calcolatore trova la distanza tra due punti su un piano se sono note le coordinate dei punti. Il calcolatore opera in uno spazio bidimensionale.

Poiché una linea retta rappresenta la distanza più breve tra 2 punti, questo calcolatore può essere utilizzato anche come calcolatore della lunghezza di una linea.

Istruzioni per l'uso

Il calcolatore trova la distanza tra il punto 1 con coordinate (X₁, Y₁) e il punto 2 con coordinate (X₂, Y₂).

Per trovare la distanza tra due punti, inserisci le loro coordinate nei campi corrispondenti. Le coordinate di input devono essere inserite nel modo seguente:

• Una virgola deve separare le due coordinate di ogni punto; ad esempio, inserisci “4,5” nel campo (X₁, Y₁) per avere il punto 1 con coordinata x di 4 e coordinata y di 5. Se una delle coordinate è rappresentata da un decimale, usa il punto decimale per separare la parte intera dal decimale; ad esempio, inserisci “4,5;7” per avere un punto con coordinata x di 4,5 e coordinata y di 7.
• Puoi usare solo numeri interi e decimali come coordinate dei punti. Le frazioni non sono accettate.
• Gli spazi tra le coordinate non sono necessari, ma puoi usarli a tua convenienza.

Dopo aver inserito le coordinate, premi “Calcola”. Il calcolatore restituirà la risposta finale e l'algoritmo dettagliato della soluzione.

Formula della distanza

In un piano bidimensionale, la distanza d tra il punto 1 con coordinate (X₁, Y₁) e il punto 2 con coordinate (X₂, Y₂) può essere trovata con l'aiuto della seguente formula:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

O, in altre parole: la distanza tra 2 punti in uno spazio bidimensionale può essere trovata come la radice quadrata della somma delle differenze al quadrato delle coordinate corrispondenti. Questa formula è nota come formula della distanza euclidea. Pertanto, questo calcolatore può anche essere chiamato calcolatore della distanza euclidea.

Derivazione della formula della distanza euclidea

Per derivare la formula, osserviamo i due punti dati sul piano delle coordinate (X, Y):

Per trovare la distanza tra il punto 1 e il punto 2, disegniamo una linea verticale verso il basso dal punto 2 e una linea orizzontale a destra dal punto 1. Le due linee disegnate e la distanza necessaria formeranno un triangolo rettangolo. Il lato verticale di questo triangolo sarà formato dalla distanza verticale tra il punto 1 e il punto 2: Y₂ – Y₁. Il lato orizzontale del triangolo sarà formato dalla distanza orizzontale tra i due punti: X₂ – X₁. L'ipotenusa di questo triangolo rappresenta la distanza necessaria tra i punti. Quando sono note le lunghezze dei lati del triangolo rettangolo, la lunghezza dell'ipotenusa può essere trovata con l'aiuto del teorema di Pitagora:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Esempi di calcolo

Esempio 1

Trova la distanza tra il punto 1 con (X₁, Y₁) = (3, 1) e il punto 2 con (X₂, Y₂) = (5, 7). Sostituendo i valori di X₁, Y₁, X₂, Y₂ nella formula della distanza euclidea, otterremo:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Nota che cambiare l'ordine dei punti non cambia il risultato finale, poiché le differenze tra le coordinate sono al quadrato. Ripetiamo il calcolo precedente, assumendo che (X₁, Y₁) = (5, 7) e (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Esempio 2

Vediamo un esempio con coordinate negative e troviamo la distanza tra il punto 1 con (X₁, Y₁) = (-4, 2) e il punto 2 con (X₂, Y₂) = (6, -6). Sostituendo i valori di X₁, Y₁, X₂, Y₂ nella formula della distanza euclidea, otterremo:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Esempi della vita reale

Come mostrato sopra, la formula della distanza euclidea si basa sul teorema di Pitagora. Tuttavia, adatta il teorema a situazioni in cui sono note solo le coordinate dei punti (anziché le lunghezze dei lati del triangolo utilizzate dal teorema di Pitagora). La formula è utile quando le distanze devono essere calcolate dalle coordinate su una mappa o un grafico. Viene anche utilizzata per calcolare le magnitudini di numeri complessi e vettori.

Esempio 3

Immagina una scala appoggiata a un muro. In questa situazione, il pavimento rappresenta l'asse x del piano 2D e il muro rappresenta l'asse y, come mostrato nell'immagine sottostante. Se la scala tocca il muro al punto (0, 2) e tocca il pavimento al punto (3, 0), trova la lunghezza della scala.

Soluzione

Per trovare la lunghezza della scala in un piano bidimensionale formato dal muro e dal pavimento, identifichiamo prima le coordinate degli estremi della scala: X₁, Y₁, X₂, Y₂. Chiamiamo il punto in cui la scala tocca il muro – punto 1 (X₁, Y₁), e il punto in cui la scala tocca il pavimento – punto 2 (X₂, Y₂). Sappiamo che la scala tocca il muro al punto con le coordinate (0, 2). Quindi, (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

Notare come X₁ = 0, chiaramente illustrato dall'immagine sopra, dove il punto (0, 0) corrisponde al punto fisico in cui il muro incontra il pavimento, rendendo impossibili valori negativi di X e Y.

Inoltre, sappiamo che la scala tocca il pavimento al punto con le coordinate (3, 0). Quindi, (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

Anche Y₂ = 0 poiché queste coordinate corrispondono al punto direttamente sul pavimento. Ora usiamo la formula della distanza per calcolare la lunghezza della scala:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Risposta

La lunghezza della scala è di 3,6.

Distanza nello spazio tridimensionale

La distanza euclidea è ciò che la maggior parte delle persone intende per "distanza". Quando diciamo che un oggetto è a 5 metri da noi, è la distanza euclidea che abbiamo in mente. La formula della distanza descritta sopra può essere facilmente estesa a 3 (o anche più) dimensioni.

In uno spazio tridimensionale, la distanza tra il punto 1 con coordinate (X₁, Y₁, Z₁) e il punto 2 con coordinate (X₂, Y₂, Z₂) può essere calcolata come la radice quadrata della somma delle differenze al quadrato tra le coordinate corrispondenti:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$