Calcolatore della Formula Quadratica

Utilizzo di un Calcolatore della Formula Quadratica

Questo calcolatore è uno strumento facile da usare che risolve equazioni quadratiche. In algebra, un'equazione quadratica è qualsiasi equazione che può essere scritta nella forma seguente:

ax²+bx+c=0

dove

a≠0

Per utilizzare il calcolatore della formula quadratica, inserisci i valori di A, B e C nei campi corrispondenti e premi "Calcola". Il valore di A non può essere zero, mentre zero è un input accettabile per B e C. Per radici reali e complesse, il calcolatore utilizzerà la formula quadratica per determinare tutte le soluzioni di una data equazione. Dopo aver utilizzato la formula quadratica, il calcolatore semplificherà anche il radicale risultante per trovare le soluzioni nella loro forma più semplice.

Risolvere equazioni quadratiche utilizzando la formula quadratica

Puoi risolvere qualsiasi equazione quadratica con la formula quadratica. Per usare la formula quadratica, dovresti prima portare l'equazione data alla seguente forma: ax²+bx+c=0. Quindi, le soluzioni possono essere trovate come segue:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

La parte dell'equazione sotto la radice quadrata, b²-4ac, è chiamata discriminante.

• Se il discriminante è positivo, b²-4ac>0, l'equazione avrà due radici reali.
• Se il discriminante è negativo, b²-4ac<0, l'equazione avrà due radici complesse poiché la radice quadrata di un numero negativo è un numero complesso.
• Se il discriminante è uguale a zero, b²-4ac=0, l'equazione avrà solo una radice.

Il calcolatore dell'equazione quadratica visualizzerà le soluzioni delle equazioni inserite e il flusso di lavoro per trovare queste soluzioni. Il calcolatore calcolerà anche il discriminante e dimostrerà se è positivo, negativo o uguale a zero.

Esempi pratici

Esempio 1 (con radici reali)

Risolviamo l'equazione quadratica:

2x²+3x-2=0

In questo esempio

a=2, b=3, c=-2.

Utilizzando la formula quadratica per questi valori, otteniamo:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Il discriminante di questa equazione è positivo,

b²-4ac=25>0

Pertanto, l'equazione avrà due radici reali.

Ora semplifichiamo il radicale risultante:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ e\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ e\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ e\ \ \ x=-2$$

Infine

x=0,5

x=-2

Esempio 2 (con radici complesse)

Risolviamo la seguente equazione quadratica:

x²+2x+5=0

In questo esempio

a=1, b=2, c=5

Utilizzando la formula quadratica per questi valori, otteniamo:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Il discriminante di questa equazione è negativo,

b²-4ac=-16<0

Pertanto, l'equazione avrà due radici complesse.

Ora semplifichiamo il radicale risultante:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Infine,

x=-1+2i

x=-1-2i

Esempio 3 (con una radice)

Risolviamo la seguente equazione quadratica:

3x²+6x+3=0

In questo esempio

a=3, b=6, c=3

Utilizzando la formula quadratica per questi valori, otteniamo:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Il discriminante di questa equazione è uguale a zero, b²-4ac=0. Pertanto, l'equazione avrà una radice.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Infine,

x=-1

Derivazione della formula quadratica

Come dimostrato sopra, puoi utilizzare la formula quadratica per risolvere assolutamente qualsiasi equazione quadratica, indipendentemente dal fatto che il discriminante sia positivo, negativo o uguale a zero. Ora esaminiamo come può essere derivata. Conoscere i principi di base della derivazione della formula può essere molto utile nel caso tu dimentichi la formula stessa.

L'algoritmo di derivazione della formula quadratica è relativamente semplice e si basa sulla procedura di completamento del quadrato. Per derivare le soluzioni dell'equazione quadratica standard ax²+bx+c=0, devi seguire i passaggi seguenti:

1. Abbiamo un'equazione:

ax²+bx+c=0

Sposta la costante C sul lato destro dell'equazione:

ax²+bx=-c

2. Elimina il coefficiente A accanto al termine quadrato x². Per farlo, dividi l'equazione per A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Aggiungi

$$(\frac{b}{2a})^2$$

ad entrambi i lati dell'equazione:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Il lato sinistro ora ha la forma

x²+2dx+d²

Questa espressione può essere riscritta come

(x+d)²

Nella nostra equazione, d è espresso come

$$\frac{b}{2a}$$

Quindi:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Sostituisci questo nel lato sinistro della nostra formula e lascia il lato destro inalterato per ora:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Ora la radice x appare solo una volta nell'equazione.

5. Estrai la radice quadrata da entrambe le parti dell'equazione:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Sposta $\frac{b}{2a}$ sul lato destro dell'equazione:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Moltiplica il lato destro dell'equazione per

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Semplifica l'equazione:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Come risultato, otteniamo una formula quadratica:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Fatti interessanti sull'equazione quadratica

• La somma delle due radici dell'equazione quadratica è

$$\frac{-b}{a}$$

Di conseguenza, se il discriminante dell'equazione quadratica b²-4ac è uguale a zero, puoi trovare l'unica radice dell'equazione come

$$\frac{-b}{2a}$$

• Il prodotto delle due radici dell'equazione quadratica è

$$\frac{c}{a}$$

• Il termine "quadratico" deriva dalla parola latina "quadratus", che significa "quadrato". L'equazione è stata chiamata quadratica poiché il grado massimo della variabile è 2, cioè la variabile è "elevata al quadrato".

• La formula quadratica nella sua forma attuale fu descritta già nel 628 d.C. dal matematico indiano Brahmagupta, che non usava simboli ma discuteva la soluzione usando le parole. Brahmagupta, tuttavia, descrisse solo una delle due possibili soluzioni, omettendo l'importante segno ± prima della radice quadrata.

• Il grafico di una funzione quadratica y=ax²+bx+c è una parabola. Le soluzioni, o radici, dell'equazione quadratica sono in realtà le coordinate delle intersezioni del grafico con l'asse x. Se l'equazione ha due radici reali, il grafico interseca l'asse x due volte. Se l'equazione ha solo una radice, il grafico della parabola corrispondente tocca solo l'asse x nel suo massimo o minimo. Se l'equazione non ha radici reali, il grafico della parabola corrispondente non interseca affatto l'asse x.

• Quando il valore del coefficiente del termine quadrato, A, si avvicina a zero, il grafico della parabola corrispondente diventa più piatto, tendendo infine a diventare una linea retta. Quando a=0, l'equazione diventa lineare e la rappresentazione grafica di essa è ovviamente una linea retta!

• Allo stesso modo, quando a>0, la parabola sarà rivolta verso l'alto. Se a<0, la parabola corrispondente si aprirà verso il basso. Se a=0, la "parabola" è piatta, cioè è una linea retta.

Le equazioni quadratiche sono ampiamente utilizzate in tutte le aree della scienza. Ad esempio, in fisica, le equazioni quadratiche vengono utilizzate per descrivere il moto dei proiettili.