Calcolatore di Combinazioni

Ci sono diverse strategie per determinare il numero di modi per scegliere oggetti da un dato insieme in matematica. In quanti modi possiamo scegliere r risultati da n possibilità? Dipende se l'ordine è importante o no e se i valori possono ripetersi o no.

Il numero di modi di scegliere r risultati non ordinati da n possibilità è noto come combinazione ed è scritto come C(n, r). È conosciuto anche come coefficiente binomiale. Questo calcolatore ti permette di calcolare la combinazione di r oggetti da un insieme di n oggetti.

Le regole per usare il calcolatore di combinazioni

Per un dato insieme di oggetti, esiste un certo numero di modi per organizzare o selezionare alcuni o tutti questi secondo un certo ordine o specifica. Il calcolatore computa il numero di modi di selezionare r oggetti da un insieme di n oggetti senza ripetizione e quando l'ordine non importa. Il calcolatore richiede due input:

• n = numero di oggetti distinti tra cui scegliere, e
• r = numero di posizioni da riempire.

Un criterio essenziale per inserire i dati nel calcolatore di combinazioni è che

$$0 ≤ r ≤ n$$

Se inserisci un numero r che è maggiore di n, verrà stampato un messaggio

"Per favore inserisci 0 ≤ r ≤ n".

Il principio fondamentale del conteggio

Il Principio Fondamentale del Conteggio ci guida nel trovare i modi per compiere diverse attività. Ci sono due regole fondamentali del conteggio.

La regola della somma

La prima attività può essere fatta in m modi, e la seconda attività può essere fatta in n modi. Se le attività non possono essere fatte simultaneamente, il numero di modi possibili può essere contato come (m + n).

La regola del prodotto

La prima attività può essere fatta in m modi e la seconda attività può essere fatta in n modi. Se entrambe le attività possono essere fatte simultaneamente, allora ci sono (m × n) modi di eseguirle.

Esempi

La caffetteria vende 3 tipi di torte e 4 tipi di bevande. Tra queste ci sono torta di mele, torta di fragole e torta di mirtilli. E succo di arancia, uva, ciliegia e ananas. Sia le bevande che le torte vengono vendute a $ 2. Hai solo $ 2 con te e nemmeno un centesimo in più. Quindi hai 3 + 4 = 7 opportunità per fare una scelta particolare.

Supponiamo che tu voglia contare il numero di modi per lanciare una moneta e tirare un dado. Il numero di modi in cui puoi lanciare una moneta è 2 poiché una moneta ha 2 facce. Allo stesso modo, ci sono 6 modi possibili in cui puoi tirare un dado. Poiché puoi fare entrambe le attività simultaneamente, allora ci sono 2 × 6 = 12 modi in cui puoi lanciare una moneta e tirare un dado.

Se vuoi estrarre 2 carte da un mazzo di 52 carte senza rimpiazzarle, allora ci sono 52 modi per estrarre la prima e 51 modi per estrarre la seconda. Quindi, il numero di modi per estrarre due carte è 52 × 51 = 2.652.

Spazi campionari

Uno spazio campionario è un elenco di tutti i possibili esiti ed è denotato dalla lettera maiuscola S. Lo spazio campionario per lanciare una moneta e tirare un dado simultaneamente è

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Ci sono dodici modi possibili. I principi del conteggio ci permettono di capire il numero di modi di sperimentare senza doverli elencare tutti.

Combinazione

Il numero di modi possibili per scegliere r risultati non ripetitivi da n possibilità quando l'ordine è irrilevante è noto come combinazione. La combinazione di oggetti è scritta come C(n, r). È conosciuta anche come coefficiente binomiale. La formula della combinazione è definita come

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Il segno ! dopo un numero o lettera indica che stiamo utilizzando il fattoriale di qualche numero. Per esempio, n! è il fattoriale del numero n - ovvero il prodotto dei numeri naturali da 1 a n. Il fattoriale del numero 2 è 1 × 2. Il fattoriale del numero 3 è 1 × 2 × 3. Il fattoriale del numero 4 è 1 × 2 × 3 × 4. Il fattoriale del numero 5 è 1 × 2 × 3 × 4 × 5 e così via. Il fattoriale può essere calcolato solo per interi non negativi.

Una caratteristica essenziale del calcolo della combinazione usando questa formula è che la ripetizione degli oggetti non è consentita e l'ordine di disposizione non conta.

Esempio 1

Supponi di avere un insieme di quattro numeri

{1, 2, 3, 4}

In quanti modi possiamo combinare due elementi da questo insieme se lo stesso elemento non può essere ripetuto in una coppia?

Se l'ordine degli elementi conta, otteniamo gruppi formati da permutazioni:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Se l'ordine non conta - otteniamo gruppi formati da combinazioni:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Ci sono 6 combinazioni possibili. Puoi usare la formula per trovare il numero di tutte le possibili combinazioni. Per questo esempio, $n=4$, $r=2$. Quindi,

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2 × 1)(2 × 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Questo è esattamente ciò che il Calcolatore di Combinazioni calcola.

Esempio 2

Quali sono le combinazioni delle lettere A, B, C e D in un gruppo di 3? Ci sono 24 possibili permutazioni quando l'ordine è importante. Nel conteggio combinatorio, l'ordine è irrilevante. Pertanto, solo la prima riga è rilevante, cioè, ci sono 4 combinazioni possibili.

Piuttosto che elencare tutti i possibili arrangiamenti, possiamo calcolare il numero di possibili arrangiamenti (nei quali l'ordine non è importante) usando la formula della combinazione sopra. Qui, ci sono n=4 oggetti, e ne stai prendendo r=3 alla volta. Quindi,

$$C(n,r)=C(4,3)=\frac{4!}{(4-3)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutazione

La permutazione definisce il numero di modi per organizzare oggetti quando l'ordine degli oggetti è importante. La formula per la permutazione quando si selezionano r oggetti da un elenco di n oggetti è la seguente:

$$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

Le due caratteristiche principali del calcolo delle permutazioni usando questa formula sono che la ripetizione degli oggetti non è consentita e che l'ordine degli oggetti è importante.

Esempio 3

Supponiamo che ci siano 4 candidati in un colloquio di lavoro. Il compito della commissione di selezione è di classificare i candidati da 1 a 4. Ecco le possibilità:

• 1° candidato - ci sono 4 modi per scegliere
• 2° candidato - ci sono 3 modi per scegliere
• 3° candidato - ci sono 2 modi per scegliere
• 4° candidato - c'è solo un modo per scegliere

La regola del prodotto dà il numero totale di modi per scegliere, ovvero 4 × 3 × 2 × 1 = 24 che è lo stesso di 4!.

Diciamo che i candidati siano

{A, B, C, D}

Lo spazio campionario del problema, mostrando tutte le possibili permutazioni, è mostrato di seguito:

Piuttosto che elencare tutti gli arrangiamenti possibili come mostrato nella tabella sopra, possiamo calcolare il numero di possibili arrangiamenti usando la formula di permutazione. Per l'esempio sopra, ci sono n = 4 oggetti, e prendi r = 4 elementi alla volta. Quindi,

$$P(n,r)=P(4,4)=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

La Differenza tra Combinazioni e Permutazioni

La principale differenza tra combinazioni e permutazioni è che nelle combinazioni l'ordine degli elementi non è importante, mentre nelle permutazioni l'ordine degli elementi è importante.