Calcolatore di Dimensione del Campione

Il calcolatore di dimensione del campione ha due componenti. Il primo componente serve a calcolare la dimensione del campione, mentre il secondo componente determina il margine di errore.

Il primo passo nella determinazione della dimensione del campione è selezionare il livello di confidenza dall'elenco a discesa. In seguito, inserisci il margine di errore relativo. Puoi convertire il margine di errore da assoluto a relativo dividendo il valore assoluto dalla stima puntuale.

Quindi, se conosci la proporzione della popolazione, inseriscila. Altrimenti, mantienila al 50%. Inserisci la dimensione della popolazione nell'ultima cella se la conosci; altrimenti, lasciala vuota. Infine, clicca su "Calcola".

Usa il secondo componente del calcolatore per ottenere il margine di errore. Come primo passo, scegli un livello di confidenza dal menu a discesa. Inserisci la dimensione del campione dello studio nella seconda cella. In seguito, inserisci la proporzione della popolazione. Inserisci la dimensione della popolazione nell'ultima cella. Se non conosci la dimensione della popolazione, lascia quella cella vuota. Infine, clicca su "Calcola".

Campione

Una parte o una porzione della popolazione è nota come campione. La popolazione si riferisce a tutti gli elementi di interesse in uno specifico studio. Studiare ogni elemento della popolazione del tuo studio scelto è il modo ideale per esaminare la popolazione. Tuttavia, a causa di molti fattori, spesso è impraticabile esaminare ogni singolo elemento della popolazione. Ad esempio, se la tua ricerca riguarda gli insetti nella giungla, la popolazione è illimitata. Pertanto, non puoi studiare l'intera popolazione. A volte, durante i test, gli elementi del tuo studio possono essere distrutti.

Per esempio, quando apri e controlli il volume di una bottiglia di bibita sigillata, non puoi inviare quella bottiglia di bibita al mercato.

Hai bisogno di molto tempo, denaro e altre risorse per esaminare l'intera popolazione. Nella maggior parte dei casi, devi completare la tua ricerca con tempo, denaro e altre risorse limitate. Investigare l'intera popolazione è impraticabile nella maggior parte dei casi. La soluzione è scegliere un campione e fare la ricerca.

Margine di errore

La maggior parte delle volte, non possiamo esaminare tutti i componenti di una popolazione. Pertanto, le statistiche campionarie (misure calcolate dal campione) sono spesso utilizzate per stimare i parametri della popolazione (misure calcolate dalla popolazione). Le statistiche campionarie derivano dai dati reali osservati o misurati dal campione. Si parla di stima puntuale quando si stima un singolo numero per un parametro della popolazione.

Ad esempio, se vuoi stimare il volume medio di una bottiglia di bibita in una linea di produzione, puoi scegliere un lotto casuale e trovare il volume medio di quel lotto. Immaginiamo che quel lotto abbia un volume medio x̄ di 250 ml. Quindi, stimeresti che ogni bottiglia sulla linea di produzione contenga un volume medio \$(\hat{μ})\$ di 250 ml.

Nella pratica, il parametro effettivo e quello stimato non sono uguali. La differenza sorge dalla stima del parametro utilizzando un campione anziché l'intera popolazione.

Il margine di errore è definito come la massima differenza probabile tra la stima puntuale di un parametro e il suo valore effettivo. Questo è spesso definito come l'errore massimo della stima.

Intervallo di Confidenza

L'intervallo di confidenza rappresenta il range delle stime. Il range delle stime o intervalli di confidenza suggerisce che il parametro è stato stimato entro un specifico margine di errore. Per determinare il limite inferiore dell'intervallo di confidenza, il margine di errore viene sottratto dalla stima puntuale. Per determinare il limite superiore dell'intervallo di confidenza, il margine di errore viene aggiunto alla stima puntuale.

Interconnessione tra Campione in Statistica, Margine di Errore e Intervallo di Confidenza

Invece di ricercare l'intera popolazione, studiamo un campione per stimare i parametri della popolazione. Di conseguenza, potrebbe esserci una differenza tra il parametro stimato della popolazione e il parametro effettivo della popolazione. Il margine di errore è la massima differenza probabile tra la stima puntuale di un parametro e il suo valore effettivo. Inoltre, esiste un legame inverso tra la dimensione del campione e il margine di errore. Una dimensione del campione più grande risulterà in una rappresentazione più accurata della popolazione, che abbasserà il margine di errore. Allo stesso modo, ridurre la dimensione del campione aumenta il margine di errore.

L'intervallo di confidenza sarà ottenuto quando si applica questo margine di errore alla stima puntuale.

Formula per calcolare la Dimensione del Campione

Sono disponibili diverse formule per calcolare la dimensione del campione a seconda delle informazioni disponibili.

Il livello di confidenza desiderato determina il grado di accuratezza, mentre l'intervallo massimo sul margine di errore determina il grado di precisione che vogliamo raggiungere con la nostra stima dell'intervallo.

Possiamo calcolare la dimensione minima del campione necessaria per ottenere l'intervallo di confidenza desiderato se conosciamo anche la deviazione standard della popolazione utilizzando la formula seguente.

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

Il risultato finale n deve essere arrotondato al numero intero più vicino.

La formula di Cochran ti permette di determinare la dimensione minima del campione in base al livello desiderato di margine di errore, livello di confidenza desiderato e la proporzione prevista dell'attributo presente nella popolazione. La formula di Cochran è,

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = Valore Z dalla tabella z basato sul livello di confidenza desiderato
• p = La proporzione prevista dell'attributo presente nella popolazione
• E = Margine di errore

Esempio 1

Immagina che stiamo studiando gli studenti internazionali iscritti ai corsi di laurea in Canada. Inizialmente, non disponiamo di molte informazioni. Pertanto, assumiamo che gli studenti internazionali costituiscano il 60% di tutti gli studenti universitari in Canada. Di conseguenza, la proporzione stimata dell'attributo nella popolazione è del 60%. Desideriamo un livello di confidenza del 95% e un margine di errore del 4%. Quanti studenti devono essere inclusi nella dimensione minima del campione dello studio?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1.96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1.96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Quindi, un minimo di 577 studenti deve essere incluso nello studio per ottenere un livello di confidenza del 95% e un margine di errore del 4%.

La formula sopra è utilizzata quando la dimensione della popolazione è grande o infinita. Se la dimensione della popolazione è piccola o finita, allora dobbiamo regolare la dimensione del campione. La dimensione del campione è regolata utilizzando la formula seguente.

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = La dimensione del campione calcolata dalla formula di Cochran
• N = Dimensione della popolazione
• n = Dimensione del campione regolata per la popolazione finita

Esempio 2

Immagina che stiamo studiando gli studenti internazionali iscritti ai corsi di laurea triennale nel tuo college in Canada. Inizialmente, non disponiamo di molte informazioni. Pertanto, assumiamo che gli studenti internazionali costituiscano il 60% di tutti gli studenti universitari nel tuo college. Di conseguenza, la proporzione stimata dell'attributo nella popolazione è del 60%. Il numero totale di studenti nel tuo college è 12.000. Desideriamo un livello di confidenza del 95% e un margine di errore del 4%. Quanti studenti devono essere inclusi nella dimensione minima del campione dello studio?

In questo caso, devi prima calcolare n₀ usando la formula di Cochran e poi regolare la dimensione del campione poiché la popolazione è finita.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1,96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{12.000}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12.000}\right)}=549,88\approx550$$

Con un calcolatore della dimensione minima del campione, puoi completare i suddetti calcoli complessi in meno di un secondo.

Formula per calcolare il Margine di Errore

Puoi riorganizzare la formula della dimensione del campione per trovare la formula del margine di errore.

Sappiamo che la formula della dimensione minima del campione è,

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Rendiamo E o il margine di errore il soggetto della formula sopra.

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Esempio 3

Immagina che stiamo studiando gli studenti internazionali iscritti ai corsi di laurea triennale in Canada. Inizialmente, non disponiamo di molte informazioni. Pertanto, assumiamo che gli studenti internazionali costituiscano il 60% di tutti gli studenti universitari in Canada. Di conseguenza, la proporzione stimata dell'attributo nella popolazione è del 60%. Diciamo che desideriamo un livello di confidenza del 95% e hai selezionato 577 studenti per la tua ricerca. Qual è il margine di errore del tuo studio?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Se la popolazione è finita, devi prima trovare n₀ usando la formula seguente.

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Quindi, applica la risposta nella formula seguente per trovare il margine di errore:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Il secondo componente del calcolatore della dimensione minima del campione ti aiuta a saltare tutti questi passaggi e calcolare il margine di errore in meno di un secondo.

Formula per calcolare l'intervallo di confidenza

L'intervallo di confidenza è semplice da determinare se conosci il margine di errore. La formula mostrata di seguito è usata per calcolare l'intervallo di confidenza.

Intervallo di confidenza = Stima puntuale ± Margine di errore

Limite superiore dell'intervallo di confidenza = Stima puntuale + Margine di errore

Limite inferiore dell'intervallo di confidenza = Stima puntuale - Margine di errore

L'intervallo di confidenza per la media μ è,

x̄ - E < μ < x̄ + E

x̄ - E è il limite inferiore, e x̄ + E è il limite superiore.

L'intervallo di confidenza per P è,

p - E < P < p + E

Esempio 4

Stai ricercando il costo medio del programma per gli studenti internazionali che studiano in Canada. Hai selezionato 1.000 studenti per il tuo campione e, in base al tuo campione, stimi che il costo medio del programma per gli studenti internazionali che studiano in Canada sia di CAD 20.000. Il margine di errore è di CAD 5.000. Trova l'intervallo di confidenza per il costo medio del programma degli studenti internazionali che studiano in Canada.

Limite superiore = x̄ + E = CAD 20.000 + CAD 5.000 = CAD 25.000

Limite inferiore = x̄ - E = CAD 20.000 - CAD 5.000 = CAD 15.000

Pertanto, l'intervallo di confidenza è,

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15.000 < μ < CAD 25.000