Calcolatore di Modulo

L'operazione di modulo è un metodo per trovare il resto di una divisione. La particolarità del modulo è che restituisce il resto come un numero intero.

Immagina di avere tre bambini. Compri una scatola di caramelle che ne contiene 20. Vorresti dividere tutte le caramelle in modo equo tra i tuoi figli. E mangiare da solo la caramella rimasta senza doverla tagliare o spezzare. I tuoi figli sono ancora a scuola. Quindi puoi determinare prima il resto rimasto dopo la divisione e mangiare il tuo numero di caramelle.

Questo è il caso in cui puoi usare l'operatore di modulo. Può anche essere rappresentato come il segno % o mod. Per operazioni con numeri piccoli, puoi eseguire calcoli nella tua testa. Se lavori con numeri grandi, ti sarà più comodo usare un calcolatore di modulo.

L'equazione può essere rappresentata come segue:

Dividendo = (Quoziente × Divisore) + Resto

Nel nostro caso:

• il dividendo è 20 (la quantità totale di caramelle);
• il divisore è 3 (il numero di bambini);
• il quoziente è 6 (il numero di caramelle per ogni bambino);
• il resto è 2 (il numero di caramelle che puoi prendere per te stesso).

Se usi l'operazione di modulo, puoi scriverla nella seguente forma:

x % y = r

oppure

x mod y = r

Dove x è il dividendo, y è il divisore, e r è il resto.

Nel nostro caso,

20 % 3 = 2

Calcoli Senza un Calcolatore di Modulo

Prendiamo un caso specifico come esempio.

Esempio

Wayan vive a Bali e sta costruendo una piccola pensione con sei unità abitative. Sta per piastrellare i bagni. Il suo vicino, Gede, che ha già finito di costruire il suo hotel, offre a Wayan un notevole sconto per acquistare le piastrelle rimanenti.

Il vicino ha contato 15 scatole nel suo magazzino, ognuna contenente 4 piastrelle (60 × 60 cm) e due piastrelle separatamente. Quindi in totale 62 piastrelle. E Gede vuole vendere tutte le piastrelle in una volta.

Ora Wayan deve capire quanti bagni sarà in grado di pavimentare con queste piastrelle. E quante piastrelle potrebbero rimanere inutilizzate?

Come trovare il modulo manualmente senza alcun calcolatore di modulo?

Wayan ha misurato le dimensioni di un bagno standard nella sua pensione e ha realizzato che aveva bisogno di circa 14 piastrelle per stanza.

Facciamo i calcoli manuali!

1. Decidi un numero di partenza o dividendo. Nel nostro caso, sono 62, o il numero di piastrelle che il vicino offre.
2. Determina il divisore. Questo è 14, il numero medio di piastrelle per un bagno standard.
3. Dividi il dividendo per il divisore e arrotonda il risultato a un numero intero. 62 / 14 = 4,428571428571429 o 4. Quindi Wayan può usare le piastrelle per quattro bagni.
4. Moltiplica il risultato arrotondato della divisione per il divisore. E quello è 4 × 14 = 56. Questo sarà il numero di piastrelle per quattro stanze.
5. Sottrai questo risultato della moltiplicazione dal dividendo originale. Cioè 62 - 56 = 6. Questo lascia a Wayan sei piastrelle extra.

In modo semplificato e abbreviato, possiamo scrivere questa operazione come:

62 % 14 = 6

oppure

62 mod 14 = 6

Wayan ha deciso che questa è una buona opzione perché dovrebbe prendere una riserva di piastrelle di circa il 10% per i lavori di piastrellatura in caso di rifilature o incomprensioni. E comprerà le piastrelle per gli altri due bagni in un negozio di materiali da costruzione locale.

Un calcolatore di modulo potrebbe fornire questo risultato in pochi secondi.

Dimostrazione dell'Orologio del Principio di Modulo

Un tipo di matematica chiamata "aritmetica modulare" tratta di strutture cicliche. Il modo più semplice per rappresentare ciò è un quadrante con un ciclo di 12. Per un matematico, il quadrante ha modulo 12.

Se vuoi sapere se puoi dividere 251 ore per giorni senza resto, puoi applicare l'operazione

251 mod 24

Il risultato è 11, quindi la risposta è no! Possiamo rispondere "sì" solo se il risultato è 0.

Esempio

Daniel vuole prendere un autobus da Atlanta a Miami. Parte alle 13:00 e il viaggio dura 15 ore. Che ora sarà quando arriva? Sarà

1 + 15 mod 12

che è 4. Nel suo caso, sarà le 4 del mattino.

Utilizzo del Modulo

Determinare Numeri Pari e Dispari

Uno degli usi più basilari dell'operatore di modulo è determinare se un numero è pari o dispari. Questo è possibile perché x % 2 restituisce sempre 0 o 1. I numeri pari restituiscono sempre 0 perché sono divisibili uniformemente per 2, mentre i numeri dispari restituiscono sempre un resto di 1.

Il caso più comune di utilizzo del modulo nella programmazione è quando si stampa una tabella nell'applicazione e si desidera alternare i colori nelle righe. Potresti voler colorarle di azzurro chiaro e grigio chiaro, quindi controlli il modulo per vedere se ti trovi su una riga pari o dispari.

Conversione di Unità

La conversione di unità è un tipico esempio di utilizzo pratico dell'operazione di modulo. Viene solitamente utilizzato quando vogliamo convertire un'unità più piccola, come minuti, pollici o centimetri, in un'unità più grande, come ore, miglia o chilometri. Numeri decimali o frazionari non sono sempre utili in tali situazioni.

Ad esempio, se vogliamo sapere il numero di ore in 373 minuti, un risultato espresso come 6 ore e 13 minuti potrebbe essere più utile di 6,2166666666666666667 ore.

La divisione standard (arrotondata al numero intero più vicino) determina il numero di ore e l'operazione di modulo viene utilizzata per tenere conto dei minuti rimanenti. Che si tratti di tempo, distanza, pressione, energia o archiviazione dei dati, puoi usare questo approccio generale per convertire le unità.

Determinare un Anno Bisestile

Un altro esempio di utilizzo dell'operatore di modulo è vedere se un anno è bisestile.

Un anno bisestile è un anno del calendario solare che contiene un giorno in più. Il giorno in più in un anno bisestile è il 29 febbraio.

Il 1° gennaio 45 a.C., il dittatore romano Gaio Giulio Cesare introdusse il calendario sviluppato a Roma dagli astronomi alessandrini. Il calendario si basava sul calcolo che un anno astronomico è approssimativamente di 365,25 giorni (365 giorni e 6 ore). Questo calendario fu chiamato calendario Giuliano.

Per equalizzare lo spostamento di sei ore, Cesare introdusse un anno bisestile. Per tre anni consecutivi, c'erano 365 giorni in un anno. E ogni anno, multiplo di quattro, veniva aggiunto un giorno in più in febbraio.

Tuttavia, col passare del tempo, si scoprì che questa regola da sola non era sufficiente.

L'anno tropicale medio (il tempo tra due equinozi vernali) è più accuratamente di circa 365 giorni e 5 ore e 49 minuti. La differenza tra l'anno medio e l'anno del calendario Giuliano (365 giorni e 6 ore) era di circa 11 minuti. Quindi, in circa 128 anni, quei 11 minuti potevano sommarsi a un giorno intero in più.

Per compensare gli errori accumulati ed evitare un simile spostamento in futuro, Papa Gregorio XIII riformò il calendario nel 1582. Aggiunse regole aggiuntive per gli anni bisestili. Gli anni bisestili erano ancora multipli di quattro, ma vennero fatti eccezioni per quegli anni che erano multipli di 100. Tali anni erano anni bisestili solo se erano anche divisibili per 400.

Le regole per determinare l'anno bisestile sono diventate le seguenti:

• Un anno il cui numero è multiplo di 400 è un anno bisestile.
• Il resto degli anni il cui totale è multiplo di 100 non sono anni bisestili (ad esempio, gli anni 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300);
• Il resto degli anni, il cui numero è multiplo di 4, sono anni bisestili.
• Tutti gli altri anni non sono bisestili.

Così, gli anni 1700, 1800 e 1900 non sono anni bisestili, poiché sono multipli di 100 e non di 400. Gli anni 1600 e 2000 sono anni bisestili, in quanto multipli di 400.

Ritorniamo al nostro problema.

Sappiamo che:

• Se un numero di anno mod 4 = 0, e un numero di anno mod 100 ≠ 0 allora è un anno bisestile.
• Se un numero di anno mod 400 = 0, allora è un anno bisestile.
• In qualsiasi altro caso, non è un anno bisestile.

Con un semplice script Python, puoi sapere se un anno è bisestile o no. Sarà così:

anno = int(input('Inserisci anno: '))

if (anno%4 == 0 and anno%100 != 0) or (anno%400 == 0) :

	print(anno, "è un anno bisestile.")

else:

	print(anno, "non è un anno bisestile.")

Applicazioni popolari dell'operatore di modulo nella programmazione includono:

• determinare se qualcosa è pari o dispari;
• eseguire una specifica operazione su ogni N-esimo elemento in una lista;
• limitare il numero a un intervallo;
• ruotare attraverso opzioni limitate (array circolare);
• invertire un numero;
• convertire dati lineari in una matrice;
• determinare se gli array sono versioni ruotate l'uno dell'altro;
• paginazione.

Generatori di numeri casuali

Il matching modulo è spesso usato nell'hardware dei computer e nelle apparecchiature di telecomunicazione per creare numeri di controllo e ottenere numeri casuali in un intervallo limitato, come un generatore di numeri casuali congruenti. Derrick Henry Lemer ha proposto il metodo congruente lineare nel 1949.

Il metodo congruente lineare funziona secondo la formula:

$$X_{n+1} = (a × X_n + c)\mod m$$

Dove:

• m è il modulo,
• a è il moltiplicatore,
• c è l'incremento, e
• X₀ è il valore iniziale.

Ad esempio, per m = 11, X₀ = 9, a = 9, c = 9, otteniamo la seguente serie di numeri casuali:

9, 2, 5, 10, 0, 9, 2, 5, 10, 0, 9

Crittografia

Ai crittografi piace il modulo. Perché quando usato con numeri davvero grandi, si può creare con il modulo qualcosa conosciuto come "funzioni unidirezionali". Queste funzioni speciali rendono facile calcolare qualcosa in una direzione ma non nella direzione opposta.

Se 9 è il risultato di un quadrato, puoi rapidamente determinare che l'input era 3. Puoi immaginare l'intero processo davanti a te dall'inizio alla fine. Se ti dico che 9 è il risultato di mod 29, è più difficile capire cosa c'è nell'input.

Ai crittografi piace questa idea perché possono usare la divisione con il resto per generare numeri primi giganti per creare chiavi crittografiche.

Conclusione

Che tu stia cercando di distribuire oggetti in modo uniforme in una scatola di immagazzinaggio, sapendo se un numero è divisibile per un altro numero, o semplicemente cercando di calcolare il tempo, il modulo è sempre lì. In tutti questi casi, il resto è tanto importante quanto il quoziente nell'operazione di divisione.

A volte il problema in questione è semplice e intuitivo. Tuttavia, è sempre meglio usare il calcolatore di modulo online per trovare la soluzione quando le cose si complicano.