Calcolatore di Pendenza

Calcolatore di Pendenza

Il calcolatore di pendenza è uno strumento online semplice che ti permette di trovare la pendenza di una linea retta. In matematica, la pendenza di una linea è definita come la variazione della coordinata verticale (coordinata y) rispetto alla variazione della coordinata orizzontale (coordinata x).

Notazione Utilizzata

La pendenza è indicata con la lettera m. Il grafico sopra dimostra graficamente tutte le altre notazioni utilizzate nel calcolatore. Il calcolatore di pendenza può eseguire calcoli in due scenari differenti:

1. Quando sono note le coordinate dei due punti sulla linea. Nel grafico, i due punti hanno le coordinate (x₁, y₁) e (x₂, y₂). In questo caso, il calcolatore troverà la pendenza della linea, m.

2. Se conosciamo le coordinate di un punto (x₁, y₁), la distanza d e la pendenza di una linea, il calcolatore troverà le coordinate del secondo punto sulla linea, (x₂, y₂).

In entrambi gli scenari, il calcolatore restituirà anche altre caratteristiche mancanti della linea: la variazione orizzontale ∆x, la variazione verticale ∆y, l'angolo di inclinazione θ, la lunghezza della linea o la distanza, d.

Istruzioni per l'Uso

Prima, identifica i valori noti e scegli il calcolatore appropriato. Se le coordinate dei due punti sono note, seleziona "Se i 2 Punti sono noti".

Se hai solo le coordinate di uno dei punti, per eseguire i calcoli, avrai bisogno di conoscere la distanza, d, e la pendenza della linea, m. In questo caso, scegli "Se 1 Punto e la Pendenza sono noti".

Se i 2 Punti sono Conosciuti

Inserisci le coordinate note dei punti nei campi corrispondenti, poi premi "Calcola". Il calcolatore restituirà le seguenti informazioni:

• la pendenza m,
• l'angolo di inclinazione θ,
• la lunghezza della linea d,
• la variazione orizzontale ∆x,
• la variazione verticale ∆y.

Il calcolatore mostrerà anche le formule utilizzate per trovare la pendenza e tutti gli altri valori caratteristici della linea. Il calcolatore visualizzerà l'equazione corrispondente della linea e traccerà schematicamente la linea per una rappresentazione visiva.

Se 1 Punto e la Pendenza sono Conosciuti

Inserisci le coordinate note del punto, la distanza e la pendenza nei campi corrispondenti. Nota che invece della pendenza, puoi inserire il valore dell'"angolo di inclinazione (theta o θ)". Il valore di θ deve essere inserito in gradi. È necessario inserire solo uno di questi valori (o m o θ). Supponendo che sia m che θ siano inseriti, il calcolatore ignorerà il valore di θ e userà solo la pendenza m per i calcoli.

Premi "Calcola". Il calcolatore restituirà le seguenti informazioni: le coordinate del secondo punto (x₂, y₂), la variazione orizzontale ∆x, la variazione verticale ∆y e la lunghezza della linea d. Se la pendenza m è stata utilizzata per i calcoli, il calcolatore restituirà anche il valore di θ. Se hai utilizzato l'angolo di inclinazione θ per i calcoli, il calcolatore restituirà il valore di m nella risposta. Inoltre, il calcolatore visualizzerà l'equazione corrispondente della linea e traccerà schematicamente la linea per una rappresentazione visiva.

Formula della Pendenza

Come accennato sopra, la pendenza di una linea è definita come la variazione della coordinata verticale (coordinata y) di una linea rispetto alla variazione della coordinata orizzontale (coordinata x):

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

L'equazione sopra è chiamata formula della pendenza. Possiamo usarla per trovare la pendenza di qualsiasi linea data se sono note le coordinate di due punti sulla linea. La pendenza è comunemente indicata come m. È utilizzata per descrivere la direzione della linea, così come la sua ripidità:

• Se la linea sale da sinistra a destra, allora y₂ > y₁ quando x₂ > x₁. La pendenza sarà sempre positiva, m > 0. In questo caso, diciamo che la linea è in aumento.

• Se la linea scende da sinistra a destra, allora y₂ < y₁ quando x₂ > x₁. La pendenza sarà negativa, m < 0. In questo caso, diciamo che la linea è in calo.

• Se la linea è orizzontale, allora y₂ = y₁ e y₂ - y₁ = 0. Allora la pendenza sarà anche zero: m = 0.

• Se la linea è verticale, allora x₂ = x₁ e x₂ - x₁ = 0. La formula della pendenza avrà uno zero al denominatore, e la pendenza è indefinita.

Equazione della Linea

Ogni equazione lineare può essere scritta nella seguente forma:

$$y=mx+b$$

Questa forma di equazione lineare è chiamata forma a pendenza-intercetta. Il grafico di questa equazione sarà una linea retta, dove m è la pendenza della linea. E b è la coordinata in cui il grafico intercetta l'asse delle y. b è talvolta chiamato anche intercetta y della linea, poiché y=b quando x=0.

Quando sono note le coordinate di un punto sulla linea e la pendenza, possiamo scrivere l'equazione della linea nella cosiddetta forma punto-pendenza:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

Questa forma dell'equazione lineare è utile per trovare l'intercetta y di una linea.

Esempio di Calcolo

Supponiamo di conoscere le coordinate dei due punti sulla linea.

Dati:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

Calcoliamo prima la pendenza di questa linea:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

Ora, troviamo gli altri valori caratteristici della linea. Sappiamo che m=tanθ. Pertanto, possiamo trovare l'angolo di inclinazione θ come segue:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)} = arctan\frac{∆x}{∆y} = 71,565051177078°$$

Inoltre,

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

Possiamo trovare la distanza d usando il teorema di Pitagora. Esso afferma che il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze dei cateti del triangolo rettangolo.

Applicando questo teorema al nostro triangolo, otteniamo:

$$d^2=∆x^2+∆y^2$$

Pertanto,

$$d=\sqrt{∆x^2+∆y^2}$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25,298221281347$$

Per trovare l'intercetta y della linea, scriviamo l'equazione della linea nella forma punto-pendenza, sostituendo i nostri valori dati di m, x₁ e y₁:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

Pertanto, y=-2 è l'intercetta y della linea, o, in altre parole, quando x=0, y=-2.

Se y=0:

$$x=\frac{2}{3}=0,66666666666667$$

Il disegno dimostra la linea corrispondente. Nel nostro caso, la pendenza è positiva, m>0, e possiamo vedere che la linea è in aumento - sale da sinistra a destra. Possiamo anche vedere che la linea è piuttosto ripida poiché l'angolo di inclinazione θ ≈ 72°.