Calcolatore di Permutazioni

Il calcolatore di permutazioni calcola il numero di modi in cui puoi disporre n oggetti distinti, prendendo un campione di r elementi alla volta. Ci dice il numero di possibili disposizioni di oggetti in gruppi dove l'ordine di disposizione è importante. Il numero totale di oggetti da disporre è denotato con n, mentre il numero di elementi in ogni gruppo è denotato con r.

Per esempio, se vogliamo disporre le lettere XYZ in gruppi di due lettere ciascuno, avremo XY, XZ, YZ, YX, ZX e ZY: 6 modi.

Per usare questo calcolatore, inserisci n, il numero totale di oggetti da disporre in un certo ordine, e inserisci r, il numero di elementi in ogni gruppo, e poi clicca su "Calcola".

Permutazioni

Una permutazione di un insieme è una disposizione dei suoi membri in una sequenza o un ordine particolare. Se un insieme è già ordinato, è una permutazione dei suoi elementi. Per una permutazione, l'ordine degli elementi è importante. Per esempio, le permutazioni AB e BA sono due permutazioni diverse. Il numero di permutazioni di n oggetti in campioni di r oggetti è denotato come nPr.

Il calcolo del numero di permutazioni dipende dagli oggetti che vengono disposti. Dipende anche dal fatto che le ripetizioni siano permesse o meno. A meno che non sia diversamente indicato, assumiamo che le ripetizioni non siano permesse quando si calcolano le permutazioni.

In questo articolo esamineremo esempi di permutazioni senza ripetizioni.

Le permutazioni seguono il principio fondamentale del conteggio. Afferma che se un esperimento consiste in k eventi dove il primo evento si verifica n₁ volte, il secondo evento si verifica n₂ volte. Così via fino a quando l'evento si verifica nₖ volte. Il numero di modi in cui l'esperimento può verificarsi sequenzialmente è dato dal prodotto del numero di volte che si verificano gli eventi individuali, n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Supponiamo di voler sapere il numero di possibili disposizioni delle lettere ABC senza ripetizioni nelle permutazioni. Qualsiasi delle lettere può venire per prima, quindi ci sono 3 modi di impostare la prima lettera.

Dopo che la prima lettera è impostata, rimangono due lettere e una delle due lettere può essere impostata come seconda lettera, quindi ci sono due modi di impostare la seconda lettera. Dopo che la seconda lettera è impostata, rimarrà quindi solo una lettera. Pertanto, c'è solo un modo per impostare la terza lettera.

Così, secondo il principio fondamentale del conteggio, ci sono 3 × 2 × 1 = 6 modi per disporre le lettere ABC. Sono ABC, ACB, BCA, BAC, CAB e CBA.

Il Fattoriale

In precedenza, abbiamo stabilito che il numero di permutazioni di 3 oggetti distinti è dato da 3 × 2 × 1 = 6. In generale, il numero di permutazioni di n oggetti (complessivamente) è dato da n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Ciò è la moltiplicazione di tutti gli interi da n a 1. La moltiplicazione di tutti gli interi da un intero, diciamo n, a 1 si chiama fattoriale ed è denotato da ! (il punto esclamativo).

Quindi, n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, e si chiama n fattoriale.

Da notare che 0! = 1 e 1! = 1.

Esempio di Permutazioni

La pista standard per le gare alle Olimpiadi di solito ha 9 corsie. Tuttavia, per la gara dei 100 metri, la corsia 1 di solito non viene utilizzata. 8 corridori vengono posizionati sulle corsie da 2 a 9 in fila. Quanti modi possibili ci sono per disporre gli 8 corridori sulle corsie da 2 a 9?

Secondo il principio fondamentale del conteggio:

• uno qualsiasi degli 8 corridori riceve la corsia 2,
• uno dei restanti 7 corridori può ricevere la corsia 3,
• uno dei restanti 6 corridori può ricevere la corsia 4,
• uno dei restanti 5 corridori può ricevere la corsia 5,
• uno dei restanti 4 corridori può ricevere la corsia 6,
• uno dei restanti 3 corridori può ricevere la corsia 7,
• uno dei restanti 2 corridori può ricevere la corsia 8,
• l'ultimo corridore rimasto riceve la corsia 9.

Pertanto, il numero totale di permutazioni possibili degli 8 corridori che possono essere disposti sulle 8 corsie è 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 modi.

Nel calcolatore di permutazioni, inserisci 8 sia nelle caselle n (oggetti) che r (campione) e clicca su Calcola per ottenere 40.320.

Permutazione di Sottoinsiemi

Negli esempi precedenti, abbiamo guardato alle permutazioni degli oggetti quando tutti gli oggetti vengono considerati negli arrangiamenti. Tuttavia, ci sono situazioni in cui gli oggetti vengono disposti in gruppi più piccoli.

In questi casi, il numero totale di oggetti è donato da n, il numero di oggetti nei gruppi (campione) è denotato da r, e la formula fornisce il numero di permutazioni:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Questa formula viene utilizzata per calcolare le permutazioni senza ripetizioni. E se dobbiamo organizzare in un certo ordine un campione r preso dall'insieme n.

Se calcoliamo il numero di scelte con cui possiamo disporre tutti gli elementi dell'insieme in un certo ordine e senza ripetizioni, possiamo usare la seguente formula:

$$ₙPᵣ=n!$$

Esempio

Nell'esempio precedente, abbiamo esaminato il numero di modi possibili in cui tutti e otto i corridori in una gara di 100 metri potrebbero essere disposti. Ora, nella stessa gara, sono in palio tre medaglie. Il primo posto nella gara vince la medaglia d'oro e i corridori al secondo e terzo posto vincono rispettivamente le medaglie d'argento e di bronzo. Tra gli 8 corridori in gara, in quanti modi possibili possiamo ottenere i medagliati d'oro, d'argento e di bronzo?

Secondo il principio fondamentale del conteggio, uno qualsiasi degli 8 corridori può prendere la prima posizione. Dopo che la prima posizione è stata assegnata, rimarranno sette corridori a contendersi la seconda posizione. E dopo la seconda posizione, sei corridori saranno in lizza per la terza posizione. Pertanto, il numero totale di permutazioni possibili delle prime tre posizioni tra gli 8 corridori è: 8 × 7 × 6 = 336

Utilizziamo la formula:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

E otteniamo

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×...×1}{5×4×...×1}=8×7×6=336$$

E nel calcolatore di permutazioni, inserisci 8 nella casella n (oggetti) e 3 nella casella r (campione) e clicca su "Calcola" per ottenere 336.

Permutazioni e Combinazioni: La Differenza

Un'altra tecnica di conteggio essenziale sono le combinazioni. Le combinazioni sono i vari modi in cui un numero minore di oggetti (campione), r, può essere selezionato da un numero maggiore di oggetti, n. Il numero di combinazioni di r oggetti da n oggetti è denotato semplicemente da ₙCᵣ.

Nella definizione di permutazione, abbiamo menzionato che l'ordine o l'arrangiamento è importante. Ebbene, questa è la differenza tra permutazioni e combinazioni perché, nelle combinazioni, l'ordine non è importante.

Quindi, ad esempio, abbiamo affermato che le permutazioni delle lettere XYZ in gruppi di due lettere ciascuno saranno le seguenti XY, XZ, YZ, YX, ZX e ZY. Quindi otteniamo sei permutazioni.

Tuttavia, le combinazioni delle lettere XYZ in gruppi di due lettere ciascuno sono XY, XZ e YZ; tre combinazioni. Questo perché, nelle combinazioni, XY e YX sono considerate la stessa combinazione; lo stesso vale per XZ e ZX, e lo stesso vale per YZ e ZY. Quindi, l'ordine di disposizione non conta nel calcolo delle combinazioni.

La formula fornisce il numero di combinazioni di r oggetti da n oggetti:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Esempio di Calcolo delle Combinazioni

Nell'esempio precedente con i corridori, abbiamo ottenuto il numero di modi in cui possiamo selezionare le prime, seconde e terze posizioni da un gruppo di 8 corridori. Supponiamo di voler sapere il numero di modi in cui 3 medagliati possono essere selezionati dal gruppo di 8 corridori senza considerare le loro posizioni. Non importa se la persona arriva prima, seconda o terza, purché il corridore vinca una medaglia.

In questo caso, vengono utilizzate le combinazioni perché l'ordine delle medaglie non è importante. Quindi, risolviamo questo utilizzando la formula delle combinazioni.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Il numero di modi in cui 3 medagliati possono essere selezionati da 8 corridori è dato da:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Esempi di calcolo delle permutazioni

1. Il produttore di un programma di notizie può scegliere 3 dei 5 ospiti per il suo programma analitico. L'ordine degli ospiti è importante. In quanti modi diversi il produttore può organizzare le presentazioni degli ospiti? L'ordine è importante e non saranno utilizzate ripetizioni perché lo stesso ospite non può apparire due volte nello stesso programma di notizie. Pertanto, possiamo usare la formula per le permutazioni.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Così possiamo vedere che il produttore ha 60 modi per organizzare gli ospiti.

2. Un critico gastronomico ha selezionato 10 buoni ristoranti in città che servono sushi per classificare i primi 3 ristoranti di sushi. Gli stabilimenti devono essere presentati in un ordine che mostri il loro posto nella classifica. Inoltre, lo stesso posto non può apparire più volte nella classifica. Quindi, soddisfiamo i requisiti per la formula delle permutazioni - l'ordine è importante e non ci devono essere ripetizioni. Usiamo la formula per le permutazioni:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Quando diciamo che l'ordine è importante per le permutazioni, non significa che l'ordine debba essere numerico da 1 a, per esempio, 10 o qualsiasi altro numero. L'ordine può essere formato da certi oggetti tra i quali allocare gli elementi del nostro insieme.

Ad esempio, prendiamo il manager di una ditta di riparazioni domestiche. Ha quattro ordini per dipingere stanze oggi. Sono l'ufficio di un'agenzia di visti, un magazzino in una fabbrica, un negozio di abbigliamento e una stanza in una casa privata. La ditta ha sei pittori. Ognuno di loro può andare in 1 struttura durante un giorno. Gli altri due pittori avranno il giorno libero.

Questi oggetti sono l'ufficio di un'agenzia di visti, un magazzino in una fabbrica, un negozio di abbigliamento e una stanza in una casa privata, che sono analoghi alle posizioni 1, 2, 3 e 4.

Il manager avrà:

• 6 candidati che possono essere assegnati all'ufficio,
• 5 candidati rimanenti da assegnare al magazzino,
• 4 candidati rimanenti da inviare al negozio,
• 3 candidati rimanenti che possono essere assegnati a una stanza in una casa privata.

Quindi, intuitivamente, possiamo descrivere il numero di scelte come 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Ci viene data la condizione che l'ordine in cui i pittori sono distribuiti sugli oggetti è importante per noi. Non è consentita alcuna ripetizione, ovvero un pittore che lavora su più di un oggetto nello stesso giorno. Quindi possiamo applicare la formula di permutazione che abbiamo già usato.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Si scopre che ci sono 360 modi diversi in cui il manager di una ditta di riparazioni domestiche può assegnare gli ordini tra i pittori disponibili nelle condizioni date.