Calcolatore di Probabilità

Calcolatore di Probabilità di Due Eventi

Quando conosci la probabilità di due eventi indipendenti, puoi utilizzare il Calcolatore di Probabilità di Due Eventi per determinare la loro occorrenza congiunta. Devi inserire le probabilità di due eventi indipendenti come la probabilità di a e b nel calcolatore. Quindi il calcolatore mostrerà l'unione, l'intersezione e altre probabilità correlate dei due eventi indipendenti insieme ai diagrammi di Venn.

Risolutore di Probabilità per Due Eventi

Puoi calcolare la probabilità di vari eventi di due eventi indipendenti se conosci due valori di input del Calcolatore di Risoluzione della Probabilità per Due Eventi. Questo è importante quando non hai una o entrambe le probabilità di due eventi. I risultati mostreranno la risposta con i passaggi del calcolo.

Probabilità di una Serie di Eventi Indipendenti

Puoi utilizzare il Calcolatore di Probabilità di una Serie di Eventi Indipendenti per determinare la probabilità di quando ogni esperimento contiene due eventi indipendenti che si verificano uno dopo l'altro. In questo calcolatore, devi impostare il numero di volte che si verifica l'evento.

Probabilità di una Distribuzione Normale

Il calcolatore di probabilità della distribuzione normale è utile quando si determina la probabilità di una curva normale. Devi inserire la media μ, la deviazione standard σ e i limiti. Il calcolatore di probabilità normale genererà la probabilità dei limiti impostati e gli intervalli di confidenza per una gamma di livelli di confidenza.

Introduzione alla Probabilità

La probabilità è la possibilità che un evento si verifichi. Quando un evento sta sicuramente per accadere, la sua probabilità è 1. Quando un evento non sta per accadere, la sua probabilità è 0. Di conseguenza, la probabilità di un evento specifico è sempre compresa tra 0 e 1. Il calcolatore di probabilità rende incredibilmente semplice il calcolo delle probabilità per vari eventi.

Regole delle operazioni sugli eventi

Qualsiasi raggruppamento dei risultati di un esperimento è definito come un evento. Può essere qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario. Il complemento, l'intersezione e l'unione possono essere identificati come regole delle operazioni sugli eventi. Impariamo ciascuna di queste regole usando l'esempio seguente.

Esempio

Il tuo college ha varie facoltà, tra cui quella di economia. Studenti internazionali sono iscritti anche in questo college. Devi condurre interviste con gli studenti del tuo college come parte del tuo progetto. Scegli di iniziare con il primo studente che entra dal cancello. Sei a conoscenza delle seguenti probabilità. Diciamo,

A = Il primo studente proviene dalla Facoltà di Economia.

B = Il primo studente è uno studente internazionale.

P(A) = 0,6

P(B) = 0,3

Complemento di un Evento

Il complemento di un evento è l'insieme di tutti gli esiti in uno spazio campionario che non sono inclusi in quell'evento.

Ad esempio, il complemento dell'evento A significa che il primo studente proviene da una facoltà diversa da quella di economia. Questo può essere denotato come \$A\prime\$ o Aᶜ.

Mostriamo il complemento dell'evento A in un diagramma di Venn.

Nel diagramma di Venn sopra, l'area colorata rappresenta il complemento dell'evento A.

L'area totale del rettangolo rappresenta la probabilità complessiva dello spazio campionario. È esattamente uno. Lo spazio esterno al cerchio A mostra la probabilità del complemento dell'evento A. Il diagramma di Venn ci consente di stabilire la seguente relazione:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Quindi,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Troveremo le seguenti probabilità.

La probabilità che il primo studente che selezioni per l'intervista non provenga dalla facoltà di economia:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$

La probabilità che il primo studente che selezioni per l'intervista non sia uno studente internazionale:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$

Intersezione degli Eventi

L'intersezione di due eventi A e B è l'elenco di tutti gli elementi comuni in entrambi gli eventi A e B. La parola "E" è frequentemente usata per indicare l'intersezione di due insiemi.

L'intersezione dell'evento A e dell'evento B nell'esempio 1 significa selezionare uno studente internazionale che è anche dalla facoltà di economia. Questo può essere denotato come segue:

$$A\cap B$$

Mostriamo l'intersezione degli eventi A e B in un diagramma di Venn.

Nel diagramma di Venn sopra, l'area colorata rappresenta l'intersezione degli eventi A e B.

Diciamo che l'evento di selezionare uno studente locale per l'intervista è C. Ora, mostreremo gli eventi A e C in un diagramma di Venn.

Selezionare uno studente internazionale e uno studente locale non può essere fatto simultaneamente. Supponiamo che il primo studente che scegli sia uno studente internazionale. In tal caso, esclude l'evento del primo studente che è uno studente locale. Pertanto, gli eventi A e C sono eventi mutuamente esclusivi.

Gli eventi mutuamente esclusivi non hanno elementi comuni tra loro. Pertanto, l'intersezione di due eventi mutuamente esclusivi è vuota.

$$A\cap C=φ$$

La probabilità dell'intersezione degli eventi può essere calcolata con diversi metodi. Gli eventi A e B possono essere scritti come segue.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Eventi Indipendenti

Gli eventi indipendenti sono eventi che non si influenzano a vicenda. Nel nostro esempio, scegliere uno studente dalla facoltà di economia non influisce sulla scelta di uno studente internazionale o meno. Pertanto, possiamo dire che l'evento A e l'evento B sono due eventi indipendenti.

Quando gli eventi sono indipendenti, la probabilità che uno qualsiasi di essi si verifichi non dipende da quella dell'altro. Pertanto,

$$P(B/A)=B\ e\ P(A/B)=A$$

Puoi utilizzare queste formule per modificare la formula che abbiamo precedentemente appreso per determinare la probabilità di due eventi di intersezione.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Quindi, puoi trovare l'intersezione dei due indipendenti moltiplicando la probabilità di quei due eventi.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Dato che gli eventi A e B sono indipendenti, determiniamo la probabilità che il primo studente che selezioni per l'intervista sia della facoltà di economia e sia uno studente internazionale.

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$

Unione di Eventi

L'unione di due eventi produce un altro evento che contiene tutti gli elementi di uno o entrambi gli eventi. La parola "OPPURE" è tipicamente usata per descrivere l'unione di due eventi.

Nell'Esempio 1, l'unione degli eventi A e B significa selezionare uno studente internazionale oppure uno studente della facoltà di economia. Questo può essere denotato come segue.

$$A\cup B$$

Mostriamo l'unione degli eventi A e B in un diagramma di Venn.

L'area colorata nel diagramma di Venn sopra rappresenta l'unione degli eventi A e B.

Per calcolare la probabilità dell'evento A o dell'evento B, dobbiamo sommare le probabilità di entrambi gli eventi e sottrarre la probabilità dell'intersezione.

La probabilità dell'unione degli eventi A e B può essere scritta come segue.

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Possiamo modificare la formula sopra e creare una nuova formula per trovare la probabilità dell'unione di due eventi indipendenti quando la probabilità dell'intersezione di due eventi è sconosciuta e i due eventi sono indipendenti.

Se gli eventi sono indipendenti,

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Pertanto,

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Calcoliamo quale sarebbe la probabilità di combinare gli eventi A e B, ovvero con quale probabilità sceglieremmo uno studente che sia un maggiore in economia, uno studente internazionale, o entrambi allo stesso tempo?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$

Grazie al Calcolatore di Probabilità di Due Eventi o al Calcolatore per la Risoluzione di Due Eventi, puoi completare tutti i calcoli sopra velocemente. Puoi utilizzare il Calcolatore per la Risoluzione di Due Eventi anche se vuoi verificare i passaggi del tuo calcolo della probabilità, poiché mostra anche i passaggi per il calcolo.

Distribuzione Normale

La distribuzione normale è simmetrica e ha una forma a campana. Una distribuzione normale ha una media, una mediana e una moda identiche, così come il 50% dei dati sopra la media e il 50% sotto la media. La curva della distribuzione normale si allontana dalla media in entrambe le direzioni ma non tocca mai l'asse X. L'area totale sotto la curva è 1.

Se la variabile casuale X ha una distribuzione normale con parametri μ e σ², scriviamo X ~ N(μ, σ²).

Probabilità della Distribuzione Normale

La funzione di densità di probabilità di una distribuzione normale è raffigurata di seguito:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

In questa funzione:

• μ è la media della distribuzione;
• σ² è la varianza della distribuzione;
• π è 3,14;
• e è 2,7182.

È impossibile fornire una tabella delle probabilità per ogni combinazione di media e deviazione standard perché ci sono un numero infinito di diverse curve normali. Di conseguenza, viene utilizzata la distribuzione normale standard. La distribuzione normale con una media di 0 e una deviazione standard di 1 è nota come distribuzione normale standard.

Per calcolare la probabilità di una distribuzione normale, dobbiamo prima trasformare la distribuzione reale in una distribuzione normale standard usando il punteggio z e poi utilizzare la tabella z per calcolare la probabilità. Il calcolatore di probabilità normale funziona come un calcolatore di probabilità normale standard offrendo probabilità per vari livelli di confidenza.

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

La curva della distribuzione normale standard può essere utilizzata per risolvere una varietà di problemi del mondo reale. Per determinare la probabilità di variabili continue, viene utilizzata la distribuzione normale. Una variabile continua è una variabile che può assumere qualsiasi numero di valori, anche un decimale. Alcuni esempi di variabili continue sono altezza, peso e temperatura.

Impariamo come trovare la probabilità della distribuzione normale utilizzando l'esempio seguente.

Esempio

I risultati del corso di statistica del tuo gruppo sono distribuiti normalmente, con una media di 65 e una deviazione standard di 10. Determina la probabilità dei seguenti scenari se uno studente viene selezionato a caso:

• il punteggio dello studente è uguale o superiore a 70,
• il punteggio dello studente è inferiore a 70,
• il punteggio dello studente è compreso tra 50 e 70.

Soluzione

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1,5>Z>0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$

Calcolare la probabilità di una curva normale comporta numerosi passaggi e richiede l'utilizzo delle tabelle z. D'altra parte, il calcolatore di probabilità della distribuzione normale ti aiuta a calcolare la probabilità semplicemente inserendo quattro numeri nel calcolatore. Per usare il calcolatore della distribuzione normale, devi inserire solo la media, la deviazione standard e i limiti sinistro e destro.