Calcolatore di Triangoli Rettangoli

Calcolatore di triangoli rettangoli

Il calcolatore di triangoli rettangoli è uno strumento online che si concentra esclusivamente sui triangoli rettangoli. Il calcolatore prende come input due valori del triangolo rettangolo e calcola le misure mancanti del triangolo. I valori inclusi sono: le lunghezze dei lati del triangolo (a, b e c), i valori degli angoli eccetto l'angolo retto (α e β), il perimetro (P), l'area (A) e l'altezza sull'ipotenusa (h).

Per utilizzare il calcolatore, inserisci due dei valori elencati sopra e premi "Calcola".

I valori degli angoli possono essere inseriti sia in gradi che in radianti. Per inserire il valore in radianti usando π, usa la seguente notazione: "pi". Ad esempio, se il valore dell'angolo dato è π/3, inserisci "pi/3".

Il calcolatore mostrerà tutti i valori mancanti e i passaggi del calcolo. Il calcolatore mostrerà anche la vista in scala del triangolo rilevante e i valori del raggio del cerchio inscritto e del cerchio circoscritto.

Limitazioni sui valori di input del calcolatore di triangoli

1. Puoi inserire solo due valori.
2. I valori degli angoli α e β devono essere inferiori a 90° o (π/2) rad.
3. La lunghezza dell'altezza sull'ipotenusa (h) non deve superare la lunghezza di nessuno dei cateti (a o b).
4. La lunghezza di ciascun lato del triangolo (a, b o c) deve essere inferiore alla somma degli altri due lati.
5. Per una data lunghezza dell'ipotenusa, il triangolo ha un perimetro massimo. Il calcolatore non accetterà nessun perimetro che superi questo valore. Il perimetro massimo del triangolo rettangolo con la lunghezza dell'ipotenusa data corrisponde al caso di un triangolo isoscele (a=b). In questo caso \$a=b=\frac{c}{\sqrt{2}}\$, e il perimetro massimo \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt{2}}\$.

Triangolo rettangolo: definizione e informazioni utili

Un triangolo rettangolo è un triangolo in cui un angolo è uguale a 90° o \$\frac{π}{2}\ rad\$. Il lato opposto all'angolo retto è chiamato ipotenusa. Gli altri due lati sono chiamati cateti, o gambe, del triangolo.

La gamba b è a volte chiamata base del triangolo rettangolo, e la gamba a è l'altezza del triangolo rettangolo.

Le gambe del triangolo sono sempre più corte dell'ipotenusa. Poiché un angolo del triangolo è uguale a 90°, e la somma di tutti gli angoli di qualsiasi triangolo è 180°, la somma degli altri due angoli del triangolo rettangolo è anche 90°: α+β=90°. Le lunghezze dei lati del triangolo sono correlate tra loro come descritto nel teorema di Pitagora.

Il teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora collega le lunghezze di tutti i lati di un triangolo rettangolo. Afferma che il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei due cateti:

$$c^2=a^2+b^2$$

Di conseguenza, se sono note solo le lunghezze dei cateti, la lunghezza dell'ipotenusa può essere calcolata come segue:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Supponiamo di conoscere la lunghezza di un cateto e la lunghezza dell'ipotenusa. In tal caso, possiamo calcolare la lunghezza dell'altro cateto come segue:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Il teorema di Pitagora è il teorema più importante riguardo il triangolo rettangolo e uno dei teoremi più importanti nella geometria euclidea.

Altre formule essenziali

Oltre al teorema di Pitagora, le seguenti relazioni sono usate per calcolare i valori mancanti di un triangolo rettangolo:

Il perimetro di un triangolo è la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati e si trova come

$$P = a + b + c$$

L'area di un triangolo rettangolo è calcolata come

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

Per trovare gli angoli del triangolo rettangolo, dobbiamo calcolare il seno, il coseno e la tangente degli angoli. Per trovare il seno, il coseno o la tangente di un angolo, dobbiamo identificare i lati adiacente e opposto all'angolo. Un'ipotenusa e un altro lato formano entrambi gli angoli acuti del triangolo rettangolo. Quest'altro lato è il lato adiacente all'angolo corrispondente. Il lato che rimane è quindi il lato opposto a quest'angolo. Ad esempio, nella figura sottostante, a è il lato opposto all'angolo α, e b è il lato adiacente.

Il seno di qualsiasi angolo acuto nel triangolo rettangolo può essere trovato come la lunghezza del lato opposto divisa per la lunghezza dell'ipotenusa:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Il coseno di qualsiasi angolo acuto nel triangolo rettangolo può essere calcolato come la lunghezza del lato adiacente divisa per la lunghezza dell'ipotenusa:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

La tangente di qualsiasi angolo acuto nel triangolo rettangolo può essere trovata come il rapporto tra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

La lunghezza dell'altezza sull'ipotenusa è calcolata come

$$h=\frac{ab}{c}$$

Il calcolatore trova anche il raggio e il perimetro di un dato triangolo usando le seguenti formule:

$$Raggio\ inscritto=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Raggio\ circoscritto=\frac{c}{2}$$

Esempio di calcolo

Supponiamo di avere un triangolo in cui sono note le lunghezze dei due cateti: a = 3 e b = 4. Troviamo tutti i valori mancanti del triangolo.

Prima, troviamo la lunghezza dell'ipotenusa c usando il teorema di Pitagora:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Ora, troviamo i valori degli angoli del triangolo. Come menzionato sopra,

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

quindi,

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0,6)=0,6435\ rad\ =\ 36,87° = 36°52'12"$$

Similmente

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

quindi

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0,8)=0,9273\ rad\ =\ 53,13° = 53°7'48"$$

Troviamo l'altezza sull'ipotenusa, h:

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Per l'area del triangolo, abbiamo:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a×b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Per il perimetro del triangolo dato, abbiamo:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

Il raggio inscritto può essere calcolato come segue:

$$Raggio\ inscritto=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

E infine, il raggio circoscritto:

$$Raggio\ circoscritto=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2,5$$

Triangoli rettangoli speciali

Ci sono due tipi speciali di triangoli rettangoli: il triangolo 45-45-90 e il triangolo 30-60-90. Le lunghezze dei lati di questi triangoli sono in un rapporto speciale.

Il triangolo rettangolo isoscele

Il triangolo rettangolo con le misure degli angoli acuti di 45° e 45° ha due angoli uguali. Pertanto, anche le lunghezze dei suoi cateti sono uguali, rendendo questo triangolo isoscele e rettangolo. Le lunghezze dei suoi lati sono correlate come segue:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

Il triangolo 30-60-90

Gli angoli acuti di questo triangolo sono 30° e 60°. Le lunghezze dei suoi lati sono correlate come segue:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

dove 'a' è il lato opposto all'angolo di 30°, 'b' è il lato opposto all'angolo di 60°, e 'c' è l'ipotenusa.