Calcolatore di volume

Ogni oggetto solido tridimensionale occupa uno spazio. Possiamo pensare allo spazio occupato dal nostro cellulare quando è posizionato sul tavolo, a un serbatoio di acqua posizionato nel quartiere o semplicemente a un pallone su un campo.

Possiamo definire il volume come lo spazio occupato da un oggetto. Il volume può anche riferirsi alla capacità dell'oggetto. Invece di pensare allo spazio che il contenitore d'acqua occupa nel nostro garage, possiamo pensare alla capacità o alla quantità d'acqua che il contenitore può immagazzinare.

Il calcolo del volume è utilizzato in varie discipline della scienza e della matematica.

Il calcolatore di volume supporta misure multiple nel calcolo del volume. Inoltre, il calcolatore mostra la formula e un processo di calcolo passo dopo passo. Questo articolo fornirà una spiegazione semplice ma sufficiente del volume e del calcolatore della formula del volume con esempi reali.

Unità e Misure

Per migliorare l'affidabilità e l'accuratezza del nostro giudizio, abbiamo bisogno di un'unità di misura standard. Per uniformità, richiediamo un insieme standardizzato di unità di misura, noto come unità standard.

L'unità di volume SI (Sistema Internazionale di Unità) è il metro cubo m³. Tuttavia, il volume di alcuni piccoli oggetti può essere espresso in unità più piccole, come centimetri cubici cm³ o millimetri cubici mm³ se l'oggetto è troppo piccolo.

D'altra parte, l'utente è libero di specificare l'unità che meglio si adatta alla propria applicazione. Il calcolatore di volume supporta due sistemi di misura: il Sistema Metrico, le Unità Imperiali e le Unità Consuetudinarie degli Stati Uniti. L'utente ha la libertà di scegliere tra le seguenti unità:

• chilometri,
• metri,
• centimetri,
• millimetri,
• micrometri,
• nanometri,
• angstrom,
• miglia,
• yard,
• piedi,
• pollici.

Se usiamo formule per calcolare il volume, dobbiamo lavorare con unità di misura omogenee. Pertanto, di solito convertiamo tutte le misure nella stessa unità per rendere i calcoli più facili.

Ad esempio, consideriamo di calcolare il volume di un cilindro con un'altezza di 75 cm e un raggio di 0,5 m. Convertiamo l'altezza in metri e calcoliamo il volume in metri cubi o convertiamo il raggio in centimetri e troviamo il volume in centimetri cubici.

Che ne dici di definire l'altezza in pollici e il raggio in nanometri? Il calcolatore eseguirà anche questa conversione delle unità e mostrerà i passaggi.

Con questo calcolatore, l'utente può scegliere un'unità diversa per ogni input di misurazione, e il calcolatore della formula del volume restituirà il volume.

Consideriamo l'esempio in cui l'altezza del cilindro è di 5 pollici e il raggio è di 10506070 nanometri. Andremo alla sezione del calcolatore di volume del cilindro e inseriremo i valori del raggio e dell'altezza con le unità corrette dall'elenco a discesa.

Il calcolatore restituisce prima il volume di 2,6874044006564 pollici cubici (in pollici cubici) e 4,4038667907438E+22 nanometri cubici (nanometri cubici). Perché? Perché queste sono le unità di misura che abbiamo utilizzato nel nostro input, il calcolatore presume che abbiamo bisogno che il volume sia calcolato con una di queste unità. Il volume del cilindro mostra i due modi per eseguire il calcolo insieme alla conversione delle unità!

Il Calcolatore di Volume: Ambito, Caratteristiche ed Esempi

I metodi per calcolare i volumi possono variare da una figura all'altra. Alcune forme geometriche utilizzano formule aritmetiche standard per calcolare il loro volume in base alle loro proprietà, come la lunghezza del lato o il raggio.

Altre forme geometriche sono più complesse e non è possibile calcolarne direttamente il volume. In questo caso, vengono utilizzati metodi computazionali avanzati come l'integrazione geometrica e i metodi degli elementi finiti. Il calcolatore di volume supporta un'ampia gamma di oggetti per calcolarne il volume.

Sfera

Una sfera è l'equivalente tridimensionale di un cerchio; un esempio di sfera è qualsiasi pallone rotondo (pallone da baseball, pallone da basket, ecc.). La formula del volume di una sfera è data come:

$$V_{sfera}=\frac{4}{3}π r^3$$

Possiamo osservare che il volume di una sfera dipende solo dal raggio della sfera (r). Il raggio è definito come la distanza tra il centro della sfera e qualsiasi punto sulla superficie. Dato che un pallone da baseball ha un raggio r = 3,65 cm, possiamo usare il calcolatore del volume di una sfera per trovare il volume:

$$Volume = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3,65^3 = 203,68882488692 \ centimetri^3$$

Cono

Un cono è una forma geometrica costituita da una base circolare e un punto vertice, denominato apice, dove tutti i punti della circonferenza di base sono connessi all'apice con segmenti di linea. Possiamo definire le proprietà del cono con due misure: il raggio della base circolare (r) e l'altezza tra il centro della base e l'apice (h).

Il volume di un cono può essere espresso come:

$$V_{cono}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

r è il raggio e h è l'altezza del cono

Supponiamo che tu abbia una festa di compleanno e voglia fare dei cappelli a cono fai-da-te che verranno poi utilizzati come coni per popcorn più tardi durante la serata.

Se decidi di fare cappelli a cono con un raggio di 7,5 cm e un'altezza di 0,45 m, puoi usare il calcolatore del volume del cono per calcolare il volume di ogni cappello a cono.

0,45 metri = 45 centimetri

$$Volume = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7,5^2 × 45 = 2650,7188014664 \ centimetri^3$$

Ciò significa che puoi mettere questa quantità di popcorn nel tuo cono alla fine della festa.

Cubo

Chi non ha avuto l'occasione di giocare con il Cubo di Rubik?

Questo è un oggetto geometrico con 8 vertici e 6 lati uguali. Il volume di un cubo dipende solo dalla lunghezza del lato del cubo (a).

$$V_{cubo}=a^3$$

Abbiamo deciso di acquistare 30 Cubi di Rubik per il nostro centro di sviluppo in modo che i bambini potessero migliorare le loro capacità cognitive. Siamo andati al negozio e abbiamo trovato i cubi giusti per il design e il prezzo. La lunghezza del lato del cubo è di 5,7 centimetri. Purtroppo, il venditore al negozio ha solo una scatola per impilare tutti i cubi per un trasporto facile. La scatola è cubica con un lato di 20 centimetri. Tutti i nostri cubi entreranno in quella scatola?

Il volume dei cubi:

$$Volume = 5,7³ = 185,19\ centimetri³$$

Il volume totale di 30 cubi sarebbe

$$185,19 × 30 = 5.555,7\ centimetri³$$

Il volume della scatola:

$$Volume = 20³ = 8.000\ centimetri³$$

Abbiamo confrontato il volume dei 30 cubi con il volume della scatola.

$$5.555,7 < 8.000$$

E si è scoperto che i cubi si adatteranno perfettamente nella scatola.

Cilindro

Un cilindro è un prisma geometrico con una base circolare uniforme, come se più cerchi fossero posizionati l'uno sopra l'altro per formare questa forma geometrica. Come il cono, le proprietà del cilindro sono definite dal raggio del cerchio (r) e dall'altezza dalla superficie inferiore a quella superiore del cilindro (h). Il volume di un cilindro può essere espresso come:

$$V_{cilindro}=π r^2h$$

Calcoliamo il volume di una candela cilindrica decorativa in modo che l'artigiano possa capire quanta paraffina avrà bisogno per realizzarla. Quindi, l'altezza della nostra candela sarà di 15 centimetri e il diametro di 8 centimetri. Dal diametro possiamo calcolare il raggio, che sarà di 4 centimetri. Quindi abbiamo:

$$Volume = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753,98223686155\ centimetri^3$$

Serbatoio Rettangolare

Un serbatoio rettangolare è una variazione del cubo dove tutti i lati sono perpendicolari ma non necessariamente uguali. Questo oggetto geometrico è definito da una lunghezza (l) e larghezza (w), che rappresentano un rettangolo bidimensionale, insieme a un'altezza (h) che crea questa estensione tridimensionale del rettangolo. Quindi, il volume del serbatoio rettangolare può essere scritto come segue:

$$V_{serbatoio\ rettangolare}=l × w × h$$

Un esempio universale di serbatoio rettangolare è il container per spedizioni. Le misure standard ISO del container per spedizioni sono:

• Larghezza = 2,43 m
• Altezza = 2,59 m
• Lunghezza = 6,06 m o 12,2 m

Poiché le misure sono standard secondo l'ISO, anche i volumi sono standard. Procedi e inserisci le misure nel calcolatore del volume del serbatoio rettangolare per trovare il volume. Esegui i calcoli per entrambi i valori di lunghezza, 6,06 m e 12,2 m.

$$Volume = 6,06 × 2,43 × 2,59 = 38,139822\ metri³$$

e

$$Volume = 12,2 × 2,43 × 2,59 = 76,78314\ metri³$$

Forme geometriche tridimensionali più complesse

Possiamo combinare altre forme geometriche con forme geometriche di base. Qual è il volume di questa figura?

Possiamo vedere che l'oggetto è composto da un cilindro e un cono sulla parte superiore. Pertanto, possiamo dire che il volume dell'oggetto è la somma del volume del cilindro e del volume del cono:

$$V_{oggetto}=V_{cilindro}+V_{cono}$$

Sia il cilindro che il cono hanno un diametro di 4 cm. Quindi, possiamo dire che

$$r_{cilindro}=r_{cono}=\frac{4}{2}=2\ cm$$

Inoltre,

$$h_{oggetto}=h_{cilindro}+h_{cono}$$

Dato che

$$h_{oggetto}=10\ cm$$

e

$$h_{cono}=3\ cm$$

possiamo interpretare che

$$h_{cilindro}=7\ cm$$

Ora possiamo inserire i valori nel calcolatore del volume come segue:

$$V_{oggetto}=V_{cilindro}+V_{cono}=87,96\ cm^3+12,56\ cm^3$$

$$V_{oggetto}=100,52\ cm^3$$

Questo esempio aiuterà a comprendere meglio le prossime forme geometriche che il calcolatore di volume supporta.

Capsula

La capsula è una delle forme più comuni di pillole medicinali. L'utente può utilizzare l'esempio precedente per capire che una capsula consiste in un cilindro con due emisferi su due superfici opposte.

I due emisferi possono sommarsi a formare una singola sfera, e possiamo dire che il volume di una capsula è la somma del volume di un cilindro e del volume di una sfera.

$$V_{capsula} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

Dove r è il raggio e h è l'altezza della parte cilindrica.

Grazie al calcolatore del volume della capsula, non devi calcolare il volume del cilindro e sommarlo a quello della sfera per calcolare il volume della capsula. L'utente può inserire direttamente l'altezza e il raggio, e il calcolatore fornirà il volume della capsula.

Gli scienziati farmaceutici che analizzano, sviluppano e producono medicinali cercano sempre di trovare buoni volumi per le capsule. La capsula deve contenere la quantità di farmaco richiesta per capsula, quindi gli scienziati variano le dimensioni della capsula (altezza e raggio) per regolare il volume di conseguenza.

Calotta Sferica

L'esempio precedente si riferiva all'emisfero come metà di una sfera. Nel frattempo, una calotta sferica è una porzione della sfera quando la sfera viene tagliata da un piano. L'emisfero è un caso speciale di calotta sferica in cui la sfera viene divisa in due porzioni uguali. Quindi, il volume di un emisfero è metà del volume di una sfera.

La figura seguente mostra un esempio di calotta sferica dove (r) è il raggio della base, (R) è il raggio della sfera e (h) è l'altezza della calotta sferica. Esiste una relazione tra queste variabili. Pertanto, è sufficiente conoscere due di questi valori per calcolare il terzo.

• Dato r e R; $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$
• Dato r e h; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• Dato R e h; $r=\sqrt{2Rh-h^2}$

dove:

• r è il raggio della base,
• R è il raggio della sfera,
• h è l'altezza della calotta sferica.

Il volume di una calotta sferica può essere scritto come segue:

$$V_{calotta\ sferica}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

È sufficiente inserire due delle tre variabili della calotta sferica. Ad esempio, considerando che R = 1m e r = 0,25m, il calcolatore trova due possibili volumi; 0,00313 m³ e 4,1856 m³. Perché?

Ricordando il seguente

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

possiamo vedere che quando vengono dati i valori di r e r, h può avere due valori

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

e

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

Questo spiega perché si ha un valore di volume diverso quando si utilizza $h_1$ e $h_2$.

Inoltre, la disuguaglianza R ≥ r deve essere sempre valida, altrimenti il calcolatore restituirà un messaggio di errore che dice "il raggio della base non può essere maggiore del raggio della sfera". Questo errore è utile se l'utente confonde i valori R e r.

Tronco di Cono

Questa forma si ottiene tagliando un cono con un taglio orizzontale parallelo alla sua superficie circolare. Ciò risulta in due superfici circolari e due parallele.

Il volume del tronco di cono può essere definito come:

$$V_{tronco\ di\ cono}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

Dove h è l'altezza tra il centro delle superfici inferiore e superiore, r è il raggio della superficie superiore e R è il raggio della superficie inferiore tale che R ≥ r.

Immagina di andare in una pasticceria e vedere una torta al cioccolato fondente che dice di contenere il 35% di cioccolato fuso.

Se fossi un vero appassionato di matematica e volessi tradurre questo in un problema matematico, potresti essere interessato al volume di cioccolato all'interno della tua torta. Beh, misura il raggio superiore e inferiore insieme all'altezza per calcolare il volume dell'intera torta.

Supponendo che le misure siano r = 16 cm, R = 20 cm e h = 10 cm.

Quindi possiamo trovare il volume della torta inserendo semplicemente i valori nel calcolatore del volume del tronco di cono.

$$Volume=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220,648099679\ centimetri^3$$

Inoltre, il 35% di 10.220,65 cm³ corrisponde a circa 3.577,23 cm³ di cioccolato.

Ellesoide

Quando una sfera viene deformata tramite uno scalamento direzionale, essa produce una superficie nota come ellesoide. Si può pensare a un ellesoide come una sfera allungata, in cui le distanze tra il centro dell'ellesoide e vari punti sulla superficie non sono uguali.

Pertanto, l'ellesoide ha tre assi, e il volume dell'ellesoide è definito in relazione al raggio dal centro a ciascuno di questi assi. I tre valori dei raggi sono indicati con a, b e c.

Si pensa sempre a sfere tonde quando si parla di palline, ma esistono anche palline ellesoidali! Guarda la palla da rugby. Supponiamo che le dimensioni siano a = 9,3 cm, b = 9,3 cm e c = 14,3 cm.

Il volume di un ellesoide è dato da:

$$V_{ellesoide}=\frac{4}{3}π abc$$

L'ordine di a, b e c non è importante; mescolarli va bene.

Utilizzando il calcolatore del volume dell'ellesoide, possiamo ottenere il volume della nostra palla da rugby.

$$Volume=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9,3 × 9,3 × 14,3 = 5.180,7250468112 \ centimetri^3$$

Piramide Quadrata

Parlando di piramidi, potresti pensare alle antiche piramidi d'Egitto. Una piramide quadrata è costituita da una base quadrata con un apice dove i punti sulla circonferenza della base quadrata sono collegati a tale apice. Il volume può essere calcolato come:

$$V_{piramide\ quadrata}=\frac{1}{3}a^2h$$

Con a essendo il lato della base quadrata e h essendo l'altezza dal centro della base quadrata all'apice.

Prendiamo le dimensioni della piramide di Cheope come era originariamente costruita; h = 146,6 m e a = 230,33 m. Il volume della piramide di Cheope può essere calcolato come segue:

$$Volume=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230,33^2 × 146,6 = 2.592.469,9482467\ metri^3$$

Tubo

A differenza di un cilindro, un tubo ha un diametro esterno e uno interno. Pertanto, il volume del tubo deve tener conto della differenza nei diametri.

$$V_{tubo}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

Come avrai già intuito, d₁ e d₂ sono i diametri esterno e interno del tubo, rispettivamente. l è la lunghezza del tubo.

Utilizziamo la formula per calcolare il volume dell'anello di cemento per il pozzo che stiamo per scavare nella nostra proprietà di campagna. L'altezza del nostro anello è di 0,89 metri, il diametro esterno è di 1,16 metri e il diametro interno è di 1 metro.

Quindi abbiamo il seguente calcolo:

$$Volume=π\frac{1,16^2-1^2}{4} × 0,89 = 0,076896 π = 0,24\ metri^3$$