Calcolatrice del Teorema di Pitagora

Questo calcolatore di Pitagora trova la lunghezza di un lato di un triangolo rettangolo se le lunghezze degli altri due lati del triangolo sono note. I calcoli sono eseguiti basandosi sul teorema di Pitagora.

Istruzioni per l'uso

Inserisci le lunghezze dei lati noti e premi "Calcola". Il calcolatore restituirà i seguenti valori:

• Lunghezza del terzo lato.
• Valori degli angoli non di 90° in gradi e radianti.
• Area del triangolo.
• Perimetro del triangolo.
• Lunghezza dell'altezza perpendicolare all'ipotenusa.

Il calcolatore restituirà anche la soluzione dettagliata, che puoi espandere premendo "+ Mostra Passaggi di Calcolo".

Si noti che i campi di input per ciascun lato includono una parte di numero intero e una parte di radice quadrata, in modo da poter inserire comodamente valori come 2√3, √3, ecc.

Si noti anche che i valori di a e b, i cateti del triangolo, devono essere più corti del valore di c, l'ipotenusa.

Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo, il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze dei cateti.

Il teorema di Pitagora può essere scritto come segue:

a² + b² = c²,

Dove a e b sono le lunghezze dei lati più corti, o cateti, di un triangolo rettangolo, e c – è la lunghezza del lato più lungo o ipotenusa. L'equazione sopra può essere descritta come segue: a al quadrato più b al quadrato uguale c al quadrato.

Dimostrazione del teorema di Pitagora

Dimostriamo il teorema di Pitagora sommando le aree.

Nell'immagine sopra, il quadrato con il lato (a + b) è composto da un quadrato con lato c, e quattro triangoli rettangoli con i lati a, b e c. Troviamo l'area di questo quadrato usando due diverse strategie:

1. L'area superficiale del quadrato con lato (a + b) può essere calcolata come (a + b)²:

A = (a + b)²

2. La stessa area superficiale può essere trovata come la somma delle aree superficiale delle figure che compongono il quadrato - l'area di un quadrato con lato c, e quattro aree di un triangolo con i lati a, b e c. L'area del quadrato con lato c può essere calcolata come c². L'area del triangolo rettangolo con i lati a, b e c può essere trovata come (ab)/2. Quindi,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Poiché entrambi questi calcoli descrivono la stessa area superficiale, possiamo equipararli:

(a + b)² = c² + 2ab

Espandendo il quadrato sul lato sinistro dell'equazione, otteniamo:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Sottraendo 2ab da entrambi i lati dell'equazione, otteniamo:

a² + b² = c²

che è il risultato richiesto.

Algoritmi di calcolo

Trovare i lati di un triangolo rettangolo

Se sono dati due lati di un triangolo rettangolo, il terzo lato può essere trovato utilizzando il teorema di Pitagora. Ad esempio, se i lati a e b sono dati, la lunghezza del lato c può essere trovata come segue:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Allo stesso modo,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

e

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Trovare gli angoli di un triangolo rettangolo

Se tutti e tre i lati del triangolo rettangolo sono noti, gli angoli non di 90° del triangolo possono essere trovati come segue:

• ∠α = arcsin(a/c) oppure ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) oppure ∠β = arccos(a/c)

Qui, ∠α è l'angolo opposto al cateto 'a', ∠β è l'angolo opposto al cateto 'b', e 'c' è l'ipotenusa. La scelta tra arcsin e arccos dipende da quale cateto (a o b) si considera in relazione all'angolo. Utilizzando arcsin, si usa il cateto opposto all'angolo, e con arccos, si usa il cateto adiacente all'angolo. Entrambi gli approcci sono validi e ti daranno le corrette misurazioni degli angoli in un triangolo rettangolo.

Area di un triangolo rettangolo

L'area di un triangolo rettangolo può essere calcolata come 1/2 del prodotto dei suoi cateti:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Perimetro di un triangolo rettangolo

Il perimetro di un triangolo rettangolo si calcola come la somma di tutti i suoi lati:

P = a + b + c

Altezza rispetto all'ipotenusa

Se tutti e tre i lati di un triangolo rettangolo sono noti, l'altezza h rispetto all'ipotenusa può essere trovata come segue:

h = (a × b)/c

Esempi nella vita reale

Il teorema di Pitagora è ampiamente utilizzato in architettura e costruzione per calcolare le lunghezze dei componenti necessari e garantire che gli angoli negli edifici costruiti siano retti. Vediamo un esempio di applicazione del teorema.

Inserimento di oggetti

Immagina di traslocare e di aver noleggiato un camion di trasloco con una lunghezza di 4 metri e un'altezza di 3 metri. Non hai molti oggetti ingombranti, ma possiedi una scala, lunga 4,5 metri. La tua scala entrerà nel camion?

Soluzione

Poiché la lunghezza della scala, 4,5 metri, supera la lunghezza del camion, 4 metri, l'unico modo per far entrare la scala è in diagonale. Per determinare se ciò sia possibile, dobbiamo usare il teorema di Pitagora per calcolare l'ipotenusa di un triangolo i cui lati siano uguali alla lunghezza e all'altezza del camion. Pertanto, nel nostro caso a = 4, b = 3 e dobbiamo trovare c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

L'ipotenusa di un triangolo con a = 4 e b = 3 è c = 5. Pertanto, l'oggetto più lungo che può entrare nel camion può essere lungo 5 metri. La tua scala è lunga 4,5 metri. Pertanto, entrerà facilmente!

Risposta

Sì, la scala entrerà.

Calcoli aggiuntivi

Questo calcolatore online troverà anche alcune caratteristiche aggiuntive del triangolo dato. Calcola queste caratteristiche per il triangolo con a = 4, b = 3 e c = 5.

Area del triangolo:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Perimetro del triangolo:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Altezza rispetto all'ipotenusa:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Angolo opposto al lato a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

Angolo opposto al lato b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) = arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad