Calcolatrice di Fattorizzazione Prima

Questo calcolatore online di fattorizzazione trova tutti i fattori primi del numero inserito. Il calcolatore mostra i fattori primi nella forma generale, così come nella forma esponenziale e nel formato CSV. Inoltre, questo calcolatore di fattorizzazione può creare un albero di fattorizzazione primo e trovare tutti i fattori (non solo primi) del numero dato.

Istruzioni per l'uso

Per usare questo calcolatore per trovare i fattori primi di un numero, inserisci il numero dato e premi "Calcola". Il calcolatore restituirà i fattori primi del numero nella forma generale, nella forma esponenziale e come un elenco nel formato CSV.

Hai anche l'opzione di creare un albero di fattorizzazione e la possibilità di trovare tutti i fattori del numero dato. Entrambe queste opzioni possono essere scelte selezionando la casella corrispondente.

Limitazioni sui valori di input

• I valori di input devono essere interi; decimali e frazioni non sono accettati.
• Possono essere utilizzati come input solo interi positivi maggiori di 1.
• La lunghezza del numero non può superare i 13 cifre (senza virgole per separare le migliaia), cioè, il valore del numero inserito deve essere inferiore a 10.000.000.000.000 o 10000000000000. Il valore massimo di input è quindi 9.999.999.999.999 o 9999999999999.

Numeri primi e numeri composti

Un numero primo è un numero intero maggiore di 1, che non può essere ulteriormente diviso in altri numeri interi. In altre parole, un numero primo è un numero intero maggiore di 1 che non può essere ottenuto moltiplicando altri numeri interi. I numeri primi più piccoli sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... (Nota come solo un numero primo è pari – 2, tutti gli altri numeri primi sono dispari).

Il numero primo n-esimo nella lista sopra può essere denotato come Primo[n]. In tal caso, Primo[1] = 2, Primo[2] = 3, Primo[3] = 5, e così via. Questo calcolatore online mostrerà l'indice n di ciascun numero primo identificato fino a n = 5000.

Un numero composto è un numero intero maggiore di 1 che può essere ottenuto moltiplicando altri numeri interi. Ad esempio, 6 è un numero composto poiché 6 = 3 × 2. 12 è un numero composto poiché 12 = 6 × 2 = 3 × 2 × 2.

Fattorizzazione dei numeri

I numeri che moltiplichi per ottenere un altro numero intero si chiamano fattori. Come dimostrato sopra, 3 e 2 sono i fattori di 6. Poiché 6 può anche essere trovato moltiplicando 1 e 6: 6 = 1 × 6, anche 1 e 6 sono fattori di 6. Infine, tutti i fattori di 6 sono 1, 2, 3 e 6.

Gli unici fattori di qualsiasi numero primo sono 1 e il numero stesso. Ad esempio, i fattori di 17 sono 1 e 17.

La fattorizzazione prima è il processo di trovare tutti i numeri primi che possono essere moltiplicati per ottenere il numero dato. Nota che la fattorizzazione prima di un numero è diversa dal trovare tutti i fattori di quel numero.

Ad esempio, tutti i fattori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12. Questi fattori sono scritti come un elenco.

Mentre la fattorizzazione prima di 12 apparirà così: 12 = 2 × 2 × 3. Nella fattorizzazione prima, otteniamo risultati solo sotto forma di numeri primi.

Algoritmo di Fattorizzazione Prima

Divisione di prova

Vediamo il metodo di fattorizzazione prima più intuitivo, a volte chiamato metodo di divisione di prova, su un esempio e identifichiamo i fattori primi di 36. Poiché conosciamo tutti i numeri primi, possiamo controllare se il numero dato è divisibile per uno di essi. Il modo più semplice è iniziare dal numero primo più piccolo, che è 2:

36 ÷ 2 = 18

Il risultato di questa divisione è un numero intero. Pertanto, 2 è uno dei fattori primi di 36. Ma 18 non è ancora primo, quindi continuiamo e controlliamo se 18 è divisibile per 2:

18 ÷ 2 = 9

9 è anche un numero intero. Pertanto, 18 è divisibile per 2.

Proviamo ancora: 9 ÷ 2 = 4,5. Questo non è un numero intero. Pertanto, 9 non è divisibile per 2.

Proviamo il prossimo numero primo, 3. 9 ÷ 3 = 3. Questo è un numero intero, quindi ha funzionato! Inoltre, 3 è già primo, il che significa che abbiamo raggiunto l'ultimo passaggio del processo! Ora dobbiamo solo scrivere la risposta finale:

36 = 2 × 2 × 3 × 3

Questo è il modo generale di scrivere la fattorizzazione prima di un numero. Può anche essere scritto usando gli esponenti così:

36 = 2² × 3²

Albero dei Fattori Primi

Il processo di fattorizzazione prima può anche essere illustrato come un "albero". L'albero dei fattori primi per 36 apparirà così:

Divisione di prova (qualsiasi fattore)

A volte, il processo di fattorizzazione prima diventa più facile se prima esprimiamo il numero come moltiplicazione di altri due numeri (non primi) e poi identifichiamo i loro fattori primi. Ad esempio, troviamo i fattori primi di 48. È più facile iniziare con 48 = 6 × 8 poiché probabilmente lo sai a memoria. Poi dobbiamo trovare i fattori primi di 6: 6 = 2 × 3, e di 8: 8 = 2 × 2 × 2. Infine, 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹.

Teorema Fondamentale dell'Aritmetica

Qualsiasi intero positivo maggiore di 1 può essere formato da un insieme unico di fattori primi. Questo teorema è talvolta chiamato il Teorema della Fattorizzazione Prima.

Applicazioni nella vita reale

I numeri primi sono utilizzati in crittografia e cyber-sicurezza per criptare e decriptare messaggi. Sappiamo già che qualsiasi numero può essere rappresentato come prodotto di un insieme di numeri primi e che questo insieme è unico. Questa qualità dei numeri primi è ciò che li rende così convenienti per la crittografia.

Ancora più conveniente è che trovare i fattori primi di numeri molto grandi rimane un compito molto dispendioso in termini di tempo, anche per i computer moderni. È anche per questo che il calcolatore in questa pagina non può lavorare con numeri infinitamente grandi.

Il principio fondamentale dietro l'uso dei numeri primi per la crittografia è che è relativamente facile prendere due grandi numeri primi e moltiplicarli per creare un numero composito molto più grande. Tuttavia, è incredibilmente difficile decomporre quel numero finale nei primi originali.

Immagina di prendere due numeri primi di 10 cifre e moltiplicarli per ottenere un numero con ancora più cifre. Ora immagina il processo di fattorizzazione prima di quel numero tramite divisione di prova...

Questo è un processo così lungo che nessun computer attualmente può trovare i due numeri primi iniziali in un dato problema in un tempo ragionevole. Ma questa situazione potrebbe cambiare in futuro con lo sviluppo dei computer quantistici.