Calcolatrice per Equazioni di Secondo Grado

La Calcolatrice per Equazioni di Secondo Grado

Le equazioni di secondo grado sono una parte significativa dei programmi scolastici e universitari di matematica. Ad esempio, la soluzione di un'equazione di secondo grado fornisce varie informazioni come i tassi di variazione, i miglioramenti e i peggioramenti della funzione. Trovare la soluzione a un'equazione di secondo grado richiede l'esecuzione di un insieme di operazioni algebriche e aritmetiche. Anche se la soluzione ha una forma standard, impiega un po' di tempo per eseguire i calcoli manualmente.

La calcolatrice online per la formula quadratica è uno strumento facile da usare che fornisce istantaneamente all'utente la soluzione a un'equazione di secondo grado. Questo strumento gratuito fornisce le risposte e presenta i passaggi applicati nella risoluzione dell'equazione. Di conseguenza, l'utente può concettualizzare la risoluzione del problema, i risultati numerici e una guida passo-passo attraverso la soluzione.

Equazioni di Secondo Grado

Un'equazione di secondo grado, talvolta indicata come funzione quadratica o polinomio di secondo grado, è un'equazione algebrica con una forma generale di ax²+bx+c=0 dove x è una variabile sconosciuta da trovare. I termini a e b sono i coefficienti di x² e x, rispettivamente, mentre c è una costante. La parola "quad" o "di secondo grado" deriva dal fatto che l'esponente più alto della variabile x è 2, come in x². Possiamo mostrare alcuni esempi di equazioni di secondo grado di seguito.

$$2x²-4x+0,5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

L'equazione 2x²=0 è anch'essa un'equazione di secondo grado, con b=0 e c=0. Tuttavia, 2x+3=0 non rappresenta un'equazione di secondo grado poiché il termine quadrato ax² non si trova nell'equazione. Come mostrato negli esempi precedenti, i valori di A, B e C possono essere interi positivi/negativi o decimali (frazioni) tali che a≠0.

Risolvere le Equazioni di Secondo Grado

Il numero di soluzioni possibili per un'equazione è uguale al valore dell'esponente più alto nell'equazione. Un'equazione di secondo grado può avere al massimo due soluzioni in questo contesto. Un modo per risolvere una funzione quadratica è usare la formula quadratica indicata nell'equazione (1).

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

Si può scrivere la formula quadratica in forma compatta come:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Questa è una soluzione semplice in cui l'utente può inserire i valori A, B e C per ottenere il valore di x₁ e x₂. Secondo il valore del discriminante indicato dal termine sotto la radice quadrata b²-4ac, cambiano il numero e la natura della soluzione. Possiamo discutere tre casi:

• Se il discriminante è positivo; b²-4ac>0, esistono due soluzioni reali (x₁≠x₂)
• Se il discriminante è zero; b²-4ac=0, esiste una soluzione reale (x₁=x₂)
• Se il discriminante è negativo; b²-4ac<0, esistono due soluzioni complesse (x₁≠x₂)

Forniremo un esempio di ciascun caso nella sezione degli esempi.

Graficamente, su un piano di coordinate x-y, dove y è una funzione di x, il lettore può visualizzare le soluzioni di una funzione quadratica come le coordinate x dei punti dove la funzione y attraversa l'asse delle x.

Utilizzo della Calcolatrice per la Formula Quadratica

La calcolatrice per la risoluzione delle equazioni quadratiche può risolvere tutte le equazioni quadratiche, indipendentemente dalla natura della soluzione (reale o complessa). Il calcolatore richiede tre input: i valori di A, B e C. In alcuni casi, l'utente potrebbe dover eseguire alcune manipolazioni all'equazione prima di utilizzare il calcolatore.

In 2x² = x + 3, l'utente deve semplicemente spostare i termini dal lato destro al lato sinistro. Come risultato otteniamo 2x²-x-3=0, dove a = 2, b = -1 e c = -3.

Inoltre, considerando 4(x²-0,2x)=1, l'utente deve espandere la parentesi scrivendo 4x²-0,8x=1, quindi spostare i termini sul lato sinistro a destra per mettere l'equazione nella forma generale come 4x²-0,8x-1=0 dove a = 4, b=-0,8 e c=-1.

Esempi

In questa sezione, tre esempi possono spiegare i tre possibili casi di soluzione dell'equazione quadratica utilizzando la calcolatrice per equazioni quadratiche.

Esempio 1: Due Soluzioni Reali

Si richiede di trovare la/le soluzione/i della funzione quadratica y₁ data come y₁=x²-8x+12 e mostrata in Figura 1.

Intuitivamente, l'obiettivo è trovare le coordinate x dei punti dove la funzione y₁ incrocia l'asse delle x - se esistono.

Figura 1: Grafico di y₁=x²-8x+12

Prima, la funzione è posta uguale a zero ( y₁ è sostituita da 0), ottenendo x²-8x+12=0. Si vede che l'ultima equazione è nella forma standard dell'equazione quadratica dove a=1, b=-8, e c=12. Possiamo usare direttamente la calcolatrice per la formula quadratica.

Verificando il valore del discriminante b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0, la funzione quadratica dovrebbe avere due soluzioni reali. Dopo aver premuto il pulsante di calcolo, la calcolatrice fornisce la soluzione numerica e i passaggi della soluzione utilizzando la formula quadratica dell'equazione (1).

È importante sottolineare che dopo aver inserito i valori di A, B e C, la calcolatrice mostra l'equazione. L'utente potrebbe considerare di verificare che l'equazione visualizzata sia la stessa dell'equazione in mano per evitare errori di inserimento.

• Equazione: x²-8x+12=0

• Soluzione: x₁=2 e x₂=6

• Passaggi:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ o \ 2$$

La soluzione è quindi x₁=2 e x₂=6. Possiamo validare graficamente i risultati ispezionando l'intersezione della funzione con l'asse delle x. La Figura 2 mostra che la funzione attraversa l'asse delle x nei punti menzionati in precedenza.

Figura 2: Grafico di y₁=x²-8x+12

Esempio 2: Una Soluzione Reale

Considerando un'altra funzione, y₂-3x²+25=-4x²+10x. Prima di utilizzare la calcolatrice, un passo iniziale sarebbe isolare y₂ su un lato e raccogliere tutti gli altri termini sull'altro lato come y₂=-4x²+10x+3x²-25. Uguagliando y₂ a zero e eseguendo le operazioni aritmetiche, si ottiene la forma generale come -x²+10x-25=0 con a=-1, b=10 e c=-25.

Il discriminante è uguale a zero b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0, quindi, l'utente si aspetterebbe una singola soluzione. Quindi, possiamo usare la calcolatrice per la formula quadratica per trovare x₁=x₂=5.

• Equazione: -x²+10x-25=0

• Soluzione: x = 5

• Passaggi:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

La Figura 3 mostra il grafico di y₂ dove si vede che la funzione attraversa l'asse delle x in un punto.

Figura 3: y₂=-x²+10x-25

Esempio 3: Due Soluzioni Complesse

Infine, y₃=x²-4x+8 è studiata per mostrare come una funzione quadratica possa avere due soluzioni complesse. La Figura 4 mostra che y₃ non attraversa l'asse delle x.

Figura 4: y₃=x²-4x+8

Guardando b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0 che indica l'esistenza di due soluzioni complesse, ma cosa sono i numeri complessi?

Un numero complesso è un numero espresso nella forma di una combinazione di numeri reali e immaginari e assume la forma di a+ib.

In questo caso, 'i' nei numeri complessi sta per l'unità immaginaria, rappresentando la radice quadrata di -1.

Il termine A denota la parte reale del numero complesso (Re). D'altra parte, ib è il numero immaginario (Im) dove i=√-1.

La radice quadrata conterrà un numero negativo quando il termine b²-4ac è inferiore a zero. Quindi, prendere la radice quadrata di un numero negativo richiede l'uso di numeri complessi.

Tornando a trovare la soluzione di x²-4x+8=0; il calcolatore risolve l'equazione e trova x₁=2+2i e x₂=2-2i.

• Equazione: x²-4x+8=0

• Ci sono due possibili soluzioni: x=2±2i

• Passaggi:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

Ambito di Utilizzo e Suggerimenti

La calcolatrice per la formula quadratica è progettata per studenti di scuole e università o per chiunque cerchi una soluzione rapida a una funzione quadratica. Le funzioni quadratiche si trovano in ingegneria, economia, agricoltura, ecc.

Anche se l'uso dello strumento è semplice, l'utente dovrebbe essere in grado di eseguire operazioni aritmetiche di base per mettere l'equazione nella forma quadratica standard ax²+bx+c=0 per utilizzare lo strumento. Inoltre, è preferibile (non un prerequisito) essere familiari con i numeri complessi poiché la soluzione di un'equazione quadratica potrebbe essere una coppia di numeri complessi.

L'utente potrebbe anche essere interessato a utilizzare alcuni strumenti di graficazione per visualizzare la funzione e le sue soluzioni.