Calcolatrice Radice Cubica

Questo calcolatore può essere utilizzato per trovare tutte le radici cubiche del numero dato. Trova sia le radici reali che immaginarie.

Istruzioni per l'uso

Per trovare la radice cubica di un numero, inserisci quel numero nel campo di input e premi "Calcola". Il calcolatore mostrerà la risposta in due parti: la "radice principale (reale)" e "tutte le radici", dove "tutte le radici" includono la radice principale e le radici immaginarie.

Il calcolatore accetta come input interi positivi e negativi. Non sono accettate frazioni e numeri immaginari. Nota che se utilizzi una frazione o un numero immaginario come input, questo calcolatore di radici cubiche ignorerà automaticamente tutto ciò che segue il primo simbolo non numerico. Ad esempio, se inserisci 8/15, il calcolatore calcolerà la radice cubica di 8; se inserisci 5 + 3i, verrà calcolata la radice cubica di 5.

Definizione di radice cubica

La radice cubica di un numero è definita come il numero che deve essere moltiplicato tre volte per ottenere il numero originale. La radice cubica di x è comunemente indicata come ∛x. Secondo la definizione, y è la radice cubica di x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

se

$$y \times y \times y = x$$

Estrarre la radice cubica di un numero, ∛x, equivale ad elevare quel numero alla potenza di 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

L'operazione di radice cubica è l'inverso dell'operazione di trovare il cubo. Per trovare il cubo di un numero, quel numero deve essere moltiplicato 3 volte:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

E inversamente,

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Cubi perfetti

Un cubo perfetto è un numero la cui radice cubica è un intero. Ad esempio, 8 è un cubo perfetto poiché:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Poiché gli interi sono numeri interi che possono essere positivi e negativi, i cubi perfetti possono essere sia positivi che negativi. Ad esempio, -8 è un cubo perfetto poiché:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

Anche 0 è un intero e

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

Quindi, anche 0 è un cubo perfetto.

D'altra parte, 4 non è un cubo perfetto poiché la radice cubica reale di 4:

∛4 ≈ 1,58740105

che non è un intero.

Proprietà della radice cubica

Una radice cubica di un numero negativo è definita come il negativo della radice cubica di un numero positivo, cioè

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Per esempio,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Proprietà moltiplicativa delle radici cubiche:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Come calcolare la radice cubica

Calcolo della radice cubica reale di un cubo perfetto

Per trovare la radice cubica di un numero, utilizza il metodo di fattorizzazione in numeri primi:

1. Trova i fattori primi del numero.
2. Dividi i fattori primi in gruppi contenenti tre fattori uguali.
3. Prendi un fattore di ciascun gruppo e moltiplicali per ottenere la risposta finale.

Per esempio, troviamo tutte le radici cubiche reali di 3375, ∛3375:

1. Trovando i fattori primi di 3375, otteniamo 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. Dividendoli in gruppi di tre fattori uguali, otteniamo 3375 = (3 × 3 × 3) × ( 5 × 5 × 5).
3. Infine, prendendo un fattore di ogni gruppo e moltiplicandoli, otteniamo 3 × 5 = 15.

Quindi, ∛3375 = 15.

Se i fattori primi di un numero non formano gruppi di tre, il numero non è un cubo perfetto e non possiamo usare questo metodo per trovare la radice cubica.

Calcolo della radice cubica reale di un numero maggiore di -1 e minore di 1 (escluso 0)

Se il numero dato è maggiore di -1 e minore di 1, non può essere un cubo perfetto poiché per definizione, un cubo perfetto è un numero la cui radice cubica è un intero. Qualsiasi numero y nell'intervallo -1 < y < 1 che non sia 0 non può essere un cubo perfetto. Tuttavia, a volte trovare la radice cubica reale di un numero del genere può essere relativamente semplice.

Per esempio, troviamo tutte le radici cubiche reali di -0,000125. Questo numero non è un intero. Quindi, non possiamo usare il metodo di fattorizzazione in numeri primi sopra descritto.

Ma possiamo facilmente notare che -0,000125 = -125 × 10⁻⁶. Quindi,

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

Applicando la proprietà moltiplicativa della radice cubica, otteniamo:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Riscrivendo la radice cubica del numero negativo come il negativo della radice cubica del numero positivo, otteniamo:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

È facile notare che 125 = 5 × 5 × 5, e 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻². Quindi,

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

e

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

Infine, otteniamo:

$$\sqrt[3]{(-0,000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0,05$$

Esempi pratici

Le radici cubiche sono utilizzate nella vita reale per trovare la lunghezza del lato di un oggetto cubico. Ad esempio, se conosci il volume di una scatola e vuoi sapere quanto è alta, controlla se ci entrerebbe in un certo spazio. Oppure, se devi stimare la quantità di vernice necessaria per dipingere le pareti di una stanza cubica. O ancora, se devi calcolare il numero di piastrelle necessarie per coprire il pavimento di una stanza cubica di volume noto.

Il volume cubico di legno

Immagina di costruire una casa e di trovare un annuncio che offre 64 metri cubi di legno in vendita. Quali sarebbero le dimensioni di quel volume di legno in lunghezza, larghezza e altezza?

Per risolvere questo problema, devi trovare la radice cubica di 64. La lunghezza del lato del cubo immaginario che ti aiuterebbe a descrivere questo volume sarebbe ∛64 = 4. Quindi, dai dati originali sul volume cubico di legno, abbiamo un'idea diversa delle dimensioni di un tale volume.