スロープ計算機

スロープ計算機

勾配計算機は、直線の勾配を見つけることを可能にする簡単なオンラインツールです。数学では、線の傾きは、水平座標 (x座標)の変化に対する垂直座標(y座標)の変化として定義されます。

使用表記

勾配は文字 m で示されます。上のプロットは、電卓で使用される他のすべての表記法をグラフィカルに示しています。スロープファインダーは、2つの異なるシナリオで計算を実行できます:

1.線上の2点の座標がわかっているとき。グラフ上では、2 つの点の座標は (x₁,y₁) と (x₂,y₂) です。この場合、電卓は線の傾き m を見つけます。

2. 1つの点の座標 (x₁,y₁) 、距離 d 、線の傾きがわかっている場合、電卓は線上の2番目の点の座標、 (x₂,y₂) を見つけます。

どちらのシナリオでも、電卓は線の他の不足している特性 (水平方向の変化 ∆x 、垂直方向の変化 ∆y 、傾斜角 θ、線の長さ、または距離 d など) も返します。

使用方法

まず、既知の値を特定し、適切な電卓を選択します。2点の座標がわかっている場合は、”2点がわかっている場合”を選択します。

1 つの点の座標しかない場合、計算を実行するには、距離 d、および線の傾き m を知る必要があります。この場合は、”1点と勾配がわかっている場合”を選択します。

2点がわかっている場合

対応するフィールドに点の既知の座標を挿入し、[計算]を押します。電卓は、次の情報を返します:

• 斜面 m ,
• 傾斜角θ,
• 行の長さ d ,
• 水平方向の変更 ∆x ,
• 垂直方向の変更 ∆y .

電卓はまた、線の傾きと他のすべての特性値を見つけるために使用される式を示します。電卓は、線の対応する方程式を表示し、視覚的表現のために線を模式的にプロットします。

すべてのフィールドをクリアするには、[クリア]を押します。

1点と勾配がわかっている場合

ポイントの既知の座標、距離、および傾きを対応するフィールドに挿入します。傾きの代わりに、”傾斜角(シータ o θ)”の値を挿入できることに注意してください。θ の値は度単位で挿入する必要があります。これらの値の 1 つだけを挿入する必要があります ( m または θ)。 m と θ の両方が挿入されているとします。その場合、電卓はθの値を無視し、計算に傾き m のみを使用します。

[計算]を押します。電卓は、次の情報を返します: 2 番目の点 (x₂,y₂) 、水平方向の変化 ∆x 、垂直方向の変化 ∆y 、および線の長さ d .。傾き m が計算に使用された場合、電卓は θ の値も返します。計算に傾斜角θを使用した場合、計算機は答えに m の値を返します。また、電卓は線の対応する方程式を表示し、視覚的表現のために線を模式的にプロットします。

すべてのフィールドをクリアするには、[クリア]を押します。

勾配式

前述のように、線の傾きは、水平座標 $(x-coordinate)$ の変化に対する線の垂直座標 $(y-coordinate)$ の変化として定義されます:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}=tanθ$$

上記の式は、傾きの公式と呼ばれます。これを使用して、線上の2点の座標がわかっている場合、任意の線の傾きを見つけることができます。勾配は一般に m と表記されます。これは、線の方向とその急勾配を記述するために使用されます:

• 線が左から右に上向きに進む場合、 y₂>y₁ のときに x₂>x₁ になります。傾きは常に正の m>0 になります。この場合、ラインが増えていると言います。

• 線が左から右に下に行く場合、 y₂ < y₁ のとき x₂>x₁ です。傾きは負の m<0 になります。この場合、ラインが減少していると言います。

• 線が水平の場合、 y₂=y₁ および y₂-y₁=0 です。その後、傾きもゼロに等しくなります: m=0。

• 線が垂直の場合、 x₂=x₁ および x₂-x₁=0 です。 傾きの公式の分母はゼロで、傾きは未定義です。

線の数式

任意の一次方程式を次の形式で書くことができます:

$$y=mx+b$$

この形式の線形方程式は、勾配切片形式と呼ばれます。 この方程式のプロットは直線になります。ここで、 m は直線の傾きです。 B は、グラフが $y-axis$ を横切る座標です。 B は、 x=0 のときに y=b であるため、線の $y-intercept$ と呼ばれることもあります。

線上の1点の座標と傾きがわかっている場合、線式をいわゆる点-傾き形式で書くことができます:

$$y-y₁=m(x-x₁)$$

この形式の線形方程式は、直線の $y-intercept$ を見つけるのに役立ちます。

計算例

線上の2つの点の座標がわかっていると仮定しましょう。

与えられた:

$$x₁=1$$

$$y₁=1$$

$$x₂=9$$

$$y₂=25$$

最初にこの線の傾きを見つけましょう:

$$m=\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}=\frac{∆y}{∆x}$$

$$m=\frac{25-1}{9-1}=\frac{24}{8}=3$$

$$m=3$$

次に、ラインの他の特性値を見つけましょう。We know that m=tanθ. したがって、傾斜 θ の角度は次のように求めることができます:

$$\theta=\arctan{\left(m\right)}= arctan\frac{∆x}{∆y} = 71.565051177078°$$

さらに、

$$∆x=9-1=8$$

$$∆y=25-1=24$$

距離 d はピタゴラスの定理を用いて求めることができます。斜辺の長さの二乗は、直角三角形の脚の長さの二乗和に等しいと述べています。

この定理を三角形に適用すると、これを得る:

$$d^2=∆x2+∆y2$$

そこで,

$$d=∆x2+∆y2$$

$$d=\sqrt{8^2+{24}^2}=\sqrt{640}$$

$$d=25.298221281347$$

直線の $y-intercept$ を見つけるために、与えられた m 、 x₁ 、および y₁ の値を代入して、直線の方程式を点-勾配形式で書きましょう。:

$$y-1=3\left(x-1\right)$$

$$y=3x-2$$

そこで, y=-2 は線の $y-intercept$ です。つまり、 x=0 の場合、 y=-2 です。

y=0 の場合:

$$x=\frac{2}{3}=0.66666666666667$$

スケッチは、対応する線を示しています。私たちの場合、傾きは正です, m>0,そして、ラインが増加していることがわかります–左から右に上がります。 また、傾斜角度θ ≈ 72° であるため、線がかなり急であることがわかります。